同一條高數(shù)定理

兩個(gè)不同的命運(yùn)

1666年10月的某一天。

牛頓在研究如何根據(jù)物體的速度求物位移的問題中，發(fā)現(xiàn)了微積分，并提出了微積分的基本定理，還用這種方法求出曲線與坐標(biāo)軸圍成的面積。

但是當(dāng)時(shí)牛頓并沒有公開發(fā)表他的研究，只是在一些英國(guó)科學(xué)家中流傳。

到了1675年，德國(guó)的數(shù)學(xué)家萊布尼茨也發(fā)現(xiàn)了微積分，他竟然也和牛頓一樣，沒有公開自己的研究成果。

不過兩年后，萊布尼茨首次發(fā)表有關(guān)微積分研究論文，這也是歷史上第一篇正式發(fā)布的微積分研究論文，在這一篇論文中明確陳述了微積分基本定理。

作為數(shù)學(xué)界的兩大巨頭，他們一開始并沒有去爭(zhēng)奪微積分的發(fā)現(xiàn)權(quán)。

就在1699年，有個(gè)瑞士人跑出來，指責(zé)萊布尼茲的微積分是抄襲牛頓的，牛頓才是第一個(gè)發(fā)現(xiàn)微積分的人。而萊布尼茲對(duì)其進(jìn)行了反駁，事情也慢慢平息下來了。

而到了1704年，牛頓完整地發(fā)表了他的流數(shù)術(shù)，詳細(xì)地介紹微積分的計(jì)算原理及規(guī)則，但是后來出現(xiàn)了一條匿名評(píng)論，說牛頓的流數(shù)術(shù)是抄襲萊布尼茲的微積分。

一時(shí)間，科學(xué)界就炸開了鍋，誰(shuí)才是微積分發(fā)現(xiàn)第一人的問題都成了大家所關(guān)注的問題。

1711年，英國(guó)皇家學(xué)會(huì)為了讓“微積分發(fā)現(xiàn)者”的榮耀留在英國(guó)，不斷地打壓、指責(zé)萊布尼茲，這位天才最后也只能含恨而終。

后來世人為了還給萊布尼茲一個(gè)公道，將那條微積分的基本定理命名為牛頓-萊布尼茲公式。

首先，還是得先翻翻課本，溫習(xí)一下牛頓-萊布尼茲公式：

把 f(x) 當(dāng)作一個(gè)導(dǎo)函數(shù)，對(duì)這個(gè)導(dǎo)函數(shù)進(jìn)行定積分，就等于這個(gè)的導(dǎo)函數(shù)的原函數(shù)在x=b 和 x=a 處函數(shù)值的差。

呃，好像說得有點(diǎn)復(fù)雜了，還是打個(gè)比方吧。

將牛頓-萊布尼茲公式看作母雞孵雞蛋，f(x) 就是雞蛋，F(x)就是母雞，公式的前部分對(duì) f(x) 進(jìn)行定積分相當(dāng)于母雞孵蛋，而后部分當(dāng)作母雞孵蛋的開始時(shí)刻到結(jié)束時(shí)刻的間隔。用牛頓萊布尼茲公式求定積分，就是在計(jì)算母雞孵雞蛋的時(shí)間。

怎么說，這樣應(yīng)該更好理解吧!

來，來，超模君用個(gè)栗子來說明一下。

從定積分的幾何意義來解答這道題目是最簡(jiǎn)單的，不過我們先用牛頓-萊布尼茲公式解決這個(gè)問題。

OK，我們要計(jì)算這個(gè)雞蛋（ f(x)=x ）的孵化時(shí)間（求定積分）。要孵雞蛋首先要找一只母雞（ F(x) ），找到母雞后，就可以孵雞蛋，算時(shí)間。

不難看出 [ (1/2)·x2 ]'=x，OK，母雞找到了，那我們開始孵...，不是，不是，是讓母雞開始孵雞蛋吧。

看起來牛頓-萊布尼茲公式還是挺簡(jiǎn)單的，不是嗎？

唯一比較難的應(yīng)該就是如何找到那只母雞了（原函數(shù)F(x)）。

那如何快速地找到那只母雞呢？

超模君給你推薦個(gè)好辦法，那就是認(rèn)真做題。

如果還沒聽懂，那就來更簡(jiǎn)單的，求函數(shù) f(x) 與x軸和兩條垂直于x軸的垂線所圍成的面積。 

（抱歉，那成雞腿了）拿剛才那個(gè)栗子說吧。

上圖的陰影部分S的面積就是 f(x)=x 在[1,2]的積分，即

現(xiàn)在我們嘗試用定積分的幾何意義計(jì)算這個(gè)定積分。

陰影部分S正好是一個(gè)梯形，那么就有S=(1+2)×1×(1/2)=3/2，跟用牛頓-萊布尼茲公式算出的結(jié)果一致。

• 簡(jiǎn)化定積分的計(jì)算

現(xiàn)在求定積分基本上都是用牛頓-萊布尼茲公式，但是你想想，若沒有牛頓-萊布尼茲公式的話，將要如何求定積分呢？

超模君現(xiàn)在展示一下定義法求定積分，以下題為例，

一般定義法求定積分分為四步：分割區(qū)間，以曲代直，求面積，求極限。

①分割區(qū)間：我們先把題目的積分區(qū)間[0,1]分割成n等分，那么每一等份長(zhǎng)度△x=1/n

②以曲代直：當(dāng)積分區(qū)間分得無(wú)限小時(shí)，每一等份可以看作一個(gè)長(zhǎng)方形，那么第i個(gè)長(zhǎng)方形的面積△Si=f(x)i·△x=xi·(1/n)

③求面積：

④求極限：

或許會(huì)有模友說，這道題不是可以用定積分的幾何意義算嗎？的確是可以，但是你們想想，不是每一個(gè)被積分函數(shù)的圖象和坐標(biāo)軸形成一個(gè)規(guī)則的圖形，更多時(shí)候它們是不規(guī)則的。

如果用牛頓-萊布尼茲公式的話，就十分簡(jiǎn)單，原函數(shù)是(1/2)·x2 ,那條定積分就等于（1/2）×（12 - 02）=1/2，不需要太多復(fù)雜的計(jì)算。

簡(jiǎn)化定積分的計(jì)算可以快速算出曲線的長(zhǎng)度和立體的體積，在生活中也有廣泛的應(yīng)用，如計(jì)算壩體的填筑力量，材料的消耗量。

• 物理學(xué)中的應(yīng)用

都說物理離不開數(shù)學(xué)，這是有道理的。很多數(shù)學(xué)定理都應(yīng)用到物理中，牛頓-萊布尼茲公式也不例外。

在學(xué)習(xí)高中物理時(shí)，想必大家也學(xué)過速度對(duì)時(shí)間的定積分就是位移，一個(gè)物體的運(yùn)動(dòng)速度不斷發(fā)生變化，求它一段時(shí)間的位移是很難的。

但你用牛頓-萊布尼茲公式求速度對(duì)時(shí)間的定積分的話，問題就非常簡(jiǎn)單了。

還有在計(jì)算變力沿直線做功和物體之間的萬(wàn)有引力都用到牛頓萊布尼茲公式。

牛頓-萊布尼茲公式的發(fā)現(xiàn)，將微分及積分實(shí)現(xiàn)了完美的可逆運(yùn)算，成為中世紀(jì)數(shù)學(xué)發(fā)展大革命中一個(gè)璀璨的成果。而這樣的革命，似乎都留在歷史故事中，難以再出現(xiàn)。