B2 不等式

百眼通 2017-10-28 發(fā)布于甘肅

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【學習百眼通】何岳山編輯整理

不等式的解法有點像解方程的方法，但不等式作為一種估算數(shù)值的方法，本質(zhì)上是屬于分析數(shù)學的范圍。一般地，不等式的一般形式為F(x，y，……，z)≤G(x，y，……，z )(其中不等號也可以為<，≤,≥，≠> 中某一個)，兩邊的解析式的公共定義域稱為不等式的定義域，不等式既可以表達一個命題，也可以表示一個問題。

不等式的基本性質(zhì)

1.如果x>y，那么y<x;如果y<x，那么x>y;(對稱性)

2.如果x>y，y>z;那么x>z;(傳遞性)

3.如果x>y，而z為任意實數(shù)或整式，那么x+z>y+z;(加法原則，或叫同向不等式可加性)

即不等式的兩邊同時加上(或減去)同一個數(shù)(或式子)，不等號的方向不變。

4.如果x>y，z>0，那么xz>yz;如果x>y，z<0，那么xz<yz;(乘法原則)

即不等式的兩邊同時乘(或除以)同一個正數(shù)，不等號的方向不變;不等式的兩邊同時乘(或除以)同一個負數(shù)，不等號的方向改變。

5.如果x>y，m>n，那么x+m>y+n;(充分不必要條件)

6.如果x>y>0，m>n>0，那么xm>yn;

7.如果x>y>0，那么x的n次冪>y的n次冪(n為正數(shù))，x的n次冪<y的n次冪(n為負數(shù))。

不等式的應用范圍十分廣泛，它始終貫串在整個中學數(shù)學之中。諸如集合問題，方程(組)的解的討論，函數(shù)單調(diào)性的研究，函數(shù)定義域的確定，三角、數(shù)列、復數(shù)、立體幾何、解析幾何中的最大值、最小值問題，無一不與不等式有著密切的聯(lián)系。因此不等式應用問題體現(xiàn)了一定的綜合性、靈活多樣性，對數(shù)學各部分知識融會貫通，起到了很好的促進作用。在解決問題時，要依據(jù)題設與結論的結構特點、內(nèi)在聯(lián)系、選擇適當?shù)慕鉀Q方案，最終歸結為不等式的求解或證明。

1.解不等式的核心問題是不等式的同解變形，不等式的性質(zhì)則是不等式變形的理論依據(jù)，方程的根、函數(shù)的性質(zhì)和圖象都與不等式的解法密切相關，要善于把它們有機地聯(lián)系起來，互相轉(zhuǎn)化。

2.整式不等式(主要是一次、二次不等式)的解法是解不等式的基礎，利用不等式的性質(zhì)及函數(shù)的單調(diào)性，將分式不等式、絕對值不等式等化歸為整式不等式(組)是解不等式的基本思想，分類、換元、數(shù)形結合是解不等式的常用方法。方程的根、函數(shù)的性質(zhì)和圖象都與不等式的解密切相關，要善于把它們有機地聯(lián)系起來，相互轉(zhuǎn)化和相互變用。

3.在不等式的求解中，換元法和圖解法是常用的技巧之一，通過換元，可將較復雜的不等式化歸為較簡單的或基本不等式，通過構造函數(shù)，將不等式的解化歸為直觀、形象的圖象關系，對含有參數(shù)的不等式，運用圖解法，可以使分類標準更加明晰。

4.證明不等式的方法靈活多樣，但比較法、綜合法、分析法仍是證明不等式的最基本方法。要依據(jù)題設、題斷的結構特點、內(nèi)在聯(lián)系，選擇適當?shù)淖C明方法，要熟悉各種證法中的推理思維，并掌握相應的步驟，技巧和語言特點。比較法的一般步驟是：作差(商)→變形→判斷符號(值)。

學習課程

【小學數(shù)學】

　　1.小學數(shù)學中的不等式知識

【初中數(shù)學】

　　第9章不等式與不等式組（11）
　　　　9.1 不等式（3）
　　　　　　9.1.1 不等式及其解集

　　　　　　9.1.2 不等式的性質(zhì)　　
　　　　9.2 一元一次不等式（4）
　　　　9.3 一元一次不等式組（2）　　

【高中數(shù)學】
　　必修五

　　第三章不等式

　　　　3.1不等關系與不等式

　　　　3.2一元二次不等式及其解法