前面提到了三個(gè)有趣的本質(zhì)問題，筆者這里將它們歸攏在一塊，作為本文的《番外篇》，這樣的探索過程極其有趣，希望帶給大家數(shù)學(xué)探索之路、解題反思之路等方面一定的啟示之效，看下面的問題：

問題1：在△EPF中，∠EPF=60°，E、F為兩動(dòng)點(diǎn)，但始終有PE+PF為定值8，求EF的最小值及EF中點(diǎn)Q的軌跡長.

問題2：在△EPF中，∠EPF為定值2α，E、F為兩動(dòng)點(diǎn)，但始終有PE+PF為定值a，求EF的最小值及EF中點(diǎn)Q的軌跡長（用α與a的代數(shù)式表示）.

簡析：先來解決特殊情形下的問題1中EF的最小值；

第一步（畫出符合題意的圖形分析）：如圖18-20，畫出符合題意的△EPF，其中∠P=60°，且PE+PF=8；

第二步（構(gòu)造平四+三等邊）：如圖18-21，構(gòu)造出□PECF，分別延長PE、PF并分別截取EA=EC、FB=FC，則由∠EPF=60°易證明△EAC、△FCB以及△PAB都是等邊三角形；

易知PA=PE+EA=PE+EC=PE+PF=8，故PA=PB=AB=8；

第四步（“斜大于直”得最值）：如圖18-23，再過點(diǎn)E作ET⊥FH于點(diǎn)H，則由“斜大于直”易知EF≥ET=GH=3；

當(dāng)且僅當(dāng)EF∥AB時(shí)，由“超級(jí)對(duì)稱”易知此時(shí)點(diǎn)C恰好處于AB的中點(diǎn)處取等號(hào)，此時(shí)易知PE=PF=4；

故所求EF的最小值為4，當(dāng)且僅當(dāng)“超級(jí)對(duì)稱”，即點(diǎn)PE=PF=4時(shí)取到最小值，問題得解；

再來解決特殊情形下的問題1中EF中點(diǎn)Q的軌跡長；

第一步（構(gòu)造平四+三等邊）：同上可以構(gòu)造出如圖18-24有趣的基本圖形；

第二步（利用“同一法”轉(zhuǎn)移中點(diǎn)Q）：同例18中的分析一樣，連接PC，利用“平行四邊形對(duì)角線互相平分”易知EF的中點(diǎn)Q亦為PC的中點(diǎn)，只要計(jì)算PC的中點(diǎn)Q的軌跡長即可；

第三步（利用“平行距離法”或“瓜豆秒殺法”確定路徑）：同例18中的分析一樣，無論是通過更揭示本質(zhì)的傳統(tǒng)“平行距離法”，還是用比較現(xiàn)代化的“瓜豆秒殺法”都可以確定所求路徑是“直線型”，其實(shí)這個(gè)問題跟例18中知識(shí)應(yīng)用的問題一模一樣；

第四步（利用“極限法”確定中點(diǎn)Q的起點(diǎn)及終點(diǎn)）：如圖18-25，當(dāng)PF=0時(shí)，找到點(diǎn)Q的第一個(gè)臨界位置Q1；當(dāng)PE=0時(shí)，找到點(diǎn)Q的第一個(gè)臨界位置Q2，則Q1Q2即為所要找的軌跡，且其恰為△PAB的中位線，長為4，問題得解；

有趣的是，這個(gè)軌跡恰好也是前一問EF取得最小值時(shí)的位置，因而EF中點(diǎn)Q的軌跡長與EF的最小值正好相等，真是TMD的有趣，哈哈！

解題后反思：至此，問題1得到了完美演繹，筆者通過巧妙的幾何構(gòu)造法，幾乎無任何計(jì)算摻雜，解決了此最值問題及路徑長問題；

說實(shí)話，筆者也想不到上面的構(gòu)造法，之所以能提出問題并解決問題，全部來源于對(duì)例18的解題后反思之功、反思之效，從這一點(diǎn)上，我們可以體會(huì)到，解題后反思的重要作用！解題后反思、解題后琢磨、解題后變式、解題后聯(lián)想，無一不是我們必須要去培養(yǎng)的重要解題品質(zhì)，同學(xué)們一定會(huì)有更深刻的體會(huì)的！

