立體幾何復(fù)習(xí)：

1、空間幾何體的結(jié)構(gòu)及其三視圖和直觀圖

2、空間幾何體的表面積和體積

【知識梳理】

1、構(gòu)成空間幾何體的基本元素

    點(diǎn)、線、面是構(gòu)成幾何體的基本元素，線有直線（段）和曲線（段）之分，面有平面（部分）和曲面（部分）之分．在立體幾何中，平面是無限延展的．通常畫一個(gè)平行四邊形表示一個(gè)平面，用希臘字母、、、命名，也可用表示它的平行四邊形的對角頂點(diǎn)的字母來命名，如平面ABCD或平面AC等．

2、棱柱、棱錐、棱臺的結(jié)構(gòu)特征

（1）多面體是由若干個(gè)平面多邊形所圍成的幾何體，多邊形叫做多面體的面；相鄰兩面公共邊叫做多面體的棱，棱與棱的公共點(diǎn)叫做多面體的頂點(diǎn)．不共面兩頂點(diǎn)的連線叫做多面體的對角線；

（2）棱柱：兩個(gè)面（底面）互相平行，其余每兩個(gè)相鄰面（側(cè)面）的交線（側(cè)棱）平行．

分類：

（3）棱錐：有一個(gè)面（底面）是多邊形，其余各面（側(cè)面）都是有一個(gè)公共點(diǎn)（頂點(diǎn)）的三角形．

    分類：底面多邊形：三棱錐、四棱錐、五棱錐……

    特別地，正棱錐指底面為正多邊形，水平放置時(shí)，頂點(diǎn)在底面投影為底面多邊形的中心；

（4）棱臺：底面水平放置的棱錐被平行于底面的平面所截，截面（上底面）與圓錐底面（下底面）之間的部分．

    正棱臺：正棱錐截得的棱臺．

3、圓柱、圓錐、圓臺、球

球：空間中到一個(gè)定點(diǎn)距離等于定長的點(diǎn)的集合．

    大圓：球面被經(jīng)過球心的平面截得的圓．

    小圓：球面被不經(jīng)過球心的平面截得的圓．

球面距離：經(jīng)過兩點(diǎn)的大圓在這兩點(diǎn)間的一段劣弧的長度．

4、平行投影與直觀圖

平行投影：（如圖），圖形F，直線L與a相連，過F上任一點(diǎn)M作直線平行FF'交平面于點(diǎn)，則稱為M在內(nèi)的關(guān)于直線L的平行投影．

平行投影性質(zhì)：（1）直線或線段的平行投影仍是直線或線段；

    （2）平行直線的平行投影是平行或重合的直線；

    （3）平行于投射面的線段，它的投影與這條線段平行且等長；

    （4）平行于投射面的平面圖形，它的投影與這個(gè)圖形全等；

    （5）在同一直線或平行直線上，兩條線段平行投影的比等于這兩條線段的比．

    直觀圖：用來表示空間圖形的平面圖形（斜二測畫法）．

5、三視圖

（1）正投影：平行投影中，投射線與投射面垂直．

    性質(zhì)：①垂直于投射面的直線或線段的正投影是點(diǎn)．               

    ②垂直于投射面的平面圖形的正投影是直線或直線的一部分．

（2）三視圖

  6、圓柱、圓錐、圓臺的側(cè)面積分別是它們側(cè)面展開圖的面積，因此弄清側(cè)面展開圖的形狀及側(cè)面展開圖中各線段與原旋轉(zhuǎn)體的關(guān)系，是掌握它們的側(cè)面積公式及解有關(guān)問題的關(guān)鍵．

7、圓柱、圓錐、圓臺的表面積公式

見下表，其中S表示面積，分別表示上、下底面周長，h表示高，r’和r分別表示上、下底面的半徑，l表示母線長。

  8、棱柱或棱臺的表面積等于側(cè)面積與兩個(gè)底面積的和，棱錐的表面積是側(cè)面積與一個(gè)底面積的面積的和．

    棱柱、棱錐和棱臺的面積公式：

見下表，其中S表示面積，c’、c分別表示上、下底面周長，h表示高度，h’表示斜高，l表示側(cè)棱長。

9、棱柱、棱錐、棱臺的體積公式

其中，、是底面積，h是高。

  10、圓柱、圓錐、圓臺的體積公式

其中，、r’是底面半徑，h是高。

    熟練掌握柱、錐、臺體積公式及其內(nèi)在聯(lián)系是達(dá)到準(zhǔn)確計(jì)算的關(guān)鍵。

半徑為R的球的表面積，體積．

【典型例題】

  例1. 下面是關(guān)于四棱柱的四個(gè)命題：

①若有兩個(gè)側(cè)面垂直于底面，則該四棱柱為直四棱柱；

②若過兩個(gè)相對側(cè)棱的截面都垂直于底面，則該四棱柱為直四棱柱；

③若四個(gè)側(cè)面兩兩全等，則該四棱柱為直四棱柱；

④若四棱柱的四條對角線兩兩相等，則該四棱柱為直四棱柱。

其中，真命題的編號是___________。（寫出所有真命題的編號）

點(diǎn)撥：根據(jù)學(xué)過的幾何體結(jié)構(gòu)特征，亦可用反例法否定命題。

解析：對于①，平行六面體的兩個(gè)相對側(cè)面也可能與底面垂直且相互平行，故①假；對于②，兩截面的交線平行于側(cè)棱，且垂直于底面，故②真；對于③，作正四棱柱的兩個(gè)平行菱形截面，可得滿足條件的斜四棱柱（如圖），故③假；對于④，四棱柱一個(gè)對角面的兩條對角線，恰為四棱柱的對角線，故對角面為矩形，于是側(cè)棱垂直于底面的一對角線，同樣側(cè)棱也垂直于底面的另一對角線，故側(cè)棱垂直于底面，故④真。（如圖）

