代數(shù)計算及通過代數(shù)計算進行說理問題

課前導學

計算說理是通過計算得到結論；說理計算側重說理，說理之后進行代入求值．

壓軸題中的代數(shù)計算題，主要是函數(shù)類題．

函數(shù)計算題必考的是待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，按照設、列、解、驗、答五步完成，一般來說，解析式中待定幾個字母，就要代入幾個點的坐標．

還有一類計算題，就是從特殊到一般，通過計算尋找規(guī)律．

代數(shù)計算和說理較多的一類題目，是確定直線與拋物線的交點個數(shù).聯(lián)立直線和拋物線的解析式組成方程組，消去y，得到關于x的一元二次方程，然后根據(jù)?確定交點的個數(shù)．

我們介紹一下求函數(shù)圖像交點坐標的幾何方法．

如圖1，已知直線y＝x＋1與x軸交于點A，拋物線y＝x²－2x－3與直線y＝x＋1交于A、B兩點，求點B的坐標的代數(shù)方法，就是聯(lián)立方程組，方程組的一個解是點A的坐標，另一個解計算點的坐標．

幾何法是這樣的：設直線AB與y軸分別交于C，那么tan∠AOC＝1．

作BE⊥x軸于E，那么．設B(x, x²－2x－3)，于是．

請注意，這個分式的分子因式分解后，．這個分式能不能約分，為什么？

因為x＝－1的幾何意義是點A，由于點B與點A不重合，所以x≠－1，因此約分以后就是x－3＝1．

這樣的題目一般都是這樣，已知一個交點求另一個交點，經(jīng)過約分，直接化為一元一次方程，很簡便．

圖1

例1         2014年湖南省長沙市中考第25題

在平面直角坐標系中，我們不妨把橫坐標和縱坐標相等的點叫“夢之點”，例如點（1,1），(－2,－2)，，…，都是“夢之點”，顯然“夢之點”有無數(shù)個．

（1）若點P(2, m)是反比例函數(shù)（n為常數(shù)，n≠0）的圖象上的“夢之點”，求這個反比例函數(shù)的解析式；

（2）函數(shù)y＝3kx＋s－1（k、s為常數(shù)）的圖象上存在“夢之點”嗎？若存在，請求出“夢之點”的坐標，若不存在，說明理由；

（3）若二次函數(shù)y＝ax²＋bx＋1（a、b是常數(shù)，a＞0）的圖象上存在兩個“夢之點”A(x₁,x₁)、B(x₂, x₂)，且滿足－2＜x₁＜2，| x₁－x₂|＝2，令，試求t的取值范圍．

動感體驗

請打開幾何畫板文件名“14長沙25”，拖動y軸正半軸上表示實數(shù)a的點，可以體驗到，A、B兩點位于y軸同側，A、B兩點間的水平距離、豎直距離都是2，并且對于同一個a，有兩個對應的b和b′，但是t隨b、t隨b′變化時對應的t的值保持相等．

思路點撥

1．“夢之點”都在直線y＝x上．

2．第（2）題就是討論兩條直線的位置關系，分重合、平行和相交三種情況．

3．第（3）題放棄了也是明智的選擇．求t關于b的二次函數(shù)的最值，b的取值范圍由“夢之點”、－2＜x₁＜2和| x₁－x₂|＝2三個條件決定，而且－2＜x₁＜2還要分兩段討論．

