在高三復(fù)習(xí)過程中經(jīng)常碰到有關(guān)求某曲線上的一個動點到兩定點的距離之和（差）的最值．許多同學(xué)在面對此類問題時感到束手無策，無從下手。本文就此類最值問題常見題型作初步探索。

一、直線上的動點到直線外兩個定點的距離之和（差）的最值．

例1?。?/span>1）已知點A(1，1)，點B(3，-2)，P是x軸上任意一點，則PA+PB的最小值為          ，此時點P的坐標為           ；

（2）已知點A(1，1)，點B(3，2)，P是x軸上任意一點，則PB-PA的最大值為          ，此時點P的坐標為           ．

解析：（1）如圖1，當點P在x軸上運動時，PA+PB?AB(當且僅當A，P，B三點共線時等號成立)  

 \(PA+PB)_min =AB=

        此時，點P的坐標為

（2）如圖2，當點P在x軸上運動時，PB- PA ?AB(當且僅當A，P，B三點共線時等號成立)

       \(PB-PA)_max =AB=

        此時，點P的坐標為

變題：（1）已知點A(1，1)，點B(3，2)，P是x軸上任意一點，則PA+PB的最小值為          ，此時點P的坐標為           ；

解析：（1）如圖3，作點B關(guān)于x軸的對稱點B?（3，-2），則有PB=PB?

當點P在x軸上運動時，PA+PB=PA+PB??AB?

(當且僅當A，P，B?三點共線時等號成立)

       \(PA+PB)_min =AB?=

        此時，點P的坐標為

（2）已知點A(1，1)，點B(3，-2)，P是x軸上任意一點，則PB-PA

的最大值為          ，此時點P的坐標為         ．

解析：（2）如圖4，作點B關(guān)于x軸的對稱點B?，則有PB=PB?

當點P在x軸上運動時，PB- PA= PB?- PA ?AB?

(當且僅當A，P，B?三點共線時等號成立)

       \(PB-PA)_max =AB?=

        此時，點P的坐標為

歸納：①當兩定點位于直線的異側(cè)時可求得動點到兩定點的距離之和的最小值；

      ②當兩定點位于直線的同側(cè)時可求得動點到兩定點的距離之和的絕對值的最大值．

若不滿足①②時，可利用對稱性將兩定點變換到直線的同（異）側(cè)，再進行求解．如變題的方法．

例2　函數(shù)的值域為                    ．

解析：將函數(shù)進行化簡得：

即為動點P（x，0）到兩定點A(1，1)、B（3，-2）的距離之和．由例1可知：

該值域為

二、圓錐曲線上的動點到兩個定點的距離之和（差）的最值．

（一）直接求解或利用橢圓（或雙曲線）的定義進行適當轉(zhuǎn)化后求解．

例3　（1）已知A(4，0)和B(2，2)，M是橢圓上的動點，則MA-MB的范圍是          ；

解析：(1)如圖5，在DMAB中有MA-MB<AB，當M，A，B三點共線且MB>MA即點M位于M₂處時，有MA-MB=AB，所以MA-MB?AB；同理在DMAB中有MB-MA?AB，即MB-MA?-AB(當點M位于M₁處時等號成立)

綜上所述：-AB?MA-MB?AB

（2）已知A(4，0)和B(2，2)，M是橢圓上的動點，則MA+MB的最大值是          ．

解析：(2) 如圖6，因為點A恰為橢圓的右焦點，所以          由橢圓的定義可得MA+MB=10-MF+MB（F為橢圓的左焦點），同（1）可得MB-MF?BF(當且僅當點M位于點M₄處時，等號成立)所以(MA+MB)_max =(10-MF+MB)_max=10+BF=10+

點評：因為點A，B都在橢圓的內(nèi)部（即兩定點都在曲線的同側(cè)），故可直接求出動點M到兩定點A，B的距離之差的最值；若要求動點M到兩定點A，B的距離之和的最值（其中A恰為焦點），需要利用橢圓的定義轉(zhuǎn)化為動點M到兩定點F，B的距離之差的最值（點F為另一焦點）．

例4　(1)已知F是雙曲線的左焦點，A(4，1)，P是雙曲線右支上的動點，則PA+PF的最小值為          ；

解析：(1)如圖7，在DPAB中有PA+PF>AB，當P，A，F三點共線即點P位于P₁處時，有PA+PF=AF，

所以(PA+PF)_min=AF=．

(2)已知F是雙曲線的左焦點，A(1，4)，P是雙曲線右支上的動點，則PA+PF的最小值為        ．

解析：(2)如圖8，設(shè)F₂是雙曲線的右焦點，由雙曲線的定義可得PA+PF=PA+2a+PF₂=8+ PA+PF₂?8+AF₂(當P，A，F₂三點共線即點P位于P₂處時等號成立)，

所以(PA+PF)_min=8+AF₂=13．

點評：本題需要特別關(guān)注點與雙曲線的位置關(guān)系，兩定點一定要在動點的軌跡（曲線）的異側(cè)．

（二）利用圓錐曲線的統(tǒng)一定義將圓錐曲線上的動點到焦點的距離與到相應(yīng)準線的距離進行互化后進行求解．

例5　（1）已知點A(2，2)，F是橢圓的右焦點，P是橢圓上的動點，則PF+PA的最小值是          ，此時，點的坐標為            ；

解析：如圖9，設(shè)點P到右準線的距離為PP?，由圓錐曲線的統(tǒng)一定義可知，

即(當且僅當A，P，P?三點共線，即點P位于點P₁處時取等號)

此時點P的坐標為P(，2).

（2）已知點A(5，2)，F是雙曲線的右焦點，P是雙曲線上的動點，則PF+PA的最小值是          ，此時點的坐標為            ．

解析：如圖10，設(shè)點P到右準線的距離為PP?，由圓錐曲線的統(tǒng)一定義可知，

 即(當且僅當A，P，P?三點共線，即點P位于點P₁處時取等號)

此時點P的坐標為P(，2)

點評：此類最顯著的特征是動點與焦點距離前有系數(shù)，可以利用圓錐曲線的統(tǒng)一定義將動點到焦點的距離轉(zhuǎn)化為到相應(yīng)準線的距離．

例6?。?/span>1）拋物線的焦點為F，A(4，-2)為一定點，在拋物線上找一點M，當MA+MF為最小值時，點M的坐標為             ；

解析：如圖11，為拋物線的準線，MM?為點M到準線的距離．利用拋物線的定義：MF=MM?，可得MA+MF= MA+MM??AM?（當且僅當A，M，M?三點共線時等號成立，即當點M在M?處時等號成立）

此時點M的坐標為M(，-2)

（2）P為拋物線上任一點，A(3，4)為一定點，過P作PP?垂直y軸于點P?，則AP+ PP?的最小值為           ．

解析：如圖12，延長PP?交拋物線的準線于點P??，

由拋物線的定義：PP?=PF，所以AP+ PP?= AP+ PP??-1= AP+PF-1?AF-1(當且僅當A，P，F三點共線時等號成立，即當點P位于P₁處時等號成立)

點評：本題需要注意兩點：①定點所在位置是拋物線的內(nèi)部還是外部；②利用拋物線的定義將動點（在拋物線上）到焦點與到準線的距離進行互化．