本人作品《廣猛說題系列之瓜豆原理（又名朋成原理）》及《廣猛說題系列之大玩“捆綁”、驚現(xiàn)“瓜豆”——一道小題說起》曾提及到了“捆綁變換”及“瓜豆原理”，本文擬以《廣猛說題系列之幾道所謂壓軸題的共通之處（旋轉(zhuǎn)那些事）》中涉及的一道2016年河南中考題為例，誓將“捆綁”、“瓜豆（朋成）”進(jìn)行到底！

    原題重現(xiàn)：（來源：高郵市贊化學(xué)?！度纷鳂I(yè) 聽課手冊(cè)》，2016年河南中考倒二題）

（1）發(fā)現(xiàn)：如圖1-1，點(diǎn)A為線段BC外一動(dòng)點(diǎn)，且BC=a，AB=b．

填空：當(dāng)點(diǎn)A位于　     　時(shí)，線段AC的長取得最大值，且最大值為　   　（用含a，b的式子表示）；

（2）應(yīng)用：點(diǎn)A為線段BC外一動(dòng)點(diǎn)，且BC=3，AB=1，如圖1-2所示，分別以AB、AC為邊作等邊三角形ABD和等邊三角形ACE，連接CD、BE．

①請(qǐng)找出圖中與BE相等的線段，并說明理由；

②直接寫出線段BE長的最大值．

（3）拓展：如圖1-3，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2，0），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（5，0），點(diǎn)P為線段AB外一動(dòng)點(diǎn)，且PA=2，PM=PB，∠BPM=90°，請(qǐng)直接寫出線段AM長的最大值及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)．

前文《廣猛說題系列之幾道所謂壓軸題的共通之處（旋轉(zhuǎn)那些事）》中利用基本圖形，構(gòu)造“共頂點(diǎn)的雙等腰直角三角形模型”，“手拉手全等”搞定最后一問，今天我們換個(gè)“眼光”，重新審視，借助軌跡思想，看看本題是否還有其他的通解通法！

前文《廣猛說題系列之幾道所謂壓軸題的共通之處（旋轉(zhuǎn)那些事）》中利用基本圖形，構(gòu)造“共頂點(diǎn)的雙等腰直角三角形模型”，“手拉手全等”搞定最后一問，今天我們換個(gè)“眼光”，重新審視，借助軌跡思想，看看本題是否還有其他的通解通法！

本人作品中已經(jīng)多次強(qiáng)調(diào)“軌跡意識(shí)”在解決動(dòng)態(tài)型問題中的重要作用，同學(xué)們首先樹立要有找軌跡、想軌跡、思軌跡的意識(shí)，這種前瞻性地解題意識(shí)可能比解決一兩道題目本身重要千萬倍啊！

簡析最后一問：

第一步：先以“抓不變量”的審題策略，想一想本題最后一問中有哪些量是不變的，即動(dòng)點(diǎn)問題的不變背景（框架）是什么；

很明顯平面直角坐標(biāo)系、點(diǎn)A（2，0）與點(diǎn)B（5，0）是本題中的不變?cè)兀?/p>

第二步：再以“因果法”分析這里的動(dòng)點(diǎn)的邏輯關(guān)系，想一想誰先動(dòng)，誰后動(dòng)，誰被誰牽制著動(dòng)；

很明顯題目中共涉及兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)P和M，其中點(diǎn)P是第一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，可稱之為“主動(dòng)點(diǎn)”；而第二個(gè)動(dòng)點(diǎn)M是“從動(dòng)點(diǎn)”，隨著動(dòng)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)而運(yùn)動(dòng)、確定而確定；

“從動(dòng)點(diǎn)”M與“主動(dòng)點(diǎn)”P存在著明確的因果關(guān)系，若是融入“軌跡意識(shí)”，“從動(dòng)點(diǎn)”M的軌跡與“主動(dòng)點(diǎn)”P的軌跡之間也應(yīng)該存在著明確的因果關(guān)系，這就是本文所想表達(dá)的核心思想，會(huì)在后續(xù)幾步中重點(diǎn)提及；

