導(dǎo)讀：這篇文章從醞釀到最后成文前后經(jīng)歷了兩個月，修改了好多版。很多人都不清楚小學(xué)數(shù)學(xué)應(yīng)該學(xué)什么，怎么學(xué)？這篇文章將帶你深入剖析這一問題，告訴你孩子在小學(xué)階段最應(yīng)該建立起來的核心數(shù)學(xué)能力。文章約7000字，若能沉下心閱讀，必有收獲。

之前寫的《作業(yè)幫猿輔導(dǎo)清北網(wǎng)校，請停止你們拙劣的表演》成為公眾號xuanbamath目前閱讀量最高的一篇文章。這倒不是因為文中有干貨，而是我認(rèn)為這些廣告宣傳基本是強(qiáng)調(diào)記憶而忽略原理的速算，完全不值得炫酷，這一點(diǎn)得到了很多家長的高度認(rèn)同。

那么小學(xué)數(shù)學(xué)，或者更寬泛一些，中小學(xué)數(shù)學(xué)到底應(yīng)該學(xué)什么，怎么學(xué)？

請先思考5秒種，再往下讀！

你的腦海里有沒有浮現(xiàn)出下列場景？

（1）背了好久的九九乘法表；

（2）總有出錯的豎式計算；

（3）經(jīng)常忘記除以2的三角形和梯形面積公式；

（4）惱人的單位換算；

（5）總也標(biāo)不對位置的小數(shù)點(diǎn)；

（6）經(jīng)常跳坑的應(yīng)用題。

如果有，那恭喜你，屬于絕對有必要讀本文的對象，請直接往下讀。如果沒有，請在留言區(qū)補(bǔ)充后繼續(xù)往下讀。

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的幾點(diǎn)經(jīng)驗

我小時候?qū)W數(shù)學(xué)，很少有人教套路。不少人問我為什么高考數(shù)學(xué)能得滿分，有沒有什么經(jīng)驗。我總結(jié)了以下幾點(diǎn)。

(1) 重視基本概念

學(xué)好數(shù)學(xué)，搞清楚基本概念非常重要。其實，基本概念的重要性不僅僅是在數(shù)學(xué)領(lǐng)域，在整個科學(xué)領(lǐng)域都一樣重要。

已故的南大計算機(jī)系泰斗級人物徐家福先生就非常強(qiáng)調(diào)基本概念。他每次給學(xué)生做講座，都要強(qiáng)調(diào)“基本概念、基本概念、基本概念！” 沒錯，每次他都會重復(fù)三遍。

歐幾里得的平面幾何奠定了西方公理化方法的基礎(chǔ)。公理化方法是“從某些基本概念和基本命題出發(fā)，根據(jù)特定的演繹規(guī)則，推導(dǎo)一系列的定理，從而構(gòu)成一個演繹系統(tǒng)”的方法。歐氏幾何的數(shù)學(xué)大廈就是由基本概念（包括基本概念、基本關(guān)系）、公理、演繹規(guī)則和定理構(gòu)成。其中，基本概念居于重要的位置。

很多數(shù)學(xué)問題，其實最終考察的是對基本概念的理解程度。但有些人卻在基本概念和定義都還沒有搞清楚的情況下，就去追求公式記憶和快速解題，這就有點(diǎn)本末倒置了。

這里列舉幾個例子。

比如，提到圓，很多人都會立刻想到圓的周長和面積公式，而往往忽略了一個最重要的性質(zhì)，即圓上的任何一點(diǎn)到圓心的距離都相等。

再如，高中時學(xué)的橢圓和雙曲線，很多人都側(cè)重于去記住橢圓和雙曲線的代數(shù)方程。但是除了方程之外，這些曲線還有它們的幾何意義。許多時候，這些幾何含義往往可以成為解決問題的利器。

