前文《玩轉(zhuǎn)線段最值系列之（3）——轉(zhuǎn)化思想》中，介紹了解決一類可以采用構(gòu)造思想然后利用三角形三邊關(guān)系解決的幾何最值問(wèn)題。近期受談老師《難點(diǎn)突破：動(dòng)點(diǎn)軌跡與路徑最值綜合題》一文啟發(fā)，深感局部思維與全局思維的差別，利用三角形三邊關(guān)系也可以解決很多最值問(wèn)題，但是思考深度不夠，所見(jiàn)范圍較窄，屬于“只見(jiàn)樹(shù)木，不見(jiàn)森林”。本文就談老師的“乾坤倒轉(zhuǎn)”法在最值問(wèn)題中的應(yīng)用再舉例。     

典例研究

【問(wèn)題】如圖，∠MON=90°，矩形ABCD的頂點(diǎn)A、B分別在邊OM，ON上，當(dāng)B在邊ON上運(yùn)動(dòng)時(shí)，A隨之在邊OM上運(yùn)動(dòng)，矩形ABCD的形狀保持不變，其中AB=2，BC=1，運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，點(diǎn)D到點(diǎn)O的最大距離為_(kāi)___________.

解法一（構(gòu)造三角形法）：如下圖，取點(diǎn)AB中點(diǎn)E，當(dāng)點(diǎn)D、O、E不共線時(shí)，由三角形三邊關(guān)系得：OD<>

此法總體思想是通過(guò)構(gòu)造三角形將“不定邊”與“定邊”扯上關(guān)系，從而利用三角形三邊關(guān)系解決；但實(shí)踐證明，學(xué)生直接想到這一點(diǎn)很困難.

我們習(xí)慣性思維是矩形ABCD隨著點(diǎn)A、B的運(yùn)動(dòng)而運(yùn)動(dòng)，OM、ON是固定的，如下動(dòng)畫(huà)演示：

       研究談老師一文讓我懂得了，思考問(wèn)題要放眼全局；

解法二（乾坤倒轉(zhuǎn)法）：大家都知道，運(yùn)動(dòng)具有相對(duì)性，我們?nèi)魧⒕匦?/span>ABCD固定不動(dòng)，將∠MON在動(dòng)呢？這樣問(wèn)題就轉(zhuǎn)化為動(dòng)點(diǎn)O到定點(diǎn)D的距離最值問(wèn)題，因此我們只要知道點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)軌跡，問(wèn)題就可迎刃而解，由“定邊對(duì)定角”模型不難得知點(diǎn)O的運(yùn)動(dòng)軌跡是以AB中點(diǎn)E為圓心，以AB為直徑的半圓，讓我們一起來(lái)感受一下動(dòng)圖吧：

因此，此問(wèn)題就轉(zhuǎn)化為“點(diǎn)”到“圓”最值問(wèn)題，當(dāng)點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)至圖中點(diǎn)F處時(shí)取得最大值為1+√2.

這就是“乾坤倒轉(zhuǎn)”，怎么樣，是不是很神奇？用這種思維解以下兩題試試吧.

鞏固練習(xí)

【練習(xí)1】如圖，點(diǎn)A、B分別是x、y軸正半軸的兩動(dòng)點(diǎn)，△ABC是等邊三角形且邊長(zhǎng)為2，則OC的最大值為_(kāi)________.

【練習(xí)2】如圖，點(diǎn)A是直線y=-x上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)B是x軸上的動(dòng)點(diǎn)，在矩形ABCD中，AB=2，AD=1，則OD的最大值為     。

仔細(xì)分析，“乾坤倒轉(zhuǎn)”和“三邊關(guān)系法”的根本依據(jù)都是相同的，只是處理方法不同，境界也不同，可謂是“本是同根生，花兒卻不同”，此法對(duì)于學(xué)生逆向思維、全局思維的培養(yǎng)大有裨益，給我們帶來(lái)的是別樣的數(shù)學(xué)魅力！

好一個(gè)“乾坤倒轉(zhuǎn)”！