上面我們給出了描述實數(shù)變量的一種特殊行為的概念—極限，這個概念是我們描述一大類刻畫函數(shù)的局部性 質(zhì)的工具，本章正是應(yīng)用這個工具得到了微積分的兩個基本概念：導(dǎo)數(shù)與微分。

導(dǎo)數(shù)，導(dǎo)函數(shù)，導(dǎo)數(shù)的幾何意義。

從直觀的角度來講，極限是我們觀察運動細(xì)節(jié)的方式，運用這種方式，可以很自然地描述我們關(guān)于運動的細(xì) 節(jié)的任何概念。關(guān)于運動變化發(fā)展的一個很基本的觀念，就是變化率的觀念。應(yīng)該說這個觀念的起源并不是以極限的觀念為前提的，但是要清楚地表述變化率的概 念，則非使用極限作為工具不可。

在實際問題當(dāng)中，變化率的概念總是兩個變量的比值，甚至一般是兩個取確定大小的變量的比值，但這種作 法從嚴(yán)格的意義上講，是一種近似。

比方說變量x和y之間的具有函數(shù)關(guān)系y=f（x），那么y對于x的變化率就一般表述為，分子與分母分別是兩個相對應(yīng)的變 量的變化值。顯然這個變化率的刻畫運動真實情況的能力是由我們所取的的大小決定的，越大，那么包含在內(nèi)部的變化情況就不能 通過這個變化率表達(dá)出來。相反，越小，那么包含在內(nèi)部的變化情況就能更 多地通過這個變化率表達(dá)出來。因此如果我們希望這個變化率的概念，能夠盡量詳細(xì)地刻畫運動的實際情況，就必須盡可能地使得盡量地小。顯然這里就 需要使用極限的概念，我們正是這樣定義得到導(dǎo)數(shù)的概念的。

對于函數(shù)y=f（x）來說，在某點存在極限不一定要求函數(shù)在這點有定義，而如果我們要求刻畫函數(shù)在這點附近的變化率這種 性質(zhì)，則顯然應(yīng)該要求函數(shù)在這點有定義。因此我們首先假設(shè)函數(shù)y=f（x）在點x₀的某個鄰域內(nèi)有定義。然后考慮自變量在這個鄰域內(nèi)的變化，已經(jīng)相應(yīng)的因變量的變化：

設(shè)x從x₀變化到，那么因變量就有相應(yīng)的從變化到，按照變化率的一般定義，就是

，

顯然這個變量依賴于，那么我們?nèi)绾蔚玫娇?劃函數(shù)在x₀處的變化率這種性質(zhì)的變量呢？自然就是使用取極限的方法：

我們定義極限

。

如果這個極限存在，就稱為函數(shù)y=f（x）在x₀點的導(dǎo)數(shù)。這個導(dǎo)數(shù)仍然是刻劃了函數(shù)在x₀這點變化率，因為我們已經(jīng)應(yīng)該理解到，極限是一個過程，而確定的極限值，則是度量這個過程的一個數(shù) 值。

這樣我們就得到了使用數(shù)值對函數(shù)在某一點的變化率性質(zhì)的刻劃，進(jìn)一步，我們看到這個刻劃函數(shù)在一點的 性質(zhì)，還可以看成是一個隨著這個點的位置的變化而變化的新的函數(shù)，這個函數(shù)具有與所研究的函數(shù)相同的自變量，那么如果在上述的鄰域內(nèi)的每一點都存在，導(dǎo) 數(shù)，或者說可以定義這樣的導(dǎo)數(shù)的話，與這個鄰域上定義的函數(shù) y=f（x）相對應(yīng)的新的函數(shù)是以每一點上的導(dǎo)數(shù)作為因變量的，這個函數(shù)稱為導(dǎo)函數(shù)，在不至于混淆的情況下，也 可以稱為導(dǎo)數(shù)，寫成。

導(dǎo)數(shù)的概念可以用幾何圖形得到非常直觀的表達(dá)，因為本來微積分的概念就有很強的幾何直觀性質(zhì)，而我們 學(xué)習(xí)微積分，從幾何直觀的角度來理解與把握抽象概念，則是一個不二法門，希望同學(xué)們認(rèn)真對待。

