高考數(shù)學(xué)丨MOOK

2016 第26期

 熊如佐

表中S表示面積，c′、c分別表示上、下底面周長(zhǎng)，h表示高，h′表示斜高，l表示側(cè)棱長(zhǎng).

表中l(wèi)，h分別表示母線、高，r表示圓柱、圓錐的底面半徑，r_1，r₂分別表示圓臺(tái)的上、下底面半徑，R表示球的半徑.

立體幾何中的“換拆拼補(bǔ)”是求體積、表面積、距離的基本方法.所謂“換”是變換觀察角度，使幾何體變換前后等體積．變換的標(biāo)準(zhǔn)是看相應(yīng)的底面和高是否容易求解．所謂“拆”是將一個(gè)幾何體拆成幾個(gè)幾何體,如非規(guī)則形體的體積計(jì)算問(wèn)題,有時(shí)為了計(jì)算方便,把某個(gè)幾何體拆出,另畫(huà)圖形或另行計(jì)算,這都是“拆”法的體現(xiàn);所謂“拼”是將不易求體積的幾何體轉(zhuǎn)化為易求的規(guī)則幾何體求解，是一種常用的技巧.所謂“補(bǔ)”就是將不太容易求體積的幾何體“補(bǔ)”成熟悉的形體，使形體結(jié)構(gòu)更完整、更充實(shí),使求體積的方法思路大增.

例1.（1）已知正四棱錐底面正方形的邊長(zhǎng)為4cm，高與斜高的夾角為30°，如圖所示，求正四棱錐的側(cè)面積和表面積．

解： 正棱錐的高PO，斜高PE，底面邊心距OE組成Rt△POE.

∵OE＝2cm，∠OPE＝30°，∴PE＝＝4(cm)．

因此S_側(cè)＝Ch′＝×4×4×4＝32(cm²)，

S_表＝S_側(cè)＋S_底＝32＋16＝48(cm²)．

（2）圓臺(tái)的上、下底面半徑分別是10cm和20cm，它的側(cè)面展開(kāi)圖的扇環(huán)的圓心角是180°，那么圓臺(tái)的表面積是多少？

解：如圖所示，設(shè)圓臺(tái)的上底面周長(zhǎng)為c.因?yàn)閭?cè)面展開(kāi)圖的扇環(huán)的圓心角是180°，

故c＝π·SA＝2π×10，所以SA＝20.

同理可得SB＝40，

所以AB＝SB－SA＝20.

所以S_表＝S_側(cè)＋S_上＋S_下

＝π(r₁＋r₂)·AB＋πr＋πr

＝π(10＋20)×20＋π×10²＋π×20²

＝1100π(cm²)．

故圓臺(tái)的表面積為1 100πcm².

變式訓(xùn)練1  已知各面均為等邊三角形的四面體SABC(即正四面體SABC)，棱長(zhǎng)為a，則其表面積為_(kāi)_______．

(1)公式法

例2.如圖是一個(gè)幾何體的三視圖（單位：cm）．試求這個(gè)幾何體的表面積和體積．

分析：三視圖從細(xì)節(jié)上刻畫(huà)了空間幾何體的結(jié)構(gòu)，根據(jù)三視圖可以得到一個(gè)精確的空間幾何體，由三視圖想象出對(duì)應(yīng)的空間幾何體，就不難求出表面積．

解：由三視圖可知，這個(gè)幾何體是一個(gè)“躺著”的直三棱柱，其側(cè)棱長(zhǎng)是3，底面是一個(gè)底邊長(zhǎng)是2，高是1的等腰三角形，

點(diǎn)評(píng)：熟悉常見(jiàn)幾何體的直觀圖和三視圖的互化，根據(jù)三視圖的特征合理想象出對(duì)應(yīng)的空間幾何體．再根據(jù)公式計(jì)算即可．

變式訓(xùn)練2 若某幾何體的三視圖(單位：cm)如圖所示，則此幾何體的體積是(　　)

A.cm³     B. cm³

C.cm³     D. cm³

答案：B

(2)等積法

例3.如圖，平面ADE⊥平面ABCD，△ADE是邊長(zhǎng)為a的等邊三角形，四邊形ABCD是矩形，F是AB的中點(diǎn)，EC與平面ABCD成30°角．

(1)求三棱錐F－CDE的體積；

(2)求點(diǎn)D到平面EFC的距離．

點(diǎn)評(píng): 三棱錐的“等體積性”，即計(jì)算體積時(shí)可以用任意一個(gè)面作三棱錐的底面．①求體積時(shí)，可選擇高和底面積容易計(jì)算的來(lái)算；②利用“等體積性”可求點(diǎn)到平面的距離．利用等體積變換法求點(diǎn)到平面的距離，是求點(diǎn)到平面距離的又一重要方法，尤其是點(diǎn)到平面的垂線不好作時(shí)，往往使用此法

變式訓(xùn)練3 如圖，已知ABCD-A₁B₁C₁D₁是棱長(zhǎng)為a的正方體，E，F分別是棱AA₁和CC₁的中點(diǎn)，求四棱錐A₁-EBFD₁的體積．

(3)割補(bǔ)法

例4.邊長(zhǎng)為12cm的正方形都被連接兩條鄰邊的中點(diǎn)的直線分成A，B兩片，如圖1所示.把這6片粘在一個(gè)正六邊形的外面，如圖2所示，然后折成多面體，如圖3，則其體積為_(kāi)_________.

解析:如圖3，將立體圖形從局部考慮，

點(diǎn)評(píng):割補(bǔ)法是求體積、表面積、距離的基本方法，常常將一個(gè)不太容易求體積、表面積、距離的幾何體轉(zhuǎn)化為易求的棱柱和棱錐來(lái)求解，是一種常用的技巧.

變式訓(xùn)練4 如圖，在多面體ABCDE中，

(4)分割法

例5.如圖，已知三棱錐P-ABC中，棱AC長(zhǎng)為6，其余各棱長(zhǎng)均為5，求三棱錐的體積.

PO為高）直接計(jì)算，將會(huì)遇到計(jì)算繁雜的問(wèn)題，注意題中條件只有棱AC長(zhǎng)為6，其他棱長(zhǎng)是5，可以過(guò)的AC中點(diǎn)作平面PBD把原三棱錐分成兩個(gè)體積相等的小三棱錐，使問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求小三棱錐的體積.

解:

取AC的中點(diǎn)D，則直線AC與平面PBO垂直，于是有

點(diǎn)評(píng):通過(guò)分割幾何體將不易求長(zhǎng)度的幾何體轉(zhuǎn)化為易求長(zhǎng)度的幾何體的方法在求幾何體的面積、體積等計(jì)算題中常用到.

變式訓(xùn)練5 在三棱臺(tái)ABC--A₁B₁C₁中，AB∶A₁B₁＝1∶2，則三棱錐A₁--ABC，B--A₁B₁C，C--A₁B₁C₁的體積之比為_(kāi)_______．

解析：如圖，三棱錐B-A₁B₁C可看作棱臺(tái)減去兩個(gè)三棱錐A₁--ABC和C--A₁B₁C₁后剩余的幾何體，分別求幾何體的體積，然后相比即可．

答案:1∶2∶4

   下期預(yù)告

  《轉(zhuǎn)換思想巧解空間位置關(guān)系和空間距離》

---胡磊