編者按：

有人在 π 日到來，有人在 π 日離開。謹以此文，悼念在 π 日離世的霍金，并紀念在 π 日出生的愛因斯坦。

2010 年 9 月 17 日，在北京中國科學(xué)院思源樓報告廳內(nèi)舉行了華羅庚先生誕辰一百周年紀念大會。 我從小就知道華羅庚的名字。但真正對他有所了解，還是從 1962 年剛上初中時閱讀了他當年為中學(xué)生寫的一本數(shù)學(xué)小冊子《從祖沖之的圓周率談起》開始的。

華羅庚先生的生平與貢獻自然不必多說，在這里只談?wù)剰乃@本小冊子里學(xué)到的關(guān)于圓周率 π 的一點知識和后來逐漸知道得更多關(guān)于 π 的一些趣事。 

傳說華羅庚曾經(jīng)講過一個故事：從前有個教書先生，平日喜歡喝酒。一天，他把學(xué)生們關(guān)在教室里，要他們背誦圓周率，自己卻提了一壺酒到山上的寺廟找老和尚對飲去了。

先生回來后，考問學(xué)生有沒有把圓周率背下來。有個學(xué)生就回應(yīng)道：“山巔一寺一壺酒，爾樂苦煞吾，把酒吃，酒殺爾殺不死，樂爾樂”。

先生開始很生氣，以為學(xué)生是在諷刺他，但很快便意識到這其實是帶濃厚鄉(xiāng)音的普通話 3.1415926535897932384626，頓時轉(zhuǎn)怒為喜，把這個學(xué)生著實稱贊了一番。

華羅庚（1910-1985）曾講過 π 的故事

眾所周知，圓周率是一個圓的周長與直徑之比，而且不論圓的大小，這個比值是常數(shù)，永遠不變。圓周率的近似值 π ≈ 3.14 家喻戶曉，關(guān)于它的文章和書籍更是多不勝數(shù)。

由于希臘字母 π 和英文單詞“pie”同音，1988 年3 月 14 日由美國舊金山的科學(xué)探索館（San Francisco Exploratorium）提議，發(fā)起了每年這一天以吃“pie”來紀念和慶祝圓周率的校園活動。

2009 年 3 月11 日，美國眾議院還通過了一項決議，把 3 月 14 日正式確定為全國的“π日”（National Pi Day）。更有趣的是，麻省理工學(xué)院的招生辦公室每年都把新生錄取通知書留到“π 日”才發(fā)送給新生。

現(xiàn)在網(wǎng)絡(luò)通信方便了，還有傳聞?wù)f那里的工作人員安裝了個計算機程序等到 3 月 14 日下午 1 時 59 分 26秒才從網(wǎng)上把錄取通知向全世界發(fā)放出去，對應(yīng)于 π ≈ 3.1415926。

說來奇巧，3 月 14 日正好也是 Einstein 的生日。另外，因為 22/7 是比 3.14 對 π更為精確的近似，每年 7 月 22 日也被公認為“π 近似日”。

愛因斯坦（1879-1955），生于3月14日

圓周率 π 是一個不等于任何兩個整數(shù)之比的實數(shù)，它在整數(shù) 3 之后再帶上一個具有無限長度但又永遠不循環(huán)的小數(shù)：π ≈ 3.1415926 · · · 。盡管人類對 π 的認知可以追溯到遠古，最先對 π 值進行系統(tǒng)嚴格的估算者應(yīng)當首推古希臘科學(xué)家 Archimedes（阿基米德，公元前 287—前 212 年），他得出不等式3 + 10/71 < π="">< 3="" +="" 1/7，平均值就是="" π="" ≈="" 3.14="" ·="" ·="" ·="">

在我國，三國后期魏國人劉徽（生于公元 250 年左右）留下了寶貴數(shù)學(xué)遺產(chǎn)《九章算術(shù)注》和《海島算經(jīng)》，并創(chuàng)始和使用了“割圓術(shù)”即用圓的內(nèi)接和外切正多邊形來逼近圓的周長。割圓術(shù)為后來南北朝時期的數(shù)學(xué)家祖沖之（公元 429—500 年）的估算 3.1415926 < π="">< 3.1415927="" 提供了最基本的方法。此外，祖沖之還以很簡單的分數(shù)形式給出了圓周率的約率="" π="" ≈="" 22/7="" 和密率="" π="" ≈="">

祖沖之（429-500）

古人計算圓周率，一般都是用正多邊形來逼近圓的。Archimedes 用正 96邊形逼近圓而得到 π 小數(shù)點后 3 位的精度，劉徽用正 3072 邊形逼近圓也只能得到 π 小數(shù)點后 5 位的精度。

由于這些計算方法效率極低，估算 π 的歷史進程十分緩慢。直到微積分問世以后，情況才大為改觀。1706 年，英國天文學(xué)家 John Machin 發(fā)現(xiàn)了一個簡單的解析公式并用它來計算 π 達到了小數(shù)點后 100 位的精確度： 

π = 16 arctan(1/5) ? 4 arctan(1/239)。

微積分的出現(xiàn)，不但給出了許多關(guān)于 π 的解析估計，更大大地加快了其數(shù)值計算。且不說優(yōu)雅漂亮的 Gregory-Leibniz 和差公式 

1/1?1/3+1/5?1/7+1/9? · · · =π/4 

以及 Wallis 乘積公式 

2/1×2/3×4/3×4/5×6/5×6/7×8/7×8/9× · · · =π/2,

后來發(fā)現(xiàn)能夠用來對 π 作快速近似計算的公式還有很多。

π 的定義

1914 年，自學(xué)成才的傳奇印度數(shù)學(xué)家 Srinivasa Ramanujan（拉馬努金）就曾經(jīng)寫下過 14 個關(guān)于 π 的無窮級數(shù)展開公式。電子計算機出現(xiàn)以后，人類大規(guī)模高精度的計算能力得到了無與倫比的飛躍，使得圓周率計算的進程突飛猛進，實現(xiàn)了計算 π 的（二進制）數(shù)字長度的一次又一次重大突破。

