題目：

已知

A（﹣m﹣1，a），B（m/2，b），C（﹣m，c）是該拋物線上不同的三點，現(xiàn)將拋物線的對稱軸繞坐標原點O逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到直線l，過拋物線頂點P作PH⊥l于H。

1、用含m的代數(shù)式表示拋物線的頂點坐標；

2、若無論m取何值，拋物線與直線y=x﹣km（k為常數(shù)）有且僅有一個公共點，求k的值；

3、當1＜PH≤6時，試比較a，b，c之間的大小。

分析：

題目1：

呃，這個沒什么可分析的，嚴格按照公式求解即可：

題目2：

問：k值如何求？

答：與k相關(guān)的唯一條件“直線y=x-km與拋物線只有一個交點”，我們只能根據(jù)這個條件建立一個關(guān)于k的方程，進而求解方程得解。

求解交點坐標

聯(lián)立拋物線與直線解析式

可以得到關(guān)于橫坐標x的方程

現(xiàn)在開始“翻譯”最核心的條件：不論m何值，只有一個交點。那么上述關(guān)于交點橫坐標的方程根的判別式必然恒等于0，即方程恒有兩個相同的解。于是

整理得

于是，k=3；

題目3：

問：a，b，c誰大誰小？

答：首先，分別用m表示a，b，c，然后再比較大小。同時，注意m的取值范圍即可。

問：m的取值范圍怎么求？

答：從以下幾點，聯(lián)立求解

• ﹣1≤m≤4

• 1＜PH≤6，此處需要將PH表達為m的代數(shù)式

第1步：求a，b，c關(guān)于m的表達式

第2步：比較a，b，c的大小（先不考慮題目中對m的限制）

由第一步可知，a=c。所以，僅比較a，b即可。我們來比較b-a與0的大?。?/p>

我們可以把他看做是關(guān)于m的拋物線解析式；也可以直接與0比較，解不等式。當我們把上式看做是關(guān)于m的拋物線解析式時，有如下幾何特性

所以，

• 當m＜-2/3或m＞0時，b-a＞0；

• 當-2/3＜m＜0時，b-a＜0；

• 當m=-2/3，或m=0時，b-a=0。

第3步：考察m的取值限制，并與第二步中m的各取值范圍作結(jié)合

關(guān)于m，有3個限制條件

• ﹣1≤m≤4

• A，B，C是不同的點：﹣m﹣1≠m/2≠﹣m，即有m≠-2/3，m≠0；

• 1＜PH≤6

問：PH怎么表達？

答：求解P和H的坐標，利用距離公式求解。

問：P，H坐標是什么？

答：P為拋物線頂點，H為P到直線l垂線的垂足。

問：直線l解析式是什么？

答：將拋物線對稱軸x=-m-1/2繞原點逆時針旋轉(zhuǎn)90°，可知l解析式y(tǒng)=-m-1/2，如下圖

所以，H橫坐標與P相同，縱坐標為y=-m-1/2。所以

消去絕對值符號

• m＞1/12時，PH=3m-1/4；根據(jù)1＜PH≤6，得到5/12＜m≤25/12；

• m≤1/12時，PH=-3m+1/4。根據(jù)1＜PH≤6，得到-23/12≤m＜-3/12

綜合這3個限制條件，可得m的最終限制條件為

• 5/12＜m≤25/12，或

• -1≤m＜-3/12，m≠-2/3

第4步：整理a，b，c大小與m的關(guān)系如下

• 當-1≤m＜-2/3或5/12＜m≤25/12時，b-a＞0，即b大于a，c；

• 當-2/3＜m＜-3/12=-1/4時，b-a＜0，即b小于a，c。

回顧：

大家思考一下，翻譯“對稱軸x=-m-1/2繞原點逆時針旋轉(zhuǎn)90°”時，我們直接用了幾何圖形，這種方法嚴謹嗎？有興趣的朋友，可以試著用純數(shù)式來翻譯這個條件。

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