第三步：以“軌跡思想”考慮“主動(dòng)點(diǎn)”P的軌跡；

由題知PA=2及點(diǎn)A是定點(diǎn)，因而動(dòng)點(diǎn)P始終被“綁在”以定點(diǎn)A為圓心，2為半徑的⊙A上，即動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是一個(gè)整圓⊙A，如圖1-4所示；

第四步：以“圖形變換”的新眼光重新審視“從動(dòng)點(diǎn)”M的由來；

圖形的常見變換包括：平移、翻折、旋轉(zhuǎn)及位似等，有時(shí)還可能是上述幾種變換的結(jié)合體，比如旋轉(zhuǎn)位似、平移位似等；

  第五步：以“捆綁思想”，即“瓜豆原理”（又名“朋成原理”）分析“從動(dòng)點(diǎn)”M的軌跡；

本題終極目標(biāo)是求線段AM長的最大值，其中點(diǎn)A是定點(diǎn)，點(diǎn)M是動(dòng)點(diǎn)，關(guān)鍵肯定還是在動(dòng)點(diǎn)M上，若能找到動(dòng)點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)的軌跡，答案也就“水落石出”了吧！這就是解題中重要的“軌跡意識(shí)”；

要想找到動(dòng)點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)軌跡，很自然地就要看看動(dòng)點(diǎn)M是怎么來的，一般情況下，一個(gè)動(dòng)點(diǎn)怎么來，其軌跡肯定也是相應(yīng)地得來，這是極其自然的道理；

即目標(biāo)動(dòng)點(diǎn)M的軌跡可以看成由“主動(dòng)點(diǎn)”P的軌跡圓⊙A經(jīng)過兩步得到：先旋轉(zhuǎn)后位似！因?yàn)樾D(zhuǎn)只改變圖形的位置，不改變圖形的形狀和大小，而位似也只是改變圖形的位置及大小，不改變圖形的形狀，在這樣的理論支撐下，很容易理解動(dòng)點(diǎn)M的軌跡依然是一個(gè)圓，這就是傳說中的“瓜豆原理”（又名“朋成原理”），也可稱之為“捆綁變換”，即“捆綁旋轉(zhuǎn)位似”，還可以趣稱為“捆綁瓜豆”或“捆綁朋成”！名稱都不是回事，把握了實(shí)質(zhì)，就掌握了方法，名稱也僅僅是便于理解罷了！

第六步：先利用旋轉(zhuǎn)畫出圖1-6中點(diǎn)P1的軌跡；

點(diǎn)P1是由“主動(dòng)點(diǎn)”P繞著定點(diǎn)B按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)45°得到的，那么點(diǎn)P1的軌跡也是由“主動(dòng)點(diǎn)”P的軌跡繞著定點(diǎn)B按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)45°得到的，如圖1-7所示；

第九步：根據(jù)第八步確定的點(diǎn)M及點(diǎn)B，回歸最開始題目給定的圖1-3去畫點(diǎn)P并求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；

由最初題目給定的圖1-3知△BPM為等腰直角三角形，且B、P、M按順時(shí)針方向排序，從而只要依托確定的線段BM為斜邊作等腰直角三角形，并注意B、P、M的順序即可，如圖1-11所示，接下來想辦法求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

“見等腰直角三角形，造K字型全等”，這個(gè)基本的解題策略應(yīng)該深入“腦髓”！如圖1-12所示，過直角三角形的三個(gè)頂點(diǎn)作“水平-豎直”輔助線，構(gòu)造出K字型全等，即Rt△BHP≌Rt△PGM；

因?yàn)檫@里的等腰直角三角形的直角頂點(diǎn)P是未知的，因而求其坐標(biāo)稍顯麻煩，需要設(shè)元列方程組進(jìn)行求解，這一點(diǎn)在本人作品《玩轉(zhuǎn)45度》及《廣猛說題系列之由一道月考題談通性通法與特事特辦、由玩轉(zhuǎn)45度到玩轉(zhuǎn)任意角》中曾有介紹；

