十六世紀以來，歐洲封建社會日趨沒落，代之以資本主義的興起。航海、天文、力學、軍事、生產(chǎn)等科學技術(shù)領(lǐng)域都向數(shù)學提出各種問題：如何進一步掌握行星運行規(guī)律；確定地球的經(jīng)緯度；準確分析物體受力情況；精確計算炮彈運行軌跡以及研究機械運動的特性等等。
從數(shù)學角度歸納起來有四類問題： 1．已知變速運動的路程為時間的函數(shù)，求瞬時速度及加速度；或相反。 2．求曲線的切線。 3．求函數(shù)的最大值、最小值。 4．求曲線長、曲線圍成的面積、曲而包圍的體積等。 解決這四類問題，就數(shù)學來說要用到導數(shù)、微分與積分的概念。  圖1
恩格斯說：“社會一旦有技術(shù)上的需要，則這種需要就會比十所大學更能把科學推向前進?！?/span>（《馬恩選集》四卷505頁）社會的發(fā)展，生產(chǎn)的需要，科學的進步，向數(shù)學提出了解決上述四類問題的要求。于是，十七世紀的數(shù)學家們踏著前輩的足跡向微積分挺進了。 早在古代就有了微積分思想的萌芽。比如古代的人民用方磚砌圓；我國魏晉時劉徽的“割圓術(shù)”；祖暅原理及莊子的“一尺之棰，日去其半，萬世不竭”等等，都涉及到以直代曲和極限觀念，屬于微積分的樸素思想。古希臘歐多克薩斯、阿基米德利用“窮竭法”確定曲線圍成的面積，依據(jù)的是無窮小分析原理，這也是微積分思想的萌芽。但是真正形成微積分思想是十七世紀的事情。十七世紀法國數(shù)學家羅伯瓦、費馬，英國的巴魯，他們都各自研究出求曲線切線的方法。費馬在《求最大值和最小值的方法》（1637年）中討論了求函數(shù)極值的問題；法國開普勒的《測量酒桶體積的新科學》（1615年）涉及到求面積、體積、重心等問題；意大利卡瓦列利的《不可分連續(xù)量幾何》（1635年）用不可分原理制定了一種簡單的微積分。特別值得提出的是英國人瓦里斯的《無窮小算術(shù)》（1655年），運用了代數(shù)學形式，分析學方法及函數(shù)極限的初步概念，計算出很多閉曲線的面積：格列哥里的《論圓和雙曲線的求積》（1667年）明確指出求面積、體積、曲線長度需要用到與加、減、乘、除、乘方不相同的極限運算方法；巴魯?shù)摹稁缀螌W講義》（1760年）還提出了積與商的微分法則及求定積分的一些個別的方法。這三位數(shù)學家是創(chuàng)立微積分的重要的先驅(qū)者。笛卡兒建立了坐標系，把變數(shù)引進了數(shù)學，為微積分的研究提供了工具。世界著名的英國科學家牛頓（1642—1727）少年時就矢志獻身科學，甘愿受“荊棘冠冕”的刺痛，三十多歲就熬白了頭發(fā)。他的橫溢的才華閃耀在數(shù)學、物理、天文等各個科學領(lǐng)域。牛頓在倫敦劍橋大學即將畢業(yè)時，為躲避當時流行的瘟疫返回家鄉(xiāng)。牛頓的“流數(shù)術(shù)”（微積分）就是這時發(fā)明的。牛頓受業(yè)于數(shù)學教授巴魯，從他的《幾何學講義》里學到了微積分的初步思想和無窮小分析的一些方法。此外，正如牛頓所說：“我從費馬的切線作法中得到了這個方法（流數(shù)術(shù)）的啟示。我推廣了它。把它直接地并且反過來應(yīng)用于抽象的方程上?！迸ｎD還受到瓦里斯的直接影響，利用他的《無窮小算術(shù)》提出的求閉合曲線面積的結(jié)果，研究出了流數(shù)術(shù)。牛頓在1665年5月20日的手稿里第一次提出“流數(shù)術(shù)”。有人就把這一夭當做微積分的誕生日。