（2）重視結(jié)論背后的原理

我自己學(xué)數(shù)學(xué)，很少刻意去背公式和記結(jié)論。自己不理解的結(jié)論，很難記住，即便一時記住，也容易忘記或記錯。

比如小學(xué)低年級的植樹問題、乘法分配律，我肯定會通過數(shù)形結(jié)合的方法去加深理解。

我記得某個培訓(xùn)機(jī)構(gòu)為了讓孩子記住乘法分配律，用了個警察抓小偷的故事來輔助記憶。但如果用下面數(shù)形結(jié)合的方式來輔助理解乘法分配律，是不是想忘記都難？

現(xiàn)在很多機(jī)構(gòu)都大力宣傳各種速算技巧，這些其實完全沒有必要刻意去學(xué)。每一種速算都有它的適用范圍，一不小心就容易搞混、記錯。數(shù)的位值表示、交換律、結(jié)合律、分配律、因數(shù)分解等，才是各類速算技巧背后的核心原理。

類似于“用1、2、3、4、5這五個數(shù)字組成一個三位數(shù)和一個兩位數(shù)，使得兩個數(shù)乘積最大”的問題，我更不會去記給自己的思想戴上枷鎖的所謂“U型圖解法”。

除了上面的簡單例子，包括等差數(shù)列求和、等比數(shù)列求和、以及大部分三角公式，我也不會刻意去記公式，而是重視這些公式的推導(dǎo)過程。這樣習(xí)得的知識，才能記得牢、用的活。

（3）有一股鉆勁

這一點(diǎn)可能是不少孩子在學(xué)數(shù)學(xué)過程中所欠缺的。特別是現(xiàn)在很多培訓(xùn)講究套路，而不重視探索的過程，最后純粹變成了比誰見過的套路多。孩子一旦碰到?jīng)]有見過的問題，就容易產(chǎn)生畏難情緒，容易放棄。

學(xué)好數(shù)學(xué)必須要有一股挑戰(zhàn)難題的韌勁！如果不經(jīng)常花一兩個小時或更長的時間去“啃”一道難題、消化難題，那數(shù)學(xué)是很難學(xué)好的。即便一段時間考了高分，那也不值得沾沾自喜，因為這種高分往往是曇花一現(xiàn)，難以持久。

《原本》的作者歐幾里得曾說過“幾何無王者之道”。這一點(diǎn)我非常贊同。包括幾何在內(nèi)的所有數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)都沒有捷徑可循。一切宣稱可以快速提分的，往往都是飲鴆止渴。數(shù)學(xué)問題可以千變?nèi)f化，只有修煉好內(nèi)功，才能以不變應(yīng)萬變！

（4）形成了一套自己的解題模式

不少人追求刷題量，最后導(dǎo)致解數(shù)學(xué)問題純粹變成了肌肉記憶和條件反射。我曾和一些孩子聊過，他們雖然可以條件反射式地快速給出一些問題的答案，但據(jù)我觀察，不少時候他們并沒有理解問題的本質(zhì)。

我自己不推薦海量刷題，但這并不是說不做題。不解題肯定學(xué)不好數(shù)學(xué)，關(guān)鍵是解題的方法。怎么才能做到解一題當(dāng)十題的效果？

經(jīng)過這么多年的實踐，我形成了一套自己的解題模式，自認(rèn)為可以最大化解題的效果。具體地，可以將解題的整個過程分為應(yīng)試和提升兩個階段。

應(yīng)試階段分為五步：

第一，仔細(xì)讀題審題。

這一步很重要，千萬不要圖快，最好題目讀上兩遍，揣摩清楚出題人的意圖。

第二，觀察聯(lián)想。

觀察、識別問題的結(jié)構(gòu)和模式，并與自己知識結(jié)構(gòu)中的已知問題進(jìn)行分析、對比。

第三，探索和求解。

在這個過程中，很多時候都是通過類比、歸納尋找解題的思路。在小學(xué)階段，這個過程對于提升孩子的數(shù)學(xué)能力非常重要，類比和歸納是人類解決未知問題的法寶。當(dāng)然，探索和求解的方法還有許多，我以后會慢慢寫。

