?伯努利兄弟

●　●　●

當(dāng)?shù)つ釥枴げ麕е屠杩茖W(xué)院的大獎(jiǎng)回到家鄉(xiāng)，父親約翰只做了一個(gè)決定：把兒子趕出家門。這一年，父子倆各自提交論文，最終共享殊榮，但這只會(huì)激起約翰的懊惱。關(guān)上房門，約翰料定，這是兒子刻意為他設(shè)下的圈套，想與他平起平坐。如此奇恥大辱，他一生都不會(huì)原諒。

這是1734年，牛頓已長(zhǎng)眠地下。在失去所有對(duì)手后，約翰·伯努利終于成為這個(gè)時(shí)代最舉足輕重的數(shù)學(xué)家。他在日記中傲然寫道：“我的對(duì)手們都死在我前面，而且都比我年輕，這是一種命運(yùn)?！彼蝗苏驹诟叻?，縱然孤獨(dú)，卻不允許任何人奪去他的光芒，哪怕是他自己的后代。

沒有人能解釋，是什么造就了伯努利家族。從十七、十八兩世紀(jì)以來，伯努利家族三代人中出現(xiàn)了八位卓越的科學(xué)家，在微積分的發(fā)展和應(yīng)用上扮演領(lǐng)導(dǎo)角色，推動(dòng)整個(gè)世界科學(xué)史翻過劃時(shí)代的一頁(yè)。但與科學(xué)光輝相對(duì)的，是家族內(nèi)部從未平息的紛爭(zhēng)。當(dāng)智慧與激情代代相傳，流動(dòng)在伯努利家族血液中的，還有名垂青史的野心和獨(dú)攬榮耀的欲望。

 ?伯努利家族譜系表

老尼古拉·伯努利失去了一切指望，他沒能阻止大兒子雅各布投身數(shù)學(xué)，如今小兒子約翰也要走上哥哥的老路。那時(shí)他無法預(yù)料，兩兄弟日后將成為歐洲大陸首屈一指的數(shù)學(xué)大師，他滿腦子都是家道或?qū)⒅新涞膫小?/p>

可以想像，這個(gè)新教家族離開安特衛(wèi)普，在戰(zhàn)火中經(jīng)歷長(zhǎng)達(dá)50年的逃亡，才終于定居在瑞士巴塞爾。幾代先祖經(jīng)商，并與商人的女兒結(jié)婚，才終于累積起大量財(cái)富。優(yōu)先學(xué)習(xí)商科，其次是神學(xué)與醫(yī)學(xué)，成為伯努利家族代代相傳的家訓(xùn)。怎么到了這一代，情況就變了呢？后世將伯努利兄弟對(duì)數(shù)學(xué)的狂熱調(diào)侃為“像酒鬼碰到了烈酒”。老尼古拉想不通，貧苦的數(shù)學(xué)生涯究竟有什么值得追求。

無論如何，17世紀(jì)的漫游之風(fēng)讓雅各布跳出家族傳承的框架。在取得神學(xué)碩士學(xué)位后，他和當(dāng)時(shí)的眾多青年一樣，騎馬去游歷。從日內(nèi)瓦到法國(guó)、荷蘭、英國(guó)，他在途中一邊傳道，一邊做數(shù)學(xué)家教。在寬松的環(huán)境下，他自學(xué)笛卡爾的自然哲學(xué)，寫下200余篇關(guān)于數(shù)學(xué)的日志。六年后回到巴塞爾，他再也不想去做神職人員，只想鉆研數(shù)學(xué)。巴塞爾大學(xué)為他提供了教職，他開始在授課之余，定期向數(shù)學(xué)雜志投稿。

哥哥的經(jīng)歷究竟對(duì)約翰意味著什么？在他入讀巴塞爾大學(xué)的那一年，雅各布剛好回到家鄉(xiāng)。眼見著長(zhǎng)子辜負(fù)了家族的期望，老尼古拉把光耀門楣的全部責(zé)任壓在約翰肩頭。這個(gè)孩子看上去聰明、外向，是父母眼中經(jīng)商的好苗子。老尼古拉不遺余力地向他灌輸?shù)赖屡c宗教——在新教倫理中，努力掙錢即道德。約翰長(zhǎng)到15歲，就被父親安排進(jìn)入家族商行做學(xué)徒。他心底的聲音從來沒有得到尊重：他厭惡商業(yè)，他也喜歡數(shù)學(xué)。

