下面再提供幾道“定邊對(duì)直角”模型的經(jīng)典好題，供同學(xué)們強(qiáng)化訓(xùn)練.

例10.如圖10所示，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，點(diǎn)E、F是其邊上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)E從起點(diǎn)C向終點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)F從起點(diǎn)D向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，且它們速度相同，連接AF、DE交于點(diǎn)G.在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中，求點(diǎn)G運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)及CG的最小值.

簡(jiǎn)析：第一步（由全等得直角）：如圖10-1，點(diǎn)E與點(diǎn)F在運(yùn)動(dòng)的過程中始終有CE=DF，易證Rt△CED≌Rt△DFA，從而有∠1=∠2，進(jìn)而易知AF⊥DE于點(diǎn)G，自然產(chǎn)生了直角；

第二步（識(shí)別“定邊對(duì)直角”模型）：由AF⊥DE于點(diǎn)G知：點(diǎn)G處有四個(gè)直角！然后循著這四個(gè)直角去尋找是否有直對(duì)的定邊！觀察容易發(fā)現(xiàn)，容易看出只有直角∠AGD所對(duì)的邊AD為定邊，即為“定邊AD對(duì)直角∠AGD”模型；

第三步（由“定邊對(duì)直角”作“隱形圓”）：由“定邊對(duì)直角”模型知：點(diǎn)G一定在以AD為直徑的圓上運(yùn)動(dòng)，如圖10-3所示；

第四步（由“臨界值法”確定真實(shí)“軌跡”）：接下來利用“臨界位置法”（或稱“極限位置法”）確定點(diǎn)G的真實(shí)路徑（或軌跡）：

如圖10-2所示，當(dāng)點(diǎn)E與F在起始位置時(shí)，可以找到點(diǎn)G的起點(diǎn)，即為點(diǎn)D處；

如圖10-4所示，當(dāng)點(diǎn)E與F在終止位置時(shí)，可以找到點(diǎn)G的終點(diǎn)，即為點(diǎn)O處；

下圖為其動(dòng)態(tài)圖，供欣賞之：

解題后反思：本題解決的關(guān)鍵是利用正方形中的“相等結(jié)構(gòu)”推導(dǎo)出“垂直結(jié)構(gòu)”（當(dāng)然，正方形中“相等未必垂直”，如圖10-5及圖10-6所示，但“垂直必相等”），進(jìn)而得到目標(biāo)動(dòng)點(diǎn)G處存在的直角，繼而識(shí)別出“定邊對(duì)直角”模型，借助輔助圓巧解相應(yīng)的路徑長(zhǎng)與最值問題.

我們?cè)賮砜纯?，下面的正方形中又如何巧出“直角”，算作是?0的變式問題.

例11.(1)如圖11-1所示，在正方形ABCD中，點(diǎn)E為AD的中點(diǎn)，連接EC與BD交于點(diǎn)F，再連接AF與BE交于點(diǎn)H，求證：AFBE.

(2)如圖11-2所示，在邊長(zhǎng)為2的正方形ABCD中，M、N是邊AD上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且始終有AM=DN，連接CN與BD交于點(diǎn)F，再連接AF與BM交于點(diǎn)H，求DH的最小值，并求出此時(shí)AM的長(zhǎng).

簡(jiǎn)析：對(duì)于第(1)小問，主要分三步進(jìn)行；

第一步：由圖11-3中陰影的全等三角形，可得∠1=∠2；

第二步：由圖11-4中陰影的全等三角形，可得∠2=∠3，從而有∠1=∠3；

第三步：最后再識(shí)別出如圖11-5所示的“射影基本型”，通過導(dǎo)角容易推出直角∠AHB，從而問題得解.

解題后反思：前兩步中的全等，其實(shí)質(zhì)就是“超級(jí)對(duì)稱”的思想，同學(xué)們用“對(duì)稱性”可形成幾何直觀，這種大勢(shì)感知的能力極其重要，需要引起大家的關(guān)注；另外，第三步中的“射影型相似”是一種極其重要的基本圖形，其內(nèi)部存在著很多的角關(guān)系、邊關(guān)系，包括很多的比例關(guān)系等，它在解題應(yīng)用中占著重要的一席之地，需要引起同學(xué)們的廣泛關(guān)注.

