一、利用圓錐曲線的定義

圓錐曲線的定義，是曲線上的動(dòng)點(diǎn)本質(zhì)屬性的反映。研究圓錐曲線的最值，利用圓錐曲線的定義，可使問題簡化。

例1、若使雙曲線上一點(diǎn)M到定點(diǎn)A（7，）的距離與M到右焦點(diǎn)F的距離之半的和有最小值，求M點(diǎn)的坐標(biāo)。

解析：如圖所示，由雙曲線定義2可知，，所以|MF|=2|MP|。令，即。此問題轉(zhuǎn)化為折線AMP的最短問題。顯然當(dāng)A、M、P同在一條與x軸平行的直線上時(shí)，折線AMP最短，故M點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，代入雙曲線方程得M（，）。

二、利用幾何圖形的對(duì)稱性

對(duì)稱思想是研究數(shù)學(xué)問題常用的思想方法，利用幾何圖形的對(duì)稱性去分析思考最值問題。

例2、已知點(diǎn)A（2，1），在直線和上分別求B點(diǎn)和C點(diǎn)，使△ABC的周長最小。

分析：軸對(duì)稱的幾何性質(zhì)以及兩點(diǎn)間的距離以直線段為最短。

解析：先找A（2，1）關(guān)于直線、的對(duì)稱點(diǎn)分別記為和，如圖所示，若在、上分別任取點(diǎn)和，則△ABC周長=

周長。

故當(dāng)且僅當(dāng)、、、四點(diǎn)共線時(shí)取等號(hào)，直線方程為：，與、的交點(diǎn)分別為B（，）、C（，0）。

三、利用參數(shù)的幾何意義

利用參數(shù)的幾何意義，把它轉(zhuǎn)化為幾何圖形中某些確定的幾何量（如角度、長度、斜率）的最大值、最小值問題。

例3、橢圓內(nèi)有兩點(diǎn)A（4，0），B（2，2），M是橢圓上一動(dòng)點(diǎn)，求|MA|+|MB|的最大值與最小值。

分析：若直接利用兩點(diǎn)的距離公式，難度較大，通過橢圓定義轉(zhuǎn)化后，利用幾何性質(zhì)可解決問題。

解析：|MA|+|MB|=2a-|MC|+|MB|=10+|MB|-|MC|，根據(jù)平面幾何性質(zhì)：||MB|-|MC||，當(dāng)且僅當(dāng)M、B、C共線時(shí)取等號(hào)，故|MA|+|MB|的最大值是

，最小值是。

四、利用代數(shù)性質(zhì)

將問題里某些變化的幾何量（長度、點(diǎn)的坐標(biāo)、斜率、公比）設(shè)為自變量，并將問題里的約束條件和目標(biāo)表示為自變量的解析式，然后利用代數(shù)性質(zhì)（如配方法、不等式法、判別式法等）進(jìn)行解決，可使問題簡單化。

例4、過拋物線的焦點(diǎn)作兩條互相垂直的弦AC、BD，求四邊形ABCD面積的最小值。

解析：設(shè)AC的直線方程，，由消去x得
△=。故|AC|=，由AC⊥BD，故BD的斜率為，。故，所以。

五、利用三角函數(shù)的性質(zhì)

適用適當(dāng)?shù)慕亲鳛樽宰兞?，把所求的問題表達(dá)成三角函數(shù)式，然后利用三角函數(shù)的性質(zhì)去解決問題。

例5、A為橢圓上任一點(diǎn)，B為圓上任一點(diǎn)，求|AB|的最短距離。

分析：|AB|+|BC|，且|BC|=1，故要求|AB|的最小值，只要求|AC|的最小值，而要求|AC|最值，只需利用橢圓的參數(shù)方程求解。

解析：設(shè)，C（1，0），故

|AC|==，于是，即|AB|

=。