應(yīng)用導(dǎo)數(shù)概念描述物理量。

導(dǎo)數(shù)概念具有很強的實際問題的背景，而我們在實際問題當(dāng)中總是能夠遇到大量的需要應(yīng)用導(dǎo)數(shù)概念來加以 刻劃的概念，甚至可以說，導(dǎo)數(shù)的概念構(gòu)成一種思路，當(dāng)我們在處理真實世界的問題時，常常遵循這個思路來獲得對于實際對象的性質(zhì)的刻劃。

前面我們已經(jīng)討論了導(dǎo)數(shù)的幾何意義，其實完全可以反過來說，正是由于當(dāng)初在幾何學(xué)問題中，為了要描述 斜率這個概念，才啟發(fā)人們建立了抽象的一般的導(dǎo)數(shù)的概念。而在其他的領(lǐng)域，這種相互發(fā)明的情況是屢見不鮮的。

比方說在物理學(xué)領(lǐng)域，需要大量地應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的概念，來刻劃屬于變化率，增長率，強度，通量，流量等等一 大類的物理量。例如速度，加速度，電流強度，熱容，等等。而我們在實際問題當(dāng)中，更是應(yīng)該善于提取復(fù)雜現(xiàn)象當(dāng)中所蘊涵的導(dǎo)數(shù)概念。

分段函數(shù)在分段點處的導(dǎo)數(shù)。

完全根據(jù)左右極限的概念，我們可以在上面的導(dǎo)數(shù)定義當(dāng)中，把變化率的極限分成左右極限兩種情況來考 慮，這樣就能夠自然地得到左右導(dǎo)數(shù)的概念，不過，必須主要的是，任何時候，導(dǎo)數(shù)盡管作為一個極限，但導(dǎo)數(shù)的存在，并非只是要求這個相應(yīng)極限的存在，更要求 函數(shù)在相應(yīng)的點有定義。

同左右極限主要應(yīng)用于分段函數(shù)一樣，左右極限也是主要用來分析分段函數(shù)在分段點處的性質(zhì)。顯然，如果 分段函數(shù)在分段點處有定義，那么它在分段點處的導(dǎo)數(shù)會出現(xiàn)兩種情況：一是在分段點處同時存在左右導(dǎo)數(shù)，但它們不相等；一是在分段點處的左右導(dǎo)數(shù)相等，這樣 這個函數(shù)在分段點處就存在導(dǎo)數(shù)，而不只是存在左右導(dǎo)數(shù)。

這兩種情況如圖所示，可以得到很好的表示：

圖中函數(shù)在A點處，左右導(dǎo)數(shù)同時存在但不相等。

圖中函數(shù)在A點處，左右導(dǎo)數(shù)同時存在并且相等。

這里我們實際上可以得到一個函數(shù)在某點存在導(dǎo)數(shù)的一個充要條件，即函數(shù)在該點同時存在左右導(dǎo) 數(shù)，并且左右導(dǎo)數(shù)相等。

函數(shù)可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系。

從上面的對于分段點的分析，就可以知道

（1）函數(shù)在某點處存在導(dǎo)數(shù)，則必定在該點處連續(xù)，首先因為存在導(dǎo)數(shù)，必定意味著同時存在左右導(dǎo)數(shù)，并且 相等，這也就是說必定同時存在左右極限，同樣相等，而且這個極限必定等于函數(shù)在這點的函數(shù)值。否則就會總是大于某個確定的數(shù)值。

換一種說法，就是如果函數(shù)在鄰域

存在極限

則顯然極限也必定存在，并且只能是0，這正是函數(shù)在這點連續(xù)的定義。

（2）函數(shù)在某點處連續(xù)，則不一定在該點處存在導(dǎo)數(shù)，而盡管是可能同時存在左右極限的。正如上面的第一種 分段函數(shù)的情況所給出的例子。

基本導(dǎo)數(shù)四則運算法則與求導(dǎo)公式。

由于導(dǎo)數(shù)實質(zhì)上就是一個求極限的過程，因此完全來源于極限的四則運算法則，同樣存在導(dǎo)數(shù)的四則運算法 則，列出如下，不過還是希望同學(xué)們自己進(jìn)行推導(dǎo)從而更好地掌握極限法則和導(dǎo)數(shù)法則。