1985 年，美國數(shù)學(xué)家 Bill Gosper用 Ramanujan 的一個公式計算圓周率精確到了小數(shù)點后 17500000 位。

1994年，蘇聯(lián)裔美國數(shù)學(xué)家 David 和 Gregory Chudnovsky 兄弟在同一個公式的基礎(chǔ)上計算 π 到了 4044000000 位。

1995 年以后，日本數(shù)學(xué)家金田康正（Yasumasa Kanada）及其團隊更在世界上遙遙領(lǐng)先，在 2003 年把對 π 的計算提高到了 1.24 萬億位。

這個紀錄在 2010 年 1 月 8 日由法國一位程序員 Fabrice Bellard 打破。他改進了 Chudnovsky 兄弟的公式，用了 131 天在一部臺式計算機上成功地把 π 計算到 2.7 萬億位。這個數(shù)字有多長呢？如果你平均用一秒鐘來報出一個數(shù)字的話，那么需要 8.5 萬年才能讀完它的所有數(shù)字。

厲害吧？可是，這個世界紀錄到 8 月份就被打破了：日本工程師近藤茂（Shigeru Kondo）與美國西北大學(xué)計算機系的香港學(xué)生余智恒合作，把 π值算到了 5 萬億位。

誰知道，當歡呼聲猶在耳際，9 月 17 日英國廣播公司BBC 又作出了驚人的報道，說雅虎科技公司的研究員、原香港科技大學(xué)畢業(yè)生施子和（Nicholas Tse-Wo Sze）采用“云計算”技術(shù)，利用 1000 臺計算機同時計算，歷時 23 天，將 π 計算到小數(shù)點后 2 千萬億位，為 8 個月前法國人 Bellard 記錄的近一千倍。

這可不是只增加了大約一千個數(shù)位，而是由一千個、每個都有 2.7 萬億位長的數(shù)字連接起來。哇塞！施子和興奮無比地向全世界宣布了他的計算結(jié)果，還說他發(fā)現(xiàn)了“π 的小數(shù)點后第兩千兆位是 0！”

無窮的 π

你或許不以為然，說用計算機來計算不足為奇。那么，用人腦來進行計算和記憶就不容易了吧？如果我告訴你，說有人能正確無誤地記住 π 的數(shù)值從 3.14 開始一直到小數(shù)點后幾萬位數(shù)字，你會覺得匪夷所思吧？

其實，多少年來一直有著憑人腦記憶來背誦 π 的數(shù)值的吉尼斯世界紀錄（GuinnessWorld Records），目前領(lǐng)先的是中國人呂超。2005 年 11 月 20 日，當時是西北農(nóng)林科技大學(xué)研究生的呂超用了 24 小時零 4 分的時間，連續(xù)背誦出 π 的值到小數(shù)點后 67890 位。

讀到這里，我知道你如果不是數(shù)學(xué)粉絲的話其實并不會特別激動：知道π ≈ 3.14 就已經(jīng)足夠了，誰去關(guān)心它長長尾巴上的無窮多位數(shù)字呢？

說來也是，造物主有這么多東西可以創(chuàng)造，為什么偏偏造出這個神奇的π 來，讓許許多多的數(shù)學(xué)家和粉絲們兩千多年來嘔心瀝血地去追尋不休呢？不過，我最近開始漸感驚訝，覺得造物主并不是一些人所想象的那么無聊。

柏林工業(yè)大學(xué)數(shù)學(xué)樓外的 π 鑲嵌藝術(shù)

你可能早已聽說過，π 與地球上的許多河流有關(guān)：河流彎曲河道的曲線長度與河道首尾直線距離之比通常都接近于 3.14 —— 河道越是蜿蜒曲折，這個近似值就越好——亞馬遜河便是一個例子。

最令我驚嘆的是 2010 年 11 月《科學(xué)》雜志上報道的德國格丁根大學(xué)馬克 · 普朗克動力學(xué)與自組織科學(xué)研究所和伯恩斯坦計算神經(jīng)科學(xué)研究中心的科學(xué)家 Matthias Kaschube 及其團隊的一項研究成果。

研究人員發(fā)現(xiàn)，相同哺乳類中的三種遠親動物嬰猴（galago）、樹鼩（tree shrew）和蒙眼貂（ferret）的大腦中，它們的視覺皮層的螺旋結(jié)構(gòu)平均分布密度都是一樣的，而且都落在 π 值 3.14 的 95% 置信區(qū)間之中。真的？這不會是巧合吧？雖然這個 3.14 不能與用計算機得到的兩千萬億位數(shù)字相提并論，但對于理論生物學(xué)家來說，3.14 已經(jīng)是一個令他們難以置信的超級精確度了。

科學(xué)家們相信，今天的生物大腦都是經(jīng)過漫長時間通過自組織演化過程而逐漸形成的，并且都具有某種最優(yōu)的結(jié)構(gòu)和功能。

如果是這樣的話，那些哺乳類動物大腦視覺皮層中基本螺旋結(jié)構(gòu)分布都不約而同地呈現(xiàn)出以 3.14 為平均密度之特征，是不是自然進化的最優(yōu)結(jié)果呢？不會是造物主在創(chuàng)世開始時，不經(jīng)意地在它們的大腦中寫下了那個神奇的數(shù)字 π 吧？