【原】柯西黎曼方程

cosmos2062 2022-07-14 發(fā)布于廣東

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我們已經(jīng)對(duì)復(fù)變函數(shù)的概念有了基本的認(rèn)識(shí)。但是，在物理學(xué)的研究中，在工程技術(shù)的應(yīng)用計(jì)算中，人們往往不是對(duì)所有的復(fù)變函數(shù)感興趣，而是只對(duì)一類有特殊性質(zhì)的復(fù)變函數(shù)感興趣，這一類有特殊性質(zhì)的復(fù)變函數(shù)被稱為解析函數(shù)。

設(shè)w=f(z)是區(qū)域G內(nèi)的單值函數(shù)，如果在G內(nèi)某點(diǎn)z處以下的極限存在：

則函數(shù)在該點(diǎn)可導(dǎo)，稱此極限是函數(shù)在該點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)，記為f'(z)。需要注意的是，只有當(dāng)Δz以任意方式趨于零時(shí)，極限值相等，極限才會(huì)存在。利用這個(gè)要求就能夠得到函數(shù)可導(dǎo)的必要條件。

考慮自變量的兩種特殊的變化方式：第一種變化方式是讓自變量的增量Δz沿著平行于實(shí)軸的方向趨于零。在這種情況下，上述極限如果存在，就可以寫成

第二種變化方式是讓自變量的增量Δz沿著平行于虛軸的方向趨于零。在這種情況下，上述極限如果存在，就可以寫成

另一方面，上述極限如果存在，那么，自變量按這兩種方式變化得到的兩個(gè)極限值必須相等！由此得到：

我們把這兩個(gè)等式稱為柯西―黎曼方程。

如果一個(gè)函數(shù)在區(qū)域G內(nèi)每一點(diǎn)都可導(dǎo)，它就是G內(nèi)的解析函數(shù)。由這個(gè)定義可知，解析函數(shù)在其定義域內(nèi)處處滿足柯西―黎曼方程?；蛘呖梢赃@樣說，如果一個(gè)復(fù)變函數(shù)在某個(gè)區(qū)域內(nèi)處處滿足柯西—黎曼方程，這個(gè)復(fù)變函數(shù)就是一個(gè)定義在這個(gè)區(qū)域內(nèi)的解析函數(shù)。

柯西—黎曼方程把一個(gè)解析函數(shù)的實(shí)部與虛部聯(lián)系起來，這意味著并不是隨便找兩個(gè)二元實(shí)變函數(shù)就可以構(gòu)造出一個(gè)解析函數(shù)。一個(gè)特定的二元實(shí)變函數(shù)，只能與另一個(gè)特定的二元實(shí)變函數(shù)配對(duì)，才能成為某個(gè)解析函數(shù)的實(shí)部和虛部。利用解析函數(shù)的實(shí)部和虛部的這種相互關(guān)聯(lián)性，對(duì)一個(gè)特定的二元實(shí)變函數(shù)，可以通過柯西—黎曼方程找到與它配對(duì)的另一個(gè)二元實(shí)變函數(shù)。

如果有一個(gè)二元實(shí)變函數(shù)u(x,y)，我們希望用這個(gè)函數(shù)做實(shí)部構(gòu)造一個(gè)解析函數(shù)，就可以通過柯西—黎曼方程得到這個(gè)解析函數(shù)的虛部的全微分：

同樣，如果有一個(gè)二元實(shí)變函數(shù)v(x,y)，我們希望用這個(gè)函數(shù)做虛部構(gòu)造一個(gè)解析函數(shù)，就可以通過柯西—黎曼方程得到這個(gè)解析函數(shù)的實(shí)部的全微分：

我們知道，只要知道了一個(gè)函數(shù)的全微分，就可以通過積分求出這個(gè)函數(shù)本身。

我們來看一個(gè)簡(jiǎn)單的例子。有一個(gè)二元實(shí)變函數(shù)

，我們用它做實(shí)部構(gòu)造一個(gè)解析函數(shù)。根據(jù)柯西—黎曼方程，這個(gè)解析函數(shù)的虛部的全微分

利用全微分求解原函數(shù)有三種方法。任何一種方法都可以在相差一個(gè)任意可加常數(shù)的意義下得到虛部的表達(dá)式。

最簡(jiǎn)單的一種方法是拼湊法。這種方法利用微分法則進(jìn)行逆向思惟，通過把全微分的函數(shù)式拼湊成全微分的顯式，由此自然得出所求的函數(shù)。通過拼湊得出結(jié)果這種方法需要你的經(jīng)驗(yàn)和靈感，沒有統(tǒng)一可循的途徑。比如說，對(duì)上面給出的函數(shù)v(x,y)的全微分的形式，根據(jù)我們的經(jīng)驗(yàn)馬上就可以得到這個(gè)函數(shù)的表達(dá)式：v(x,y)=2xy+C。當(dāng)然，拼湊法并非總能奏效。在大多數(shù)場(chǎng)合中，一個(gè)函數(shù)的全微分多半會(huì)很復(fù)雜，這種方法派不上用場(chǎng)。

第二種方法是曲線積分法。這種方法利用全微分的積分與積分路徑無關(guān)的性質(zhì)，在積分的時(shí)候選擇一條特殊的路徑，使積分比較容易求出。

比如說，可以選擇沿黃色虛線標(biāo)記的路徑對(duì)dv做積分：

由于積分路徑分段光滑，積分被分成兩部分：

第一個(gè)積分沿著x軸進(jìn)行，在這種情況下，y=0，dy=0，積分結(jié)果等于0；第二個(gè)積分平行于y軸進(jìn)行，dx=0，積分結(jié)果等于xy。由此得到v(x,y)=2xy+C。當(dāng)然，你也可以選擇另一條路徑，先沿著y軸積分，再平行于x軸積分，得到的結(jié)果是一樣的。

第三種方法是不定積分法。這種方法通過對(duì)其中一個(gè)偏導(dǎo)數(shù)求不定積分得到函數(shù)的表達(dá)式。比如說，由v(x,y)的全微分式可以知道，

。暫時(shí)把y看作常數(shù)，對(duì)x求不定積分就得到

把v(x,y)的這個(gè)表達(dá)式對(duì)y做偏導(dǎo)數(shù)就得到

。但是，由v(x,y)的全微分表達(dá)式可知，這個(gè)偏導(dǎo)數(shù)應(yīng)該等于2x，于是，

，由此可得

。這就得到了v(x,y)的完整表達(dá)式。

也可用另一個(gè)偏導(dǎo)數(shù)對(duì) y 求不定積分，按照這個(gè)方式得到的結(jié)果是一樣的。

在相差一個(gè)任意可加常數(shù)的意義下得到了虛部的表達(dá)式之后，把它與已知的實(shí)部組合起來，就得到了所要求的解析函數(shù)的表達(dá)式：

在通常情況下，如果一個(gè)復(fù)變函數(shù)的實(shí)部和虛部滿足柯西―黎曼方程，它就是一個(gè)在其定義域內(nèi)的解析函數(shù)。但是，即使是一個(gè)解析函數(shù)，也有可能在某些點(diǎn)上有反常的表現(xiàn)，比如說無定義，或者不可導(dǎo)，或者不解析，這些點(diǎn)就被稱為該函數(shù)的奇點(diǎn)。