（1），其中c為任意常數(shù)。

（2），其中a和b是任意常數(shù)。

（3）。

（4），（。

直接從導(dǎo)數(shù)的定義出發(fā)，也就是運用求極限的方式，我們就可以計算得到三種基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的表達(dá) 式，即常數(shù)函數(shù)，正弦函數(shù)，對數(shù)函數(shù)，因為這無非就是一個求極限的過程。從這三種基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)表達(dá)式，加上基本導(dǎo)數(shù)四則運算法則和函數(shù)之間本身的恒 等變換關(guān)系，就可以得到所有初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式。

我們列出基本的求導(dǎo)公式如下，但是希望同學(xué)們能夠自己動手，推導(dǎo)出這些基本求導(dǎo)公式來，而不是死記硬 背，因為只有自己親手推導(dǎo)出來的公式，才能真正熟練地，深刻地加以掌握，才能在實際應(yīng)用當(dāng)中加以靈活運用。

復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則。

由基本初等函數(shù)通過復(fù)合而得到復(fù)合函數(shù)，那么在這種復(fù)合過程當(dāng)中，函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)如何變化呢？這里有一 個一般的對于復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則，就是所謂鏈?zhǔn)椒▌t：

兩個函數(shù)y=f（u），u=g（x）可以通過復(fù)合構(gòu)成一個復(fù)合函數(shù)，其中g在x點處可導(dǎo)，f在相應(yīng)的u=g（x）點處可導(dǎo)，那么復(fù)合得到的函數(shù)y=f[g（x）]在同樣的x點處也可導(dǎo)，并且導(dǎo)數(shù)等于：

這個定理直接應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的定義，通過求極限就可以得到。

這里是只有一個中間變量的情形，如果有多個中間變量，則表達(dá)式的形式是類似的：

。

應(yīng)用這個法則，就可以直接求出用基本初等函數(shù)通過有限的復(fù)合過程構(gòu)造出來的復(fù)雜函數(shù)，而無論復(fù)合的層 次有多少。

隱函數(shù)求導(dǎo)法。對數(shù)求導(dǎo)法。

我們已經(jīng)討論的函數(shù)都是采用所謂顯函數(shù)的形式，就是函數(shù)表達(dá)式直接給出了因變量如何通過對自變量作什 么樣的運算而得到。還有一種表達(dá)函數(shù)的形式，就是所謂隱函數(shù)形式，這種函數(shù)表達(dá)形式給出的是自變量與因變量之間的關(guān)系，而沒有直接給出由自變量得到因變量 的表達(dá)式。這種形式的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的求法，一般就是應(yīng)用鏈導(dǎo)法。

對隱函數(shù)應(yīng)用鏈導(dǎo)法的核心思想就是引入中間變量，即對于一個同時包含了自變量與因變量的表達(dá)式，把包 含了因變量的部分作為因變量自身的函數(shù)，從而總是能夠?qū)σ粋€隱函數(shù)的表達(dá)式的兩邊同時關(guān)于本來的自變量求導(dǎo)。盡管在實際的運算過程中，我們并不一定需要特 意地指出引入了什么樣的中間變量。

在這里，初學(xué)者往往不能 靈活地把任何一個包含變量的表達(dá)式的某個部分，看成是一個新的變量，這就反映了初學(xué)者還沒有深刻地理解所謂變量的含義，這也正是我們在本課程開始的時候， 著重強調(diào)變量這一類的基本概念的重要性的原因所在了。

下面我們會通過例子和練習(xí)來幫助同學(xué)們熟練掌握這個特別有用的求導(dǎo)法。

我們知道對于通過乘法，乘方，及其逆運算所組成的復(fù)雜形式的函數(shù)，可以通過取對數(shù)簡化函數(shù)的形式，如 果在這個基礎(chǔ)上再運用隱函數(shù)的求導(dǎo)法，就能簡化一大類的通過乘法，乘方，及其逆運算所組成的復(fù)雜形式的函數(shù)的求導(dǎo)運算，這就是對數(shù)求導(dǎo)法。

在運用對數(shù)求導(dǎo)法時，必須注意到，如果被取對數(shù)的項有可能取負(fù)值，則必須先對這項取絕對值，才能接著 取對數(shù)。

反函數(shù)求導(dǎo)法。

應(yīng)用鏈導(dǎo)法可以直接對一個函數(shù)的反函數(shù)求導(dǎo)。這里的關(guān)鍵是對每一個函數(shù)的自變量與因變量不能搞混淆 了。任何就是注意反函數(shù)存在的條件。

