點擊標(biāo)題下面一行中的“北京 邵勇”右邊的藍字“數(shù)學(xué)教學(xué)研究”，關(guān)注本微信公眾號。本公眾號每周推送兩到三篇有分量的數(shù)學(xué)文章，但在行文上力爭做到深入淺出。幾分鐘便可讀完。輕松學(xué)數(shù)學(xué)，毫不費力。

（1）一個正三角形（下圖中左側(cè)的深紫色三角形），置于一條水平直線上，我們準(zhǔn)備要它在水平直線上向右側(cè)翻轉(zhuǎn)。翻轉(zhuǎn)前先把正三角形最左側(cè)的頂點標(biāo)以紅色。三角形繞著位于直線上的右頂點旋轉(zhuǎn)120度使三角形另一邊落在直線上算作一次翻轉(zhuǎn)（轉(zhuǎn)到了下圖中中間那個稍淺一些的紫色三角形的位置）。這個紅色頂點也隨之變化到一個新的位置（中間三角形上面的頂點）。繼續(xù)這樣的翻轉(zhuǎn)，三角形到達了下圖右邊淺紫色三角形的位置，這時紅色頂點從翻轉(zhuǎn)開始后第一次又落在水平直線上。我們依次把紅色頂點用直線段連接進來，形成一條折線。我們來研究這條折線與水平直線所圍成圖形的面積。所圍成圖形是一個等腰三角形（圖中的黑色三角形）。那么，這個黑色三角形的面積是多少呢？很明顯，它的面積是正三角形面積的3倍。請記住這個“3倍”。

（2）我們用正方形來代替上面的三角形，進行類似的翻轉(zhuǎn)運動。如下圖所示。原來位于水平直線上的正方形左邊頂點也將隨著每次翻轉(zhuǎn)變化到另外的位置。翻轉(zhuǎn)三次后，原紅色頂點又一次落在水平直線上。依次連接紅色頂點，得到一條折線，它與水平直線圍成的圖形是一個等腰梯形。很容易看出，它的面積是正方形面積的3倍。注意，這里也是3倍的關(guān)系。

（3）下面該輪到正五邊形了。如下圖所示。下圖中的（上）圖是正五邊形運動過程圖。紅色頂點連接成折線，并與水平直線圍成一個區(qū)域，這個區(qū)域的面積是正五邊形面積的3倍。這里的3倍關(guān)系不是很容易看出，下圖中的（下）圖給出了圖說：所求區(qū)域中已包含了一個正五邊形，那么，左右對稱的兩個不規(guī)則五邊形的面積若都等于正五邊形的面積就OK了。圖中我們把左邊不規(guī)則五邊形（粗黑框所圍）分割成三塊（紅、粉、綠），然后，把這三塊等面積變換到水平直線下方構(gòu)成一個新的正五邊形。（留下幾個問題請您自己考慮：為什么兩個綠色三角形面積是相等的？為什么兩個紅色三角形面積也是相等的？）

（4）下面，我們翻轉(zhuǎn)正六邊形。如下圖所示。最后所得類似的折線與水平直線圍成圖形的面積，是正六邊形面積的3倍。這點可以通過數(shù)一數(shù)小三角形的個數(shù)而得以證明。正六邊形由6個正三角形組成，而所求區(qū)域正好由16個這樣的正三角形及兩個與小正三角形面積相等的等腰三角形組成，總面積正好是18個小正三角形面積的和。這正好就是三個正六邊形的面積和。所以，還是3倍關(guān)系。

（5）再來看一下正八邊形的情況（對七邊形情況，3倍關(guān)系也是對的，這里不討論了）。下圖中有三個小圖，（上）圖是正八邊形在直線上翻轉(zhuǎn)的過程。一共翻轉(zhuǎn)7次，留下8個紅點。依次連接這8個紅點所得折線與水平直線圍成圖形的面積，也是3個正八邊形面積之和。（中）圖和（下）圖以顏色給出了答案。（中）圖中是三個正八邊形，每個正八邊形被劃分成六個三角形，并涂以顏色：全等的三角形涂以相同顏色，不全等的三角形涂以不同的顏色。這樣，得到紅色、藍色和綠色三角形各6個。下圖中，一半的面積用了各三個這三種顏色的三角形，所以，所求圖形面積正好是3個正八邊形面積的和。仍然是3倍關(guān)系。

（6）最后，不斷加大正多邊形的邊數(shù)，讓它接近于圓。可以想像，圓上最初落在直線上的一點隨著圓的滾動，留下運動軌跡，這個軌跡就叫做擺線。由前面從邊長較少的正三形開始，然后，邊數(shù)逐漸增多，最后趨近于圓。這個正多邊形邊數(shù)逐漸增多的過程就是一個取極限的過程，圓就是這個極限。一個周期的擺線（也叫做一拱，即原本落在水平直線上的點再次落到直線上時的這段軌跡），與水平直線圍成圖形的面積也必然等于圓的面積的3倍。下面的小動畫是擺線生成的過程。其中圓心走過的距離正好等于圓的周長。

（7）知識拓展：把上面的上凸擺線轉(zhuǎn)180度成為上凹擺線，截取半拱。則這個半拱是最速降線。也就是說，一個小球從半拱上端自由下滑到末端所用時間，比沿其他曲線下滑到同一點，所用時間最少。并且，擺線還是等時曲線，即從半拱擺線最高端放開小球，它到達最末端所用時間，與從半拱中途任意一處放開小球，它到達底端所用時間是相等的。