答案：②④

  例2. 如圖，正四棱臺的高是17cm，兩底面邊長分別為4cm和16cm，求棱臺的側(cè)棱長和斜高。

點(diǎn)撥：找到已知條件和正棱臺的特征——直角梯形，轉(zhuǎn)化為平面幾何知識求解。

解析：設(shè)棱臺兩底面的中心分別為O’和O，B’C’，BC的中點(diǎn)分別為E’，E，連結(jié)，

則均為直角梯形。

在正方形ABCD中，，

在正方形中，，

則，

在直角梯形中，

；

在直角梯形中，

這個(gè)棱臺的側(cè)棱長為19cm，斜高為。

點(diǎn)評：正棱臺兩底面中心連線，相應(yīng)的邊心距和斜高組成一個(gè)直角梯形，兩底面中心邊線，側(cè)棱與兩底面相應(yīng)半徑組成一個(gè)直角梯形，對于棱柱相應(yīng)為矩形，棱錐相應(yīng)直角三角形．圓臺兩底面中心連線，相應(yīng)底面半徑、母線組成直角梯形，圓柱相應(yīng)為矩形，圓錐相應(yīng)為直角三角形，這些特征圖形在解題中經(jīng)常用到，要能夠迅速、準(zhǔn)確地畫出．

  例3. 設(shè)地球半徑為R，在北緯45°圈上有兩點(diǎn)A、B，點(diǎn)A在西經(jīng)40°，點(diǎn)B在東經(jīng)50°，求A、B兩點(diǎn)間緯線圈的長度及A、B兩點(diǎn)的球面距離。

點(diǎn)撥：涉及到球的問題，多數(shù)為求解球面距離，解此題須畫出準(zhǔn)確的圖示，找到幾何要素間的關(guān)系。

解析：如圖，設(shè)45°緯線圈中心為，地球中心為O，則∠，

垂直于圓所在平面，

。

又在北緯45°圈上，

，

，

在中，，

為等邊三角形，

，在45°緯線圈上，

，

A，B兩點(diǎn)球面距離為。

  例4. 畫出幾何體的三視圖

點(diǎn)撥：按照三視圖畫法要求，按順序畫即可。

解析：

  例5. 已知一個(gè)正三棱臺的兩底面邊長分別為30cm和20cm，且其側(cè)面積等于兩底面面積之和，求棱臺的高。

點(diǎn)撥：求棱臺的側(cè)面積要注意利用公式及正棱臺中的特征——直角梯形，轉(zhuǎn)化為平面問題來求解所需幾何元素。

解析：如圖所示，正三棱臺中為兩底面中心，為BC和中點(diǎn)，則為棱臺的斜高。

設(shè)，則

，

由得

棱臺的高為。

  例6. 在球心同側(cè)有相距9cm的兩個(gè)平行截面，它們的面積分別為，求球的表面積。

點(diǎn)撥：要求出球的表面積，求出半徑即可，利用題中所給截面，結(jié)合圖形和直角三角形中相關(guān)關(guān)系求出即可。

解析：如圖，作出球的軸截面，由截面性質(zhì)知

為兩截面圓的圓心，且，設(shè)球的半徑為R

在中，

                   ①

在中，

             ②

聯(lián)立①②可得，

，

故球的表面積為。

  例7. 已知六棱錐，其中底面為正六邊形，點(diǎn)P在底面投影為正六邊形中心，底面邊長為2cm，側(cè)棱長為3cm，求六棱錐的體積。

點(diǎn)撥：由已知條件可以判斷六棱錐為正六棱錐，要求其體積，求出高即可。

解析：如圖，O為正六邊形中心，則PO為六棱錐的高，G為CD中點(diǎn)，則PG為六棱錐的斜高，由已知得：，則

即六棱錐。

  例8. 一種空心鋼球的質(zhì)量為142g，外徑5.0cm，求它的內(nèi)徑。（鋼的密度為）

點(diǎn)撥：空心鋼球的質(zhì)量可看作一大一小兩球的質(zhì)量之差，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為它們的體積之差，再作求解。

解析：設(shè)空心鋼球內(nèi)徑為2x cm，那么鋼球的質(zhì)量為

空心鋼球的內(nèi)徑約為。

【模擬試題】

  1. A、B為球面上相異的兩點(diǎn)，通過A、B兩點(diǎn)可作的大圓個(gè)數(shù)為（    ）

A. 只能作一個(gè)                          B. 可以作無數(shù)個(gè)

C. 一個(gè)沒有                              D. 一個(gè)或無數(shù)個(gè)

  2. 兩條不相交直線在一平面內(nèi)的平行投影為（    ）

A. 兩條相交直線                       B. 兩條平行直線

C. 一直線和一點(diǎn)                       D. 以上都有可能

  3. 邊長為12的正三角形的直觀圖的面積為（    ）

A.                B.                      C.                      D.

  4. 側(cè)棱長為1的正四棱錐，若底面周長為4，則這個(gè)棱錐的側(cè)面積為（    ）

A. 5               B.                   C.                    D.

  5. 軸截面為正方形的圓柱側(cè)面積為S，那么圓柱的體積為（    ）

A.                     B.               C.                      D.

  6. 體積為的圓臺，一個(gè)底面面積是另一個(gè)底面面積的9倍，那么截得這個(gè)圓臺的圓錐的體積為（    ）

A