還有另外一種插值法，叫做拉格朗日插值法，也是以大牛冠名的，我們來看看它是怎么推導(dǎo)的？

比如說，已知下面這幾個點，我想找到一根穿過它們的曲線：

使用多項式畫出這根曲線是完全可行的，關(guān)于這點可以參看我寫的如何理解泰勒公式？

我們可以合理的假設(shè)，這根曲線是一個二次多項式：

這是因為有三個已知的點，可以通過下列方程組解出這個二次多項式：

不過這里不打算通過解方程來得到這根二次曲線，我們來看看拉格朗日是怎么解出這根曲線的？

1.1 拉格朗日的思考

約瑟夫·拉格朗日伯爵（1736 － 1813），可能是這么思考的。

首先，肯定得是二次曲線，這個之前我們就已經(jīng)說明過了。

其次，拉格朗日認為可以通過三根二次曲線相加來達到目標。那這是怎么的三根二次曲線呢？

第一根曲線  ，在  點處，取值為1，其余兩點取值為0：

為什么這么做？看下去就知道了。

第二根曲線  ，在  點處，取值為1，其余兩點取值為0：

第三根曲線  ，在  點處，取值為1，其余兩點取值為0：

這三根曲線就是拉格朗日需要的，我們來看看為什么？

•  可以保證，在  點處，取值為  ，其余兩點取值為0。

•  可以保證，在  點處，取值為  ，其余兩點取值為0。

•  可以保證，在  點處，取值為  ，其余兩點取值為0。

那么：

可以一一穿過這三個點，我們來看看：

拉格朗日伯爵說，看，這三根曲線就可以組成我在尋找的曲線：

真的是非常精彩的思考啊。

1.2 插值法的推導(dǎo)

到了嚴格化的時候了，我們用符號來表示  。

首先，  必須是二次函數(shù)。

其次，需要滿足的條件：

那么，如下構(gòu)造  很顯然可以滿足上述條件（代值進去就可以驗算）：

更一般的有：

因此，最終我們得到：

這就是拉格朗日插值法。上面的思路要推廣到更多點的插值也非常容易。

牛頓插值法的也是多項式插值法，拉格朗日插值法也是多項式插值法，那么，兩者得到的多項式是否是同一個多項式？

要回答剛才提出的問題，得看看我們最早提出的方程組怎么解？

 這三個點是已知的，所以上面實際是一個線性方程組：

簡寫就是：

 就是所謂的范德蒙矩陣，  自然就是范德蒙行列式。

根據(jù)矩陣與線性方程組解的關(guān)系，如果  ，那么此方程就只有唯一的解，自然牛頓插值法、拉格朗日插值法得到的就是同一根多項式曲線。

求一下  ，先把  ，得到（  表示第一行，以此類推。這么做是不會改變行列式的值的）：

從給出的三個點來看，  都不相等，所以  。

所以，牛頓插值法、拉格朗日插值法得到的是同一根多項式曲線。