再來解決第(2)小問，把此問與第(1)小問作類比是極其有趣的，相當(dāng)于圖11-1中的中點(diǎn)E一分為二變?yōu)榱藘蓚€(gè)動(dòng)點(diǎn)M與N，再同時(shí)同地同速分別左右移動(dòng)，這就自然產(chǎn)生了第(2)個(gè)問題；

我們可以完全類比第(1)小問的解法來解決第(2)小問，具體操作如下：

第一步：由圖11-6中陰影的全等三角形，可得∠1=∠2；

第二步：由圖11-7中陰影的全等三角形，可得∠2=∠3，從而有∠1=∠3；

第三步：最后再識(shí)別出如圖11-8所示的“射影基本型”，通過導(dǎo)角容易推出直角∠AHB；

至此，兩個(gè)小問的過程可以說是一模一樣，體現(xiàn)了“圖形變了，方法未變”的統(tǒng)一性！

這里筆者又追加了一個(gè)極其自然的問題：當(dāng)DH取得最小值時(shí)，求此時(shí)AM的長(zhǎng).

這個(gè)問題看似簡(jiǎn)單，其實(shí)也不容易！看似麻煩，其實(shí)也很容易！為什么這么說呢？關(guān)鍵是同學(xué)們是否具備一定的畫圖素養(yǎng)及“確定性思想”分析問題解決問題的能力，如若有這兩方面的意識(shí)，此題不難；但若不具備，確實(shí)也無路可尋，且聽我娓娓道來：

第一步（畫圖意識(shí)）：在圖11-10的基礎(chǔ)上，連接BH并延長(zhǎng)后與邊AD的交點(diǎn)即為所要尋找的點(diǎn)M，如圖11-11所示，求此時(shí)AM的長(zhǎng)即可；

第三步（確定性分析）：如圖11-12所示，容易知道∠3是確定的，從而其“半角”∠1也是確定的，加之邊長(zhǎng)AB為2，從而△ABM也是確定的（ASA），因此AM確定，既然是確定的，肯定是可求的，而且一般怎么確定就怎么求，這就是我所想表達(dá)的“基于確定性思想的因果關(guān)系分析法”；

由前面的分析易知：只要能解出∠1（其三角函數(shù)值），就能求出隨之確定下來的AM長(zhǎng)！從而如何解∠1（其三角函數(shù)值）就成為了本問的關(guān)鍵所在；

解題后反思：本題解決原題最小值之后，筆者并沒有就此放過這道“好題”，緊接著追加了一小問求此時(shí)的AM長(zhǎng)，整個(gè)例11問題的設(shè)置可以說是妙到毫巔，由靜至動(dòng)，再由動(dòng)至靜，動(dòng)靜結(jié)合，妙不可言，這就是解題后反思、解題后琢磨的重要性；

而在求此時(shí)AM的長(zhǎng)時(shí)，筆者巧妙借助了“確定性思想”分析問題，結(jié)合“因果關(guān)系法”導(dǎo)角導(dǎo)邊，構(gòu)造“倍半角模型”最終搞定問題，值得同學(xué)們深思；

另外，有關(guān)“倍半角模型”的構(gòu)造可詳見本人作品《用倍半角模型解題事半功倍》；

（自編題）如圖11-15所示，在正方形ABCD中，點(diǎn)O為邊AB的中點(diǎn)，連接OD，在OD上取點(diǎn)H，使OH=OB，連接BH并延長(zhǎng)交邊AD于點(diǎn)M，求證AM=DH.

下面是浙江徐君斌大師巧妙的幾何解法，果斷點(diǎn)贊（其間用到了極其經(jīng)典的正方形中“十字架模型”，徐君的解法中相似可以免了，用等角對(duì)等邊就可以，本質(zhì)當(dāng)然還是相似的兩個(gè)等腰三角形）：

下面是南京李玉榮（李帥）老師的三種巧妙的構(gòu)造相似法：

法一：

法二：

從上面的法一與法二及筆者原題中的構(gòu)造計(jì)算法看來，此題是“死”的，怎么算都可以只要你堅(jiān)定不移，巧施“計(jì)策”，妙用所學(xué)，一定會(huì)“得償所愿”！

法三：

例12.如圖12，以G(0，1)為圓心，半徑為2的圓與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于C、D兩點(diǎn)，點(diǎn)E為⊙G上一動(dòng)點(diǎn)，CF⊥AE于F，當(dāng)點(diǎn)E從點(diǎn)C出發(fā)按順時(shí)針方向運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B時(shí)，此時(shí)點(diǎn)F所經(jīng)過的路徑長(zhǎng)為__________.