哥哥的任性無疑為約翰帶來了更沉重的壓力，但也為他的選擇做了榜樣。一年后，約翰以攻讀醫(yī)科作幌子，勉強(qiáng)說服父親讓他去讀大學(xué)。他似乎比哥哥更善于搭建自己的人際網(wǎng)。短短幾年，他和萊布尼茨、醫(yī)學(xué)著作家Daniel Leclerc、哲學(xué)家尼古拉斯?馬勒伯朗士成了朋友、并通過馬勒伯朗士結(jié)識(shí)洛必達(dá)侯爵，在接下來漫長(zhǎng)的數(shù)十年中擔(dān)任侯爵的數(shù)學(xué)老師。在巴塞爾大學(xué)，他最終向父親顯示了自己遠(yuǎn)超醫(yī)學(xué)之外的，真正的興趣和野心：他把微積分應(yīng)用于肌肉收縮，因此獲得醫(yī)學(xué)博士學(xué)位。這項(xiàng)工作在數(shù)學(xué)領(lǐng)域同樣有分量。

 ?雅各布·伯努利（左）與約翰·伯努利（右）

洛必達(dá)侯爵在1696年收到約翰的來信，信中寫道：“你不會(huì)相信，我這個(gè)哥哥是多么名不副實(shí)。他恨我，迫害我，試圖摧毀我….他看上去對(duì)我溫和友好，心里卻暗藏毒藥。”

沒有一個(gè)標(biāo)志性的事件，證明兄弟情誼在哪一刻戛然而止?；蛟S一切早有端倪：十五年前，當(dāng)兩人同時(shí)活躍在巴塞爾大學(xué)，雅各布是教師，而約翰是學(xué)生。約翰在哥哥的指導(dǎo)下接觸數(shù)學(xué)，他們也曾共同完成一系列卓越的研究成果，但這段關(guān)系從一開始就暗藏罅隙。

約翰在自傳中寫道：“那段時(shí)間，我模仿著哥哥雅各布的興趣，認(rèn)真從事數(shù)學(xué)研究。我只用了不到兩年時(shí)間，就讀遍所有經(jīng)典數(shù)學(xué)家，還熟悉了現(xiàn)代大師的成果，如笛卡爾的幾何學(xué)?！奔s翰視自己為自學(xué)者，但雅各布把弟弟當(dāng)成自己的學(xué)生。在寫給萊布尼茨的信中，他明確聲明，約翰的全部數(shù)學(xué)基礎(chǔ)都來自他的饋贈(zèng)。

著名的懸鏈線之爭(zhēng)讓矛盾顯化，原本處于“助手”角色的約翰第一次擊敗哥哥，一夜間躋身歐洲最重要的數(shù)學(xué)家行列。懸鏈線問題如今看來非常簡(jiǎn)單：兩端固定的繩子（或鏈條）由于重力而自由下垂，形成的曲線到底是什么形狀。在微積分和牛頓力學(xué)初建的年代，答案懸而未決。早在1638年，伽俐略錯(cuò)誤地猜測(cè)懸鏈線是拋物線，八年后，17歲的少年惠更斯推翻了這個(gè)假設(shè)。但不是拋物線，又是什么線？它的方程是怎樣的？最初是雅各布在期刊上建議數(shù)學(xué)界重新對(duì)問題展開研究。

 ?不同的懸鏈線

雅各布最終收到了多個(gè)答案，其中就有來自弟弟約翰、萊布尼茨以及惠更斯。他們成功地用微積分解決了問題，證明懸鏈線是一個(gè)雙曲余弦函數(shù)。自己提出的問題被弟弟破解，這本已令雅各布感到尷尬，而約翰抓住這個(gè)機(jī)會(huì)，四處靠貶損哥哥來抬高自己，更是激化了二人的矛盾。

直至27年后，約翰在給蒙莫爾的信中談起此事，依舊用詞輕蔑。他寫道：“哥哥的努力沒有結(jié)果。而我卻幸運(yùn)得多……我花了一晚上來鉆研它……第二天早上，我滿懷喜悅地跑到哥哥那兒，他還在痛苦地思索如何解開這個(gè)戈?duì)柕僦Y(jié)。他茫無頭緒，老是像伽利略那樣認(rèn)為懸鏈線是一種拋物線。打??！打??！我對(duì)他說，不要再試圖證明懸鏈線是拋物線來折磨你自己了，因?yàn)檫@完全錯(cuò)了……這兩條曲線完全不同，一條是代數(shù)的，另一條是超越的……我向他展示我的解決方案，并發(fā)現(xiàn)了引導(dǎo)我成功的方法。”