圖文解析

（1）因為點P(2, m)是“夢之點”，所以P(2, 2)．所以．

（2）“夢之點”一定在直線y＝x上，直線y＝3kx＋s－1與直線y＝x的位置關系有重合、平行、相交．

圖1                        圖2                      圖3

①如圖1，當直線y＝3kx＋s－1與直線y＝x重合時，有無數(shù)個“夢之點”．此時k＝，s＝1．

②如圖2，當直線y＝3kx＋s－1與直線y＝x平行時，沒有“夢之點”．此時k＝，s≠1．

③如圖3，當直線y＝3kx＋s－1與直線y＝x相交時，有1個“夢之點”．

此時k≠，“夢之點”的坐標為．

（3）因為A(x₁,x₁)、B(x_2,x₂)兩點是拋物線與直線y＝x的交點，聯(lián)立y＝ax²＋bx＋1和

y＝x，消去y，整理，得ax²＋(b－1)x＋1＝0．

所以x₁x₂＝＞0．所以A、B兩點在y軸的同側．

如圖4，由| x₁－x₂|＝2，可知A、B兩點間的水平距離、豎直距離都是2．

已知－2＜x₁＜2，我們分兩種情況來探求a的取值范圍：

①當A、B兩點在y軸右側時，0＜x₁＜2，2＜x₂＜4．所以0＜x₁x₂＜8．

②當A、B兩點在y軸左側時，－2＜x₁＜0，－4＜x₂＜－2．所以0＜x₁x₂＜8．

綜合①、②，不論0＜x₁＜2或－2＜x₁＜0，都有0＜x₁x₂＜8．

所以0＜＜8．所以a＞．

由ax²＋(b－1)x＋1＝0，得x₁＋x₂＝，x₁x₂＝．

由| x₁－x₂|＝2，得(x₁－x₂)²＝4．所以(x₁＋x₂)²－4x₁x₂＝4．

所以．整理，得．

所以＝＝＝．

如圖5，這條拋物線的開口向上，對稱軸是直線，在對稱軸右側，t隨a的增大而增大．因此當時，t取得最小值，t＝＝．

所以t的取值范圍是t＞．

圖4                                  圖5

考點伸展

第（3）題我們也可以這樣來討論：

一方面，由| x₁－x₂|＝2，得(x₁－x₂)²＝4．所以(x₁＋x₂)²－4x₁x₂＝4．

所以．整理，得．

另一方面，由f(2)＞0，f(－2)＜0，得f(2)f(－2)＜0．

所以＜0．

所以＝＝＜0．所以a＞．

例2         2014年湖南省懷化市中考第23題

設m是不小于－1的實數(shù)，使得關于x的方程x²＋2(m－2)x＋m²－3m＋3＝0有兩個不相等的實數(shù)根x₁，x₂．

（1）若，求的值；

（2）求的最大值．

動感體驗

請打開幾何畫板文件名“14懷化23”，拖動x軸上表示實數(shù)m的點運動，可以體驗到，當m小于1時，拋物線與x軸有兩點交點A、B．觀察點D隨m運動變化的圖像，可以體驗到，當m＝－1時，點D到達最高點．

思路點撥

1．先確定m的取值范圍，由兩個條件決定．

2．由根與系數(shù)的關系，把第（1）題的已知條件轉化為關于m的方程．

3．第（2）題首先是繁瑣的式子變形，把m提取出來，可以使得過程簡便一點．

圖文解析

（1）因為方程x²＋2(m－2)x＋m²－3m＋3＝0有兩個不相等的實數(shù)根，所以?＞0．

由?＝4(m－2)²－4(m²－3m＋3)＝－4m＋4＞0，得m＜1．

又已知m是不小于－1的實數(shù)，所以－1≤m＜1．

由根與系數(shù)的關系，得，．

若，那么．所以．

整理，得．解得，或（舍去）．

所以．所以＝＝．

（2）＝＝

＝＝

＝＝

＝＝．

所以當m＝－1時，它有最大值，最大值為3（如圖1所示）．

圖1

考點伸展

當m變化時，拋物線y＝x²＋2(m－2)x＋m²－3m＋3＝0的頂點的運動軌跡是什么？

因為拋物線的對稱軸是直線x＝－(m－2)，所以拋物線的頂點的縱坐標

y＝(m－2)²－2(m－2)²＋m²－3m＋3＝m－1．

因為x＋y＝－(m－2)＋m－1＝1為定值，所以y＝－x＋1．

也就是說，拋物線的頂點(x, y)的運動軌跡是直線y＝－x＋1（如圖2所示）．

圖2

例3         2014年湖南省湘潭市中考第26題

如圖1，已知二次函數(shù)y＝－x²＋bx＋c的對稱軸為x＝2，且經(jīng)過原點，直線AC的解析式為y＝kx＋4，直線AC與y軸交于點A，與二次函數(shù)的圖象交于B、C兩點．

（1）求二次函數(shù)解析式；

（2）若，求k的值；

（3）若以BC為直徑的圓經(jīng)過原點，求k的值．

                                          圖1

動感體驗

請打開幾何畫板文件名“14湘潭26”，拖動點C在拋物線上運動，可以體驗到，當以BC為直徑的圓經(jīng)過原點時，△BMO∽△ONC．

思路點撥

1．第（2）題先將面積比轉化為AB與BC的比，進而轉化為B、C兩點的橫坐標的比．

2．第（2）題可以用直線的解析式表示B、C兩點的坐標，再代入拋物線的解析式列方程組；也可以用拋物線的解析式表示B、C兩點的坐標，再代入直線的解析式列方程組．

3．第（3）題先聯(lián)立拋物線與直線，根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關系，得到B、C兩點的橫坐標的和與積，再構造相似三角形列方程．