第四，永遠(yuǎn)不要忘了問“是否是唯一解？”。

這一步也很重要，非?？疾焖季S的完備性。一道題10分，如果有2個答案，你只答了1個，那就只得5分。找出其它所有解，或者證明解就是唯一的，在數(shù)學(xué)上非常重要。

第五，學(xué)會驗算。

驗算并不是簡單地將問題重新做一遍，而是一門學(xué)問。關(guān)于驗算的內(nèi)容，完全可以寫上一整篇文章。我這里只講幾點(diǎn)：首先，驗算方法千萬條，讀對題目第一條，確保沒有讀錯題和會錯意是最重要的；其次，要即時驗算、步步為營；最后，驗算方法多種多樣，要選擇最適合所給問題的方法，包括代入法、殊途同歸法、特殊值法、實驗驗證法、估算法等。

如果是應(yīng)試，那么，到這兒解題就結(jié)束了。但作為平時的練習(xí)，到這里還遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠。后面的思考才是對提升數(shù)學(xué)解題能力作用最大的。就好比健身，當(dāng)你開始出汗的時候，后面一段時間的堅持才是鍛煉效果最好的。

那么還需要做什么呢？

第六，需要拷問自己：所采用的方法是否可以擴(kuò)展？

比如當(dāng)問題規(guī)模n=10的時候方法可以用，當(dāng)問題規(guī)模n=1000的時候方法還能不能用？

第七，永遠(yuǎn)要問自己，是否有其它解決方法？

努力做到一題多解，并學(xué)會分析每種方法的好壞和適用條件。一般而言，效率和普適性往往是一對矛盾體。

第八，變換角色，把自己當(dāng)成出題人。

想一想如果自己來出題，可以怎么改變出題條件，真正做到舉一反三。

如果能夠做到這些，那我相信數(shù)學(xué)解題能力想不提升都難。

學(xué)數(shù)學(xué)可以培養(yǎng)孩子的哪些能力和習(xí)慣？

雖說現(xiàn)在很多學(xué)科都可以培養(yǎng)孩子的思維能力，但無疑，數(shù)學(xué)依然是最好的思維體操。

通過數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，可以培養(yǎng)孩子的抽象能力、推理能力和解決問題的能力，并鍛煉公理化系統(tǒng)方法。具體地，我覺得可以培養(yǎng)孩子的12大能力和6大優(yōu)秀的品質(zhì)（注：這些詞有些是我自己總結(jié)和發(fā)明的，肯定有不周全的地方）。這些能力和品質(zhì)，對孩子日后的工作和生活具有非常積極的意義。

基礎(chǔ)教育階段數(shù)學(xué)能力培養(yǎng)的重點(diǎn)是什么？

小學(xué)階段，類比推理和歸納推理應(yīng)該是重點(diǎn)培養(yǎng)的數(shù)學(xué)推理能力。等小學(xué)高年級和中學(xué)階段，演繹推理將逐漸扮演更重要的角色。

類比推理

類比推理是根據(jù)兩個（或兩類）事物的某些屬性相同或相似，推出它們另一屬性也相同或相似的推理方法，是一種從特殊到特殊的推理方法。

聽著很玄乎？其實說白了就是依葫蘆畫瓢。

比如，知道圓的定義是由所有到圓心的距離相等的點(diǎn)構(gòu)成的集合，那么三維中球面的定義應(yīng)該是由到球心的距離相等的點(diǎn)構(gòu)成的曲面。

又如，我們知道在十進(jìn)制中，被9整除的數(shù)的特征是各位數(shù)字之和能被9整除，這一結(jié)論可以基于數(shù)的位值表示推導(dǎo)得出，例如：