約翰動(dòng)身去游歷，先到日內(nèi)瓦，然后法國(guó)…..是的，連游歷路線都與哥哥出奇一致。他一面模仿著哥哥的漫游，一面渴望掙脫：他成熟了，不再甘于做個(gè)助手。也許只有遠(yuǎn)離哥哥，他才能成為獨(dú)立的科學(xué)家。

通信與學(xué)術(shù)上的合作并未終止。他們探索同樣的問題，不斷從對(duì)方的觀點(diǎn)中獲取靈感。依舊是雅各布提出問題，兩人常常同時(shí)發(fā)表文章，但不再合著，任何成果總是歸于其中之一。 

但約翰依舊是被動(dòng)的，像被哥哥隱形的手掐住喉嚨。創(chuàng)辦于萊比錫的德意志第一份專業(yè)科學(xué)期刊《教授學(xué)報(bào)》（Acta Eruditorum）是兩人刊發(fā)成果的主要陣地，但約翰卻無法與《教授學(xué)報(bào)》直接溝通，一切都要靠哥哥作中介。由此引發(fā)的不愉快接二連三：約翰把一篇文章寄給哥哥，刊發(fā)后卻發(fā)現(xiàn)哥哥在結(jié)尾自作主張地加段落，并附署名；出于難以說明的原因，哥哥有時(shí)并不會(huì)將萊比錫方面的消息轉(zhuǎn)告約翰。

?《教授學(xué)報(bào)》（Acta Eruditorum）

令約翰難以容忍的是，這種無形的控制讓他無法擁有專屬于自己的榮耀。他常常在信中滿腹牢騷：“你為什么不能多等一段時(shí)間，再發(fā)表你的發(fā)現(xiàn)？我已經(jīng)找到了更好的方法，比你的更有普適性”；“也許你覺得我的想法全是受你啟發(fā)，但我說的都是事實(shí)”；“就算我不是第一個(gè)找到它的，我應(yīng)得的贊美也一點(diǎn)兒不該少。”誠(chéng)然，如果數(shù)學(xué)界只保留第一個(gè)發(fā)現(xiàn)者的名字，那么第二個(gè)人還能期望得到什么認(rèn)可？一個(gè)擁有同等天才的人，如何能忍受一生做他人的附庸？

雅各布似乎從未考慮過弟弟的感受。他曾把學(xué)術(shù)上的合作比喻為兩個(gè)人去兩個(gè)不明地點(diǎn)旅行，每個(gè)人都盡可能地帶回東西，但沒有人能拿到另一個(gè)地點(diǎn)的一切。因此，面對(duì)同樣的問題，即使兩個(gè)人都以自己的方式找到正確的解決辦法，任何人都不該得到所有榮耀。這似乎是雅各布的哲學(xué)。但每每涉及具體問題，他又換了一套說辭：他才是發(fā)現(xiàn)新徑的人，約翰只是他的跟從。

在這劍拔弩張的時(shí)刻，有關(guān)懸鏈線的問題再一次觸發(fā)了筆戰(zhàn)的機(jī)關(guān)。雅各布對(duì)風(fēng)中船帆的形狀問題產(chǎn)生興趣，他寄給弟弟一個(gè)曲線的微分方程（d2x ：dx = dy3），并要求從中得出能表達(dá)曲線性質(zhì)的文字或代數(shù)方程。約翰的第一反應(yīng)是，船帆的曲線可以用懸鏈線來定義，卻被哥哥否決。

雅各布考慮風(fēng)影響帆的多種情形，這遭到了約翰的嘲諷：“你聲稱帆部分是圓的外圍，部分是其他曲線的外圍，怎么可能產(chǎn)生兩條不同的曲線？你就像古人相信大炮球的軌跡有三條線。如果這不是幻覺，那它一定是普羅透斯。”他的措辭相當(dāng)犀利。在舊時(shí)代，大炮的軌跡被認(rèn)為是由直線和曲線組成；希臘神話中的海神普羅透斯經(jīng)常變化外形，就像直線和曲線兩種形態(tài)來回替換。

當(dāng)約翰在巴黎旅途中，雅各布終于發(fā)現(xiàn)了標(biāo)志性的結(jié)果：曲線確實(shí)是懸鏈線。但他只寄給約翰一個(gè)方程式，并未言明曲線性質(zhì)。興奮的約翰立即發(fā)現(xiàn)，它就是一個(gè)懸鏈線！他猜想哥哥并沒看出這一點(diǎn)，便在1692年4月的期刊文章中如此調(diào)侃：“哥哥再次強(qiáng)迫我完成他的工作，顯然，他做到方程式這一步就完全放棄了?！辈恍业氖?，雅各布早已在3月投出他的解決方案，5月發(fā)表。