設(shè)函數(shù)，則有。

參數(shù)式所確定的函數(shù)的求導(dǎo)法。

函數(shù)還有一種表示方法，就是通過引入?yún)⒆兞慷玫絽?shù)方程所表示的函數(shù)。對參數(shù)方程求導(dǎo)，需要綜合運 用鏈導(dǎo)法和反函數(shù)求導(dǎo)法。

設(shè)參數(shù)方程為

那么我們有

高階導(dǎo)數(shù)。

既然導(dǎo)函數(shù)本身就是一個新的函數(shù)，那么應(yīng)該同樣可以再次對它關(guān)于自變量取導(dǎo)數(shù)，甚至多次地重復(fù)這種步 驟，從而得到所謂高階導(dǎo)數(shù)。我們在后面的學(xué)習(xí)當(dāng)中，會遇到高階導(dǎo)數(shù)極其重要的應(yīng)用。高階導(dǎo)數(shù)在實際問題當(dāng)中也是極其有意義的，例如加速度的概念，就是基于 位移對時間的二次導(dǎo)數(shù)，而二階導(dǎo)數(shù)的幾何意義也是極其鮮明的，即能反映曲線的凹向。

盡管求高階導(dǎo)數(shù)只是上面所討論的求導(dǎo)法的重復(fù)，并沒有出現(xiàn)什么新的計算原理，不過掌握一些有用的公 式，對于我們的計算還是能起到很大的簡化作用，下面列出幾個這樣的公式：

（1）

（2）

（3）

（4）

（5）

以及一個基本求導(dǎo)法則：

（6）

這幾個公式是常用的基本公式，本身并不復(fù)雜，只有自己動手作推導(dǎo)，然后多加練習(xí)，就一定能夠熟練運 用。

進(jìn)一步我們還可以自己推導(dǎo)出初等函數(shù)以及隱函數(shù)和參數(shù)式所確定的函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)的求法。這里的關(guān)鍵是 除了原始的自變量以外，其他的任何引入的參數(shù)或者中間變量，包括最終的因變量，都必須看成是另外的用來求導(dǎo)的變量的函數(shù)，隨時清醒地意識到這點，可以使得 我們能夠有條不紊地一步一步運用基本求導(dǎo)法和基本公式解決任何的求導(dǎo)問題。因為從本質(zhì)上來看，任何初等函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)總還是初等函數(shù)，而且總能夠通過固定的 步驟求出來。這點和我們在后面要學(xué)習(xí)的積分法具有本質(zhì)的不同。

微分。

我們知道導(dǎo)數(shù)的概念是用來研究函數(shù)在一點及其附近的局部性質(zhì)的精確工具，而對于函數(shù)在某點附近的性質(zhì) 還可以應(yīng)用另一種方法來研究，就是通過最為簡單的線性函數(shù)來逼近，這就是微分的方法。

所謂微分仍然是導(dǎo)數(shù)概念的一種應(yīng)用，應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的概念，

，

我們有如下的所謂增量公式：

這里是一個時的無窮小量。因此我們可以取

，

這個近似等式在點x的附近是隨著越小而越精確的，由于函數(shù)在某點的 導(dǎo)數(shù)是一個常數(shù)，因此上面的表達(dá)式是一個線性函數(shù)，這里的實質(zhì)就是在某點的附近，用一個線性函數(shù)替代原來一般是比較復(fù)雜一些的函數(shù)，從而在這點的附近能夠 應(yīng)用簡單的方式研究這個函數(shù)的性質(zhì)。一般地，我們就可以定義一個新的概念：

就稱為函數(shù)在x點處的微分。

從微分的概念，我們還可以更進(jìn)一步地理解導(dǎo)數(shù)的概念：

我們看上面的表達(dá)式究竟是什么樣的意思：就是任何一個函數(shù)，因變量在某點的微分就是函數(shù)在這點的導(dǎo)數(shù) 和自變量在這點附近的一個足夠小的增量的乘積，那么我們同樣可以定義這個函數(shù)里的自變量的微分。怎么定義呢？就是在這個函數(shù)里，把自變量看成另一個函數(shù)的 因變量，從而使得這個函數(shù)成為一個具有新的變量的復(fù)合函數(shù)，我們可以這樣定義這個函數(shù)，即g（x）=x，這樣就在形式上沒有改變原來的函數(shù)，而實質(zhì)上應(yīng)該說我們對這個函數(shù)的看法有了改變，那么函數(shù)g的微分有時什么呢？可以得到就是：