上面采取了“見等腰直角三角形，造K字型全等”這個(gè)基本策略，但因?yàn)橹苯琼旤c(diǎn)未知，故計(jì)算上稍顯麻煩，需要列二元一次方程組進(jìn)行求解，下面再提供兩種有趣的處理，幾乎實(shí)現(xiàn)口算，主要是基于將等腰直角三角形的直角頂點(diǎn)作成已知頂點(diǎn)：

趣法一（通過“倍長直角邊”的方式實(shí)現(xiàn)直角頂點(diǎn)已知的處理）：

如圖1-13所示，延長MP至N，使PN=MP，則易知△BMN為等腰直角三角形；

趣法二（通過“三線合一”的方式實(shí)現(xiàn)直角頂點(diǎn)已知的處理）：

如圖1-14所示，作PN⊥BM于點(diǎn)N，則由“三線合一”易知△PNM為等腰直角三角形，依托此等腰Rt△PNM構(gòu)造K字型全等，先利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式得出等腰直角定點(diǎn)N的坐標(biāo)，再口算出點(diǎn)P的坐標(biāo)，不再贅述；

上述兩種有趣的構(gòu)造轉(zhuǎn)化，實(shí)現(xiàn)了等腰直角頂點(diǎn)已知化的處理，極其有趣同學(xué)們可自行比較，尤其是與前面的未知直角頂點(diǎn)計(jì)算類比，你會(huì)喜歡上我們后面的兩個(gè)趣法的！

解題后反思：

相比較于前文《廣猛說題系列之幾道所謂壓軸題的共通之處（旋轉(zhuǎn)那些事）》中構(gòu)造基本圖形“共頂點(diǎn)的雙等腰直角三角形—手拉手全等”轉(zhuǎn)化模型，我們這里所謂的“捆綁—瓜豆（朋成）”原理，表面上看去確實(shí)復(fù)雜了些，但后面這種涉及“軌跡思想”的“捆綁變換”方法應(yīng)用更加廣泛，在很大范圍內(nèi)它都是普適的通解通法，所以建議同學(xué)們還是盡量去理解本文的做法，從中吸取一些有趣的解題經(jīng)驗(yàn)，你一定會(huì)不禁有“數(shù)學(xué)有趣、數(shù)學(xué)好玩”之感慨！

應(yīng)用“捆綁—瓜豆原理”的關(guān)鍵是，想通動(dòng)點(diǎn)之間的邏輯關(guān)系，即其中的“從動(dòng)點(diǎn)”是由“主動(dòng)點(diǎn)”如何來，一般都是借助圖形三大變換（平移、翻折和旋轉(zhuǎn)）及位似的眼光來審視動(dòng)點(diǎn)，有時(shí)候還可以是上述幾種變換的結(jié)合，如“旋轉(zhuǎn)位似”或“平移旋轉(zhuǎn)位似”等，然后利用“捆綁思想”（本質(zhì)就是“整體思想”）來思考“從動(dòng)點(diǎn)”的軌跡，一般情況下，從動(dòng)點(diǎn)怎么由主動(dòng)點(diǎn)而來，則從動(dòng)點(diǎn)的軌跡也是相應(yīng)地由主動(dòng)點(diǎn)的軌跡而來，再結(jié)合“確定性思想”的分析方法，一般問題都可得到解決！

最后求點(diǎn)P的坐標(biāo)時(shí)，首先分析原圖中的點(diǎn)P滿足怎樣的限制條件，然后以來確定的斜邊BM畫出點(diǎn)P，這種畫圖意識(shí)也應(yīng)當(dāng)引起同學(xué)們的重視，畫圖是一種本領(lǐng)，畫圖是一種技能，畫圖在一定的程度上也能體現(xiàn)出同學(xué)們掌握基本知識(shí)與技能的熟練程度，甚至還包含一些分析問題的能力與方法，這樣說來，想要畫出一張符合題意的圖還真不輕松?。?/p>

下面來一道有趣的“軌跡長騙人題”來強(qiáng)化大家對(duì)于所謂“瓜豆原理”的理解，其本質(zhì)就是“捆綁變換”或者說“整體思想”，體現(xiàn)了整體與局部之間相統(tǒng)一的辯證關(guān)系！