約翰自以為抓住了獨(dú)立的機(jī)會(huì)，但他輸了。更糟的是，這段兄弟關(guān)系從此再難修復(fù)。被激怒的雅各布決定盤點(diǎn)他的所有首次發(fā)現(xiàn)。他甚至寫信給萊布尼茨，講述他和約翰的生平以及他們?cè)缒甑臄?shù)學(xué)成就。他聲稱自己才是參透萊布尼茲微積分奧秘的第一人，約翰分享了他的果實(shí)。

戰(zhàn)火燒到了整個(gè)數(shù)學(xué)界，幾乎全世界所有最重要的數(shù)學(xué)家都收到約翰的邀請(qǐng)，為最速降線提出解決方案。為確保宣傳的廣泛性，約翰甚至在格羅寧根印刷海報(bào)。這一次，他要主動(dòng)出擊，打敗他的哥哥。

雅各布坐在書桌前，他攤開剛剛收到的海報(bào)，淡定地笑笑。他馬上提筆給萊布尼茨寫信：“在這個(gè)瞬間，我把手放在一張印刷海報(bào)上。我能感覺到，我弟弟仿佛在字里行間潑上毒液。他想讓世界上所有數(shù)學(xué)家解決他的問題，特別是我?！?/p>

什么形狀的滑梯，能讓滑動(dòng)者到達(dá)地面的時(shí)間最短？這就是最速降線問題。假設(shè)A和B是地面上高低不同（A不低于B）、左右有別的兩個(gè)點(diǎn)，一個(gè)沒有初始速度的小球，在無摩擦力，只有重力的作用下從A點(diǎn)滑到B點(diǎn)。從A到B的軌道可以有很多，哪一條軌道，將使小球從A到B的時(shí)間最短？

?最速降線問題

約翰早已知曉答案，他用兩個(gè)星期解決了這個(gè)問題。在收到哥哥的答案后，他立刻歡欣雀躍。無可爭(zhēng)議！我的答案簡(jiǎn)潔漂亮，而哥哥的答案是最笨最差的。他再次單方面宣告了自己的勝利，但事實(shí)果真如此么？

約翰的答案的確簡(jiǎn)潔，因?yàn)樗栌昧斯鈱W(xué)中費(fèi)馬的光程最短原理。法國(guó)數(shù)學(xué)家費(fèi)馬研究光學(xué)時(shí)發(fā)現(xiàn)，光線在兩點(diǎn)間的實(shí)際路徑是使所需的傳播時(shí)間為極值的路徑。在大部分情況下，此極值為最小值，但有時(shí)為最大值，有時(shí)為恒定值。換言之，光線傳播的經(jīng)典路徑是變分為0的路徑。約翰用光線類比小球，導(dǎo)出了最短路徑所滿足的微分方程。他的答案沒錯(cuò)，卻是一種投機(jī)取巧，因?yàn)樗?dāng)時(shí)無法論證這種做法的正確性。

雅各布的方法很繁復(fù)，卻在推導(dǎo)中閃爍出新的變分思想的光輝。他首先假設(shè)小球沿著最速路徑下滑，然后考慮：如果在某個(gè)時(shí)刻，小球的路線稍微偏離了最速路徑，會(huì)發(fā)生什么情況？上述做法已經(jīng)是一種變分的思想，因?yàn)樗窃诳紤]所有微小偏離路徑中使得時(shí)間最小的那個(gè)偏離。然后，雅各布用二階導(dǎo)數(shù)的方法證明，為使小球繼續(xù)走時(shí)間最短的路，它的路線的微分偏離量應(yīng)該滿足的方程，剛好是擺線所滿足的微分方程。

恩斯特·馬赫曾如此評(píng)價(jià)兩兄弟：“他們一個(gè)有藝術(shù)家一般的直覺與激情，一個(gè)有批判性的思維縱深。這是天才的兩面，如果結(jié)合在同一個(gè)人身上，就會(huì)造就偉大的科學(xué)家。可惜這兩面分開了，那么沖突就是必然?！?/p>

這是多么精辟的評(píng)點(diǎn)！雅各布心思縝密，個(gè)性沉穩(wěn)，他總是通過解決應(yīng)用數(shù)學(xué)的具體問題，來發(fā)現(xiàn)具有普適性的一般方法。他的整個(gè)認(rèn)識(shí)論是，知識(shí)要靠無數(shù)個(gè)小步驟建構(gòu)起來。 “科學(xué)如同自然，沒有任何跨越。但要完成情形的過渡，只需要無限小的一個(gè)跳躍就足夠了。”相比之下，約翰似乎總是橫沖直撞。他擁有天才般的直覺，卻沒耐心去等一個(gè)緩緩到來的結(jié)果。