由特殊到一般，從特殊情形的解法類比、推廣到一般情形下的求解，下面我們緊扣問題1的解法來“生搬硬套”，解決問題二，旨在鞏固方法，體現(xiàn)類比思想的重要機(jī)制！

先來解決一般情形下的問題2中EF的最小值；

第一步（畫出符合題意的圖形分析）：如圖18-26，畫出符合題意的△EPF，其中∠P=2α，且PE+PF=a；

第二步（構(gòu)造平四+三等腰）：如圖18-27，構(gòu)造出□PECF，分別延長PE、PF并分別截取EA=EC、FB=FC，則易證明△EAC、△FCB以及△PAB都是等腰三角形；

第三步（“三線合一”確定底邊）：易知PA=PE+EA=PE+EC=PE+PF=a，如圖18-28所示，過點(diǎn)P作PO⊥AB于點(diǎn)O，由“三線合一”知∠APO=α，則AO=APsinα=asinα，從而AB=2asinα；

再來解決一般情形下的問題2中EF中點(diǎn)Q的軌跡長；

第一步（構(gòu)造平四+三等腰）：同上可以構(gòu)造出如圖18-31有趣的基本圖形；

第二步（利用“同一法”轉(zhuǎn)移中點(diǎn)Q）：同例18中的分析一樣，連接PC，利用“平行四邊形對(duì)角線互相平分”易知EF的中點(diǎn)Q亦為PC的中點(diǎn)，只要計(jì)算PC的中點(diǎn)Q的軌跡長即可；

第三步（利用“平行距離法”或“瓜豆秒殺法”確定路徑）：同例18中的分析一樣，無論是通過更揭示本質(zhì)的傳統(tǒng)“平行距離法”，還是用比較現(xiàn)代化的“瓜豆秒殺法”都可以確定所求路徑是“直線型”，其實(shí)這個(gè)問題跟例18中知識(shí)應(yīng)用的問題一模一樣；

第四步（利用“極限法”確定中點(diǎn)Q的起點(diǎn)及終點(diǎn)）：如圖18-32，當(dāng)PF=0時(shí)，找到點(diǎn)Q的第一個(gè)臨界位置Q1；當(dāng)PE=0時(shí)，找到點(diǎn)Q的第一個(gè)臨界位置Q2，則Q1Q2即為所要找的軌跡，且其恰為△PAB的中位線，由前一個(gè)問題易知，此中位線長為asinα，問題得解；

有趣的是，這個(gè)軌跡恰好也是前一問EF取得最小值時(shí)的位置，因而EF中點(diǎn)Q的軌跡長與EF的最小值正好相等，真是TMD的有趣，哈哈！

解題后反思：由特殊的問題1到一般的問題2，求解思路幾乎一成不變，這種類比推理的思路在解決綜合題中，尤其是幾何變換大題中有著極其重要的作用，值得每一位學(xué)生用心體悟；

另外，如果再細(xì)心一些，你會(huì)想到動(dòng)點(diǎn)Q路徑的兩個(gè)端點(diǎn)都不能取得，即PE與PF都不能為0，不然△EPF就不存在了，與題意不符.因此筆者猜想，原題例18這道中考真題正是考慮到了端點(diǎn)取不到這種情形的漏洞，才在線段AB上又取了兩個(gè)定點(diǎn)C與D，這樣才能更準(zhǔn)確些.雖然端點(diǎn)即便取不到也不影響計(jì)算軌跡長，但畢竟給人留下一個(gè)小小的“把柄”不太好！中考命題啟示我們，作為數(shù)學(xué)人應(yīng)時(shí)刻都要抱以嚴(yán)謹(jǐn)?shù)闹螌W(xué)態(tài)度！

（第七集 番外篇1完?。?/p>

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