圖文解析

（1）因為原點O關于直線x＝2的對稱點為(4, 0)，所以拋物線y＝－x²＋bx＋c的解析式為y＝－x(x－4)＝－x²＋4x．

（2）如圖2，因為，所以．設x_B＝m，那么x_C＝4m．

將點B(m,km＋4)、C(4m, 4km＋4)分別代入y＝－x(x－4)，得

①－②÷4，整理，得m²＝1．所以m＝1．

將m＝1代入①，得k＋4＝3．解得k＝－1．此時點C落在x軸上（如圖3）．

（3）因為B、C是直線y＝kx＋4與拋物線的交點，設B(x₁,kx₁＋4)，C(x₂,kx₂＋4)．

聯(lián)立y＝－x²＋4x和y＝kx＋4，消去y，整理，得x²＋(k－4)x＋4＝0．

所以x₁＋x₂＝4－k，x₁x₂＝4．

如圖5，若以BC為直徑的圓經(jīng)過原點，那么∠BOC＝90°．

作BM⊥y軸，CN⊥y軸，垂足分別為M、N，那么△BMO∽△ONC．

根據(jù)，得．

所以．

將x₁＋x₂＝4－k，x₁x₂＝4代入，得．解得．

圖2                      圖3                      圖4

考點伸展

第（2）題也可以先用拋物線的解析式設點B、C的坐標，再代入直線的解析式列方程組．

將點B(m,－m²＋4m)、C(4m,－16m²＋16m)分別代入y＝kx＋4，得

①×4－②，得12m²＝12．所以m＝1．

將m＝1代入①，得3＝k＋4．解得k＝－1．

例4         2014年湖南省株洲市中考第24題

已知拋物線和直線．

（1）求證：無論k取何實數(shù)值，拋物線與x軸有兩個不同的交點；

（2）拋物線與x軸交于A、B兩點，直線與x軸交于點C，設A、B、C三點的橫坐標分別是x₁、x₂、x₃，求x₁·x₂·x₃的最大值；

（3）如果拋物線與x軸的兩個交點A、B在原點的右邊，直線與x軸的交點C在原點的左邊，又拋物線、直線分別交y軸于點D、E，直線AD交直線CE于點G（如圖1），且CA·GE＝CG·AB，求拋物線的解析式．

圖1

動感體驗

請打開幾何畫板文件名“14株洲24”，拖動y軸上表示實數(shù)k的點運動，可以體驗到，拋物線與x軸總是有兩個交點．觀察x₁·x₂·x₃隨k變化的函數(shù)圖像，可以體驗到，x₁·x₂·x₃是k的二次函數(shù)．還可以體驗到，存在一個正數(shù)k，使得AD與BE平行．

思路點撥

1．兩個解析式像龐然大物，其實第（1）題的語境非常熟悉，走走看，豁然開朗．

2．第（2）題x₁·x₂·x₃的最小值由哪個自變量決定呢？當然是k了．所以先求x₁·x₂·x₃關于k的函數(shù)關系式，就明白下一步該怎么辦了．x₁·x₂由根與系數(shù)的關系得到，x₃就是點C的橫坐標．

3．第（3）題的等積式轉化為比例式，就得到AD//BE．由此根據(jù)OD∶OA＝OE∶OB列方程，再結合根與系數(shù)的關系化簡．還是走走看，柳暗花明．

圖文解析

（1）因為＞0，所以無論k取何實數(shù)值，拋物線與x軸有兩個不同的交點．

（2）由，得C(－(k＋1), 0)．所以x₃＝－(k＋1)．

由根與系數(shù)的關系，得x₁·x₂＝．

所以x₁·x₂·x₃＝＝．

因此當時，x₁·x₂·x₃取得最大值，最大值＝＝．

（3）如圖2，由CA·GE＝CG·AB，得．

所以AG//BE，即AD//BE．

所以，即．所以．所以．

所以x₂＝k＋1，或－k－1（舍）．

又因為x₁＋x₂＝k＋2，所以x₁＝1，即A(1, 0)．

再將點A(1, 0)代入，得．

解得k＝2．所以拋物線的解析式為y＝x²－4x＋3．

圖2                              圖3

考點伸展

把第（3）題中的條件“CA·GE＝CG·AB”改為“EC＝EB”，其他條件不變，那么拋物線的解析式是怎樣的呢？

如圖3，因為點E在y軸上，當EC＝EB時，B、C兩點關于y軸對稱，所以B(k＋1, 0)．

將點B(k＋1, 0)代入，得．

解得k＝2．所以拋物線的解析式為y＝x²－4x＋3．