約翰并不理解，他自以為是的勝利沒有任何意義。在這場(chǎng)爭(zhēng)斗中，同在數(shù)學(xué)圈的家人們普遍站在了雅各布的一邊。當(dāng)哥哥依靠親友和門徒的支持繼續(xù)坐穩(wěn)巴塞爾大學(xué)的教席，約翰卻遭到排擠，被迫遠(yuǎn)赴荷蘭。當(dāng)然，格羅寧根大學(xué)的教授職位也很不錯(cuò)，但離家萬(wàn)里，且?guī)еб庹叩穆淠?/p>

1697年的平安夜里，他哀怨地寫信給數(shù)學(xué)家皮埃爾·伐里農(nóng)：“我有時(shí)刺傷哥哥，是因?yàn)槲覠o法對(duì)他的苛待無動(dòng)于衷，更沒有懦弱到任由他把我踩在腳下；我努力擺脫他，我從不以任何方式依賴他，我從不欠他什么?！?/p>

約翰在旅途中收到了哥哥去世的消息。在死于痛風(fēng)并發(fā)癥前，雅各布似乎預(yù)感到生命的衰亡，他在給雷布尼茲的信中寫道：“如果我不久后將過世，我弟弟肯定會(huì)回到巴塞爾。他不會(huì)接受其他職位，他只想接替我的位子?！?/p>

沒有人知道，約翰在收到死訊的一刻是何心情。但如哥哥所料，他轉(zhuǎn)身回鄉(xiāng)，代替雅各布成為巴塞爾大學(xué)的數(shù)學(xué)教授。

大戲已經(jīng)落幕，但如同一個(gè)輪回，當(dāng)孩子們一個(gè)個(gè)出生，約翰開始扮演起當(dāng)初父親的角色。他反對(duì)兒子們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，逼迫他們經(jīng)商。然后，他的兒子丹尼爾和當(dāng)年的他一樣固執(zhí)，在巴塞爾大學(xué)攻讀醫(yī)學(xué)后，不久便轉(zhuǎn)向數(shù)學(xué)，并成為家族中成就最大者。

約翰一生好斗，到了晚年愈發(fā)離譜。在因巴黎科學(xué)院大獎(jiǎng)父子反目后，丹尼爾有意回避父親的研究領(lǐng)域，約翰卻有意去鉆研丹尼爾熟悉的流體力學(xué)。當(dāng)?shù)つ釥栐?738年出版著作《流體力學(xué)》，約翰也緊隨其后出版了一本《水力學(xué)》，并有意將寫成時(shí)間注明為1732年。更糟的是，約翰實(shí)際上從兒子的書中盜用了素材。在日后一封寫給歐拉的信中，丹尼爾義憤填膺：“我寫出的《流體力學(xué)》從頭到尾都不用感謝我父親……我被搶劫了，失去了10年辛苦的成果。”

這不像是一個(gè)正常父親的作為。事實(shí)上，約翰曾把自己的得意弟子歐拉送到圣彼得堡，去幫助丹尼爾度過艱難歲月，卻難以接受多年后的青出于藍(lán)。此情此景，多么像他與哥哥一生糾纏的重演。伯努利家族奉行的正是這樣一條箴言：我樂于共享知識(shí)，但分?jǐn)倶s耀卻萬(wàn)萬(wàn)不可。

?丹尼爾·伯努利

萊比錫大學(xué)的數(shù)學(xué)教授魯?shù)细瘛は＠照J(rèn)為，父親的消極態(tài)度對(duì)兄弟兩人的個(gè)性產(chǎn)生了不幸的影響。然而，作為弟弟的約翰受害尤其深重。1701年，34歲的約翰寫信給父親，口吻仍像一個(gè)求愛而不得的、傷心的孩子：“我從沒收到過父親的信，這說明你更喜歡哥哥們，對(duì)我沒有感情。我真的不值得像哥哥那樣被關(guān)心么?……你不允許我過自己想過的生活，而我已經(jīng)將自己置于神的引導(dǎo)下。所以，請(qǐng)你不要來巴塞爾帶走我的名譽(yù)，并說你與之毫無關(guān)系?！?/p>

或許是不被父親認(rèn)可的遺憾主宰了兄弟兩人一生的命運(yùn)，或許是對(duì)數(shù)學(xué)過于強(qiáng)烈的激情把伯努利家族引向偏執(zhí)。將自己畢生的價(jià)值孤注一擲地砸在一門學(xué)科上，這必然帶來生命的沉重，卻也成就科學(xué)史上的輝煌。