形成牛頓流數(shù)術(shù)理論的，主要有三個著作：《運用無窮多項方程的分析學》、《流數(shù)術(shù)和無窮級數(shù)》和《求曲邊形的面積》。第一篇著作寫于1669年，正式發(fā)表于1771年。其中給出了求瞬時變化率的普遍方法，并證明面積可由變化率的逆過程求得。這是個重要的突破，它闡明了微分與積分的聯(lián)系，即現(xiàn)在所謂的微積分基本定理。當然，牛頓的推導在方法上與邏輯上是不嚴密的。第二篇著作寫于1671年，1763年發(fā)表。在這篇著作里，他改變了過去靜止的觀點，認為變量是由點、線、面連續(xù)運動而產(chǎn)生的。他把變量叫做“流”，把變量的變化率叫做 “流數(shù)”。牛頓還明確指出“流數(shù)術(shù)”的中心內(nèi)容包括：（1）已知連續(xù)運動的路程，求某一確定時刻的速度（即微分法）。（2）已知運動的速度求某一確定時間內(nèi)經(jīng)過的路程（即積分法）。（3）將流數(shù)術(shù)用于求曲線的極值，計算曲線的切線、曲率、弧長、面積等。最后一篇著作寫于1676年，發(fā)表于1704年。是研究可求積（可積分的）曲線的經(jīng)典文獻。牛頓為了建立沒有“無窮小”的微積分，消除不嚴密的“無窮小”的說法，在這篇文章里代之以“最初和最后的比”的說法，但這仍是一個不嚴格的模糊概念。牛頓在微積分上取得了極為重要的創(chuàng)造性的成果。但由于缺乏清晰嚴格的“極限”和“無窮小”的概念，未能把微積分建立在牢固的基礎(chǔ)上，因而遭到了一些人的批評和攻擊。萊布尼茲（1646—1716）是德國杰出的博學多才的科學家。他的學識涉及到數(shù)學、物理、機械、哲學、歷史、語言以至神學方面。大學畢業(yè)后，他長期從事外交工作，研究數(shù)學只是他的業(yè)余愛好。他是數(shù)理邏輯學的開山祖師，是機械計算機的發(fā)明人之一。萊布尼茲在治學上思緒奔放，厚積薄發(fā)，1671至1677年間寫下了大量數(shù)學筆記，卻從未發(fā)表出來。正是在這段時間里，他引進常量、變量與參變量等概念，從研究幾何問題入手，完成了微積分的基本計算理論。他研究了巴魯?shù)闹鳎斫獾轿⒎趾头e分是互逆的運算。他還創(chuàng)造了微分符號 dx、 dxn以及積分符號∫；并給出復合函數(shù)求導法則，冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的求導法則，以及和、差、積、 商、冪、方根的求導法則；還于1680年得出用微積分求旋轉(zhuǎn)體體積的公式。萊布尼茲1680年公開發(fā)表了數(shù)學史上第一篇微分學論文《一種求極大、極小和切線的新方法》，1686年公開發(fā)表了第一篇積分學論文。萊布尼茲的微積分，雖然在與物理學的結(jié)合上不如牛頓，但方法更富有想象力與啟發(fā)性。他首創(chuàng)的微積分符號簡明精確，對微積分的發(fā)展起了強大的推動作用，一直在全世界流傳至今。但是他的理論不系統(tǒng)、不嚴密，很難為一般人理解。幸好，歐洲大陸的數(shù)學家們，如瑞士數(shù)學家族的伯努利兄弟等，熱衷于他的學說，整理并發(fā)展了他那些綱領(lǐng)性的、摘要式的著作，陸續(xù)發(fā)表了《微積分初步》等著作，使萊布尼茲的微積分得以發(fā)揚光大。牛頓與萊布尼茲在微積分的創(chuàng)立上，都做出了杰出的貢獻。可是，數(shù)學史上圍繞微積分的發(fā)明權(quán)卻發(fā)生了一場歷時百年的無聊爭論。