297=2×102+9×10+7

=2×(99+1)+9×(9+1)+7

=2×99+9×9+2+9+7

因此，297能被9整除當(dāng)且僅當(dāng)其各位數(shù)字之和2+9+7能被9整除。

類似地，我們可以做這樣的類比：7進(jìn)制中，被6整除的數(shù)的特征是各位數(shù)字之和能被6整除。其結(jié)論也可以類比十進(jìn)制的推理得出。

435(7)=4×100(7)+3×10(7)+5

=4×(66(7)+1)+3×(6(7)+1)+5

=4×66(7)+3×6(7)+4+3+5

因此，435(7)能被6整除等價于4+3+5能被6整除。

再看一個幾何的例子：

下圖的正方形邊長為1，首先被分成四個相等的正方形，將左上角涂色，然后再將右下角正方形的一分為四，將左上角的涂色。如果我們一直持續(xù)這一過程，那么最后被涂色的部分占整個面積的多少？

這個問題最直接的做法是利用小學(xué)生無法理解的無窮級數(shù)求和。如果不用無窮級數(shù)求和，可以這么考慮：去掉右下角的1/4塊后，剩下的這部分，涂色部分是剩下部分的1/3（如下圖左）。

在剩下的1/4塊里，我們再去掉這個1/4塊的右下角，那么涂色部分依然占整個面積的1/3（如上圖右）。依此類推，每次都摳掉右下角的一小塊，涂色部分的面積在不同的尺度上都是整個面積的1/3，因此整體上涂色部分面積為整個正方形面積的1/3。

基于這個小學(xué)生能理解的思路，我們可以類似地解決下面這個問題：

在下面的黃色正三角形ABC中，分別取三邊的中點(diǎn)D, E, F并分別連接，然后分別取DE, EF,DF三邊的中點(diǎn)H, I, G，并將ΔDGH, ΔEHI, ΔGIF涂成藍(lán)色。接著，對中間的小三角形GHI重復(fù)上述同樣的操作。如果這一操作一直持續(xù)下去到永遠(yuǎn)，請問，圖中涂成黃色部分的面積占整個正三角形面積的幾分之幾？

但是，由于類比推理的邏輯根據(jù)是不充分的，帶有或然性，具有猜測性，不一定可靠，不能作為一種嚴(yán)格的數(shù)學(xué)方法，因此還須經(jīng)過嚴(yán)格的邏輯論證，才能確認(rèn)猜測結(jié)論的正確性。

比如，“這篇小說只有1000字,文字很流暢，這篇小說得獎了。你寫的這篇小說也是1000字，文字也很流暢，因此也一定能得獎?！?這樣的類比無疑會得出錯誤的結(jié)論。

人類一直希望能找到適合生命存在的外星系類地行星，這就是一種類比推理。根據(jù)行星的構(gòu)造、溫度、距離恒星的遠(yuǎn)近等方面具有與地球類似的特征，因此推斷其可能也應(yīng)該有生命存在。這樣的推理結(jié)論，并不一定正確。

歸納推理

歸納推理則是由部分到整體，個別到一般的推理過程，是由一定程度的關(guān)于個別事物的觀點(diǎn)過渡到范圍較大的觀點(diǎn)，由特殊具體的事例推導(dǎo)出一般原理、原則的方法。

聽著高大上？其實就是找規(guī)律！

應(yīng)該說，歸納推理能力的培養(yǎng)對于解決未知問題具有重要的作用，是小學(xué)階段應(yīng)該花力氣重點(diǎn)培養(yǎng)的主要能力之一。

先看一個簡單的問題：

2，5，8，11，…，這個數(shù)列的第100項是多少?