這樣我們就從微分的角度得到了導(dǎo)數(shù)記號的新的意義，即

，

。

回顧一下我們以前對導(dǎo)數(shù)的定義，是來自兩個增量的比值的極限，作為一個極限，寫成比值的形式，卻還是 一個整體的意思，現(xiàn)在我們看到，這種比值的形式還是可以賦予比值的意義的。這樣就使得我們可以合理地對導(dǎo)數(shù)的這種形式應(yīng)用除法的運算法則了。例如在我們應(yīng) 用鏈導(dǎo)法時，已經(jīng)不自覺使用了的一樣。

微分的四則運算法則。微分形式不變性。

進(jìn)一步利用微分與導(dǎo)數(shù)的這種比值形式的關(guān)系，就可以直截了當(dāng)?shù)貜膶?dǎo)數(shù)的運算法則得到相應(yīng)的微分的運算 法則，即直接在表達(dá)導(dǎo)數(shù)運算法則的恒等式的兩邊乘dx即可，因為對于導(dǎo)數(shù)的這種作為兩個微分的比值的看法允許這么作：

（1），其中c為任意常數(shù)。

（2），其中a和b是任意常數(shù)。

（3）。

（4），（。

對于函數(shù)的自變量，我們知道還可以更進(jìn)一步地看成是另一個新的變量的函數(shù)，這樣就使得原來的函數(shù)轉(zhuǎn)變 為一個復(fù)合函數(shù)，這是我們構(gòu)造函數(shù)或者說理解函數(shù)結(jié)構(gòu)的常用方法。那么因變量的微分是否與自變量究竟是最終的自變量，還是僅僅只是一個中間變量有關(guān)呢？這 里存在一個微分的基本性質(zhì)，就是說微分的形式是與變量在函數(shù)里的地位沒有關(guān)系的，這就是所謂微分的形式不變性。

我們可以通過運用兩個不同的途徑來求一個變量的微分而得到微分不變性的一個說明。一是對于一個函數(shù)直 接運用微分的定義；二是把這個函數(shù)的自變量看成另一個新的變量的因變量，從而對于復(fù)合函數(shù)運用鏈導(dǎo)法而得到原來變量的微分的新的表示形式，最終可以發(fā)現(xiàn)者 兩個結(jié)果是一樣的。即對于函數(shù)，直接根據(jù)微分的定義，我們可以得 到y的微分表示為，而如果我們?nèi)我庖胍粋€新的函數(shù)，這樣就使得變量y成為了一個新的復(fù)合函數(shù)的因變量：，對于這個復(fù)合函數(shù)，我們?nèi)匀豢梢?直接應(yīng)用微分的定義，得到變量y的微分的表達(dá)式：

，

注意，這里的是從導(dǎo)數(shù)的本來定義來理解的，暫時 不能看成是兩個變量的微分的比值。

另外，變量y的這個復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)可以通過鏈導(dǎo)法表示如下：

，

把這個導(dǎo)數(shù)的表達(dá)式代入上面的變量y的微分的表達(dá)式，可以得到

，

我們可以看到，其中包含了函數(shù)g的或者說變量x的微分的表達(dá)式，即，代入，我們就得到了和直接應(yīng)用微 分定義所得到的，用變量x表達(dá)的變量y的微分一樣的形式：。這就是所謂的微分形式不變 性。

微分不變性最為重要的意義就是說明了可以對于任意的變量取微分，而無論這個變量在還是中所處的地位如 何。

進(jìn)一步，對于引入了中間變量的鏈導(dǎo)法，反函數(shù)求導(dǎo)法，參數(shù)方程的求導(dǎo)法，我們都可以在非常簡單的意義 上來加以理解，即總是可以把導(dǎo)數(shù)看成是兩個不同變量的微分的比值，從而可以對于導(dǎo)數(shù)與微分應(yīng)用除法的運算法則。這就極大地簡化了我們有關(guān)導(dǎo)數(shù)與微分的運 算，加深了我們對于導(dǎo)數(shù)與微分之間的關(guān)系的理解。

基本微分公式。

基于基本函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式和微分形式的不變性，我們可以直接得到基本函數(shù)的微分公式，實際上，也就是把 導(dǎo)數(shù)看成兩個微分量的比值，然后在導(dǎo)數(shù)公式的恒等式兩邊乘dx即可。我們列出如下，以便 記憶：