這場爭論是由瑞士的丟利埃于1699年挑起來的，他斷言萊布尼茲的微積分是抄襲了牛頓的成果。萊布尼茲當即反駁，在1605年反唇相譏，暗示牛頓剽竊了他的成果。一石激起了兩個民族情感上的軒然大波。英國皇家調(diào)查會的報告說：“牛頓是微積分的創(chuàng)始人”，“萊布尼茲抄襲了牛頓的流數(shù)術(shù)”。英、德兩國各持一端，愈爭愈烈。直到牛頓與萊布尼茲都去世了，他們的追隨者們?nèi)匀粻幷摬恍?，綿延到十九世紀二十年代才算平息。牛頓曾回憶道：1676年“在和非常博學的數(shù)學家G?W?萊布尼茲的通信中，我告訴他我發(fā)明了一種可以求出極大值和極小值、畫出切線并解答類似數(shù)學問題的方法……我沒有把方法告訴他。這位著名人物回信告訴我，他也想到了同類型的一種方法，并把它告訴了我。他的方法除了定義、符號、公式和產(chǎn)生數(shù)的想法在形式上和我的不一樣以外，幾乎沒有多大的差異?！?675年10月29日，萊布尼茲的手稿中已經(jīng)有了微積分的符號?？梢?，萊布尼茲在沒有得到牛頓的消息之前已經(jīng)發(fā)明了微積分，他倆是各自獨立發(fā)明的。牛頓發(fā)明的時間比萊布尼茲早十年，而萊布尼茲公開發(fā)表的時間比牛頓早三年。無聊的爭論攙雜進了偏激的民族感情。英國當時固執(zhí)于對牛頓的迷信，拒絕接受萊布尼茲及大陸學者對微積分的發(fā)展，致使英倫三島的數(shù)學水平遠遠落后于歐洲大陸。微積分的主要理論基礎(chǔ)是極限論。可是，當時“極限”、“無窮小”、“連續(xù)”等基本概念是不精確的，極限論是不完善的。微積分理論基礎(chǔ)不穩(wěn)固的缺點，被一些唯心主義者抓住，進行了猛烈的攻擊。英國神學家貝克萊就是攻擊微積分的典型代表。牛頓的好友、數(shù)學家哈雷不信仰宗教，勸說貝克萊的病中的朋友拒絕了宗教的祈禱。貝克萊大怒，于1734年發(fā)表了一本小冊子，名為《分析學家——與一個不信神的數(shù)學家的對話》。咒罵微積分的推導是“分明的詭辯”，污蔑微積分“招搖撞騙，把人們引入歧途”。他極盡謾罵之能事，實質(zhì)在兜售唯心論，維護宗教神學。與此同時，萊布尼茲在大陸上也遭到荷蘭紐文提的責難。紐文提認為萊布尼茲說不清“無窮小量”與“0”的區(qū)別，并認為在推導過程中不應(yīng)略去無窮小量。法國數(shù)學家羅爾也曾經(jīng)反對過微積分。在貝克萊的挑動下，造成了數(shù)學史上的“第二次危機”。展開了一場關(guān)于微積分奠基問題的大論戰(zhàn)，長達十多年之久。當時的著名物理學家朱林，數(shù)學家馬克勞林、泰勒等，對貝克萊進行了強烈的反駁。同時，這場論戰(zhàn)也激勵著大批數(shù)學家，如法國的達蘭貝爾、拉格朗日等對微積分的基礎(chǔ)概念做了深入的探討，促進了微積分理論基礎(chǔ)的建設(shè)。這正是“皆知敵之害，而不知為利之大”（柳宗元：《敵戒》）的道理。微積分在實踐中的勝利，迫使貝克萊后來也不得不承認：“流數(shù)術(shù)是一把萬能的鑰匙，借著它，近代數(shù)學家打開了幾何以至大自然的秘密。”馬克思在《數(shù)學手稿》中深入地研究了微積分的發(fā)展史，對微積分的本質(zhì)進行了精湛的剖析，最后完成了微積分的奠基工作。恩格斯說：“在一切理論成就中，未必再有什么像十七世紀下半葉微積分的發(fā)明那樣被看作人類精神的最高勝利了。”（恩格斯：《自然辯證法》244頁）來源：書籍《古今數(shù)學趣話》，編輯：nhyilin |