這個問題，顯然需要在特殊的基礎(chǔ)上進(jìn)行歸納，從第二項起，每一個都是在前一個基礎(chǔ)上加3，那么第100項應(yīng)該是在第1項的基礎(chǔ)上加99個3，即為2+99×3。更一般化地，第n項的通項公式應(yīng)該是2+(n-1)×3。

再如，我們知道三角形、四邊形、五邊形的內(nèi)角和分別為180°，360°，540°，據(jù)此，我們可以歸納出n邊形的內(nèi)角和應(yīng)該是(n-2)×180°。

再看下面這個問題：

有100個邊長為1的正三角形如下圖所示排成一行，請問圖形的周長是多少？

我們不妨從1個正三角形開始做初步的探索：

正三角形個數(shù)

周長

1 3

2 4

3 5

4 6

據(jù)此，我們可以歸納出n個正三角形按上面的方式排列的周長為n+2。

如果我們把正三角形換成正五邊形，100個邊長為1的正五邊形如下圖所示排在一起，周長為多少？

我們同樣也可以從1個正五邊形開始做如下的探索和歸納：

正五邊形個數(shù)

周長

1 5

2 8

3 11

4 14

據(jù)此，可以歸納出n個正五邊形按上述方式排列，周長為3n+2。

上面的結(jié)論，當(dāng)然可以進(jìn)行嚴(yán)格證明。從圖中可以看到，除了頭尾兩個正五邊形貢獻(xiàn)了4條邊，其余n-2個正五邊形都貢獻(xiàn)了3條邊，因此周長為4×2+3×(n-2)=3n+2。

最后再來看一個稍微復(fù)雜一點(diǎn)的問題：

有1個水龍頭，6個人各拿一只水桶到水龍頭接水，水龍頭注滿6個人的水桶所需時間分別是5分鐘、4分鐘、3分鐘、10分鐘、7分鐘、6分鐘．怎么安排這6個人打水，才能使他們等候的總時間（包括自己的打水時間）最短，最短的時間是多少？

這個問題，也可以從歸納開始。

首先，假設(shè)只有2個人，所需注水時間分別為3分鐘和4分鐘，那么按照注水時間有3、4和4、3兩種排列。顯然，按照前一種排列方式打水，等候的總時間最短，為3+(3+4)=10分鐘。

再假設(shè)有3個人，所需注水的時間分別為3分鐘、4分鐘、5分鐘，那么有：

注水時間的排列順序

等候的總時間

3、4、5 22

3、5、4 23

4、3、5 23

4、5、3 25

5、3、4 25

5、4、3 26

可以看到，按照3分鐘、4分鐘、5分鐘的順序打水，等候的總時間最短。

據(jù)此，可以大致歸納出下面的結(jié)論：為了讓所有人等候的總時間最短，應(yīng)該按照注水時間從小到大的順序排隊打水。

但這個歸納到底對不對，還需要嚴(yán)格的證明。

證明方法不止一種，這里只介紹一種基于整體思維和遞歸思維的方法。

假設(shè)6個人最后打水的先后順序為：a, b, c, d, e,f, 各人需要的注水時間也用a, b, c, d, e, f表示，那么總的等候時間為：

a+(a+b)+(a+b+c)+(a+b+c+d)+(a+b+c+d+e)+(a+b+c+d+e+f)

=6a+5b+4c+3d+2e+f

=5a+4b+3c+2d+e+(a+b+c+d+e+f)

=5a+4b+3c+2d+e+35

要使得和最小，最后一個式子中消失的f應(yīng)該是最大的，即10分鐘，剩下的a, b, c, d, e為5,4,3,7,6的一個排列。

基于遞歸的思維，重復(fù)這一分析過程，可以得到e=7，d=6，c=5，b=4，a=3。

事實上，許多物理定律的發(fā)現(xiàn)，也都依賴于對大量數(shù)據(jù)的觀測和歸納，比如開普勒發(fā)現(xiàn)的行星運(yùn)動定律。從這個意義上講，對數(shù)據(jù)的擬合就是一種歸納。

當(dāng)然，上面所提到問題的歸納最后是可以進(jìn)行嚴(yán)格證明的。但是，有些通過特殊歸納出的一般結(jié)論卻并不一定正確，或者，很難被證明或證偽，從而變成了著名的數(shù)學(xué)猜想。

例如，大名鼎鼎的哥德巴赫猜想就屬于這樣的歸納結(jié)論。

哥德巴赫猜想：任何大于2的偶數(shù)都可以表示成兩個質(zhì)數(shù)之和。

比如4=2+2，6=3+3，8=3+5，10=5+5，這個結(jié)論對于特殊值都成立。但通過歸納得出的一般性結(jié)論，經(jīng)歷了這么多年都未能得到證明或證偽。

此外，規(guī)律不一定唯一，同樣的觀測值，可以得出不同的可解釋的歸納結(jié)論。比如下面這個：

1，2，4，8，_____

按照大部分人的直覺，后面都會填16。

但是，填15也行。為什么？如果你去研究一下0刀、1刀、2刀、3刀、4刀分別最多能把西瓜切成多少塊，就會發(fā)現(xiàn)是1，2，4，8，15這個序列。

填14也行。為什么？如果你去觀察一下0個圓、1個圓、2個圓、3個圓、4個圓分別最多能把平面分成多少份，就會發(fā)現(xiàn)是1，2，4，8，14這個序列。

事實上，只要是有限個數(shù)，空格處填任何數(shù)都可以通過合適的多項式進(jìn)行擬合。

演繹推理

而到了初中以后，演繹推理就顯得更重要。

演繹推理是指從一般性的前提出發(fā)，通過推導(dǎo)即“演繹”，得出具體陳述或個別結(jié)論的過程。演繹推理是一種確定性推理，是前提與結(jié)論之間有必然性聯(lián)系的推理。

最著名的演繹推理是下面的三段論：

所有的人都會死。

蘇格拉底是人。

所以，蘇格拉底會死。

在我們的數(shù)學(xué)課程中，演繹推理在平面幾何中用的最多。這里舉一個例子。

證明三角形的內(nèi)角和是180°。

在小學(xué)的課本里，是通過類似于下面的實驗方法，把三角形的三個角剪下來，拼在一起，發(fā)現(xiàn)正好是一個平角。

這種方法當(dāng)然不能算是一種證明。嚴(yán)格的證明需要演繹推理。

首先，如下圖所示，延長BC至CD。在ΔABC中，過C點(diǎn)做BA的平行線至CE。

由于BA//CE，

所以有：

∠DCE=∠B（同位角相等）

∠ECA=∠A（內(nèi)錯角相等）

因此：

∠A+∠B+∠C

=∠ECA+∠DCE+∠ACB

=180°

如果要進(jìn)一步深究一下，為什么同位角和內(nèi)錯角相等？那我們還要搬出歐幾里得平面幾何五大公設(shè)中的第五條，它是這么說的：

同平面內(nèi)一條直線和另外兩條直線相交，若在某一側(cè)的兩個內(nèi)角和小于二直角的和，則這二直線經(jīng)無限延長后在這一側(cè)相交。

這句話的逆否命題是：同平面內(nèi)一條直線和另外兩條直線相交，如果后面兩條直線無限延長后在某一側(cè)不相交，那么這一側(cè)的兩個內(nèi)角和不小于兩個直角的和（即180°）。

由于兩條直線平行，所以這兩條直線在任何一側(cè)都不相交（注：這一結(jié)論只限歐氏幾何范疇）。那么兩側(cè)的兩個內(nèi)角和都不小于180°。而四個內(nèi)角加起來是360°，只能是每一側(cè)的兩個內(nèi)角和均為180°。再根據(jù)平角是180°，可以進(jìn)一步推出同位角和內(nèi)錯角相等。

只有掌握了演繹推理，才算是真正步入了數(shù)學(xué)的大門。

所以，什么才是我們最應(yīng)該學(xué)的？

不是那些讓人眼花繚亂的各種技巧，而是基本概念、基本關(guān)系、基本規(guī)則、基本原理和基本推理方法，以及不畏艱難和追求卓越的品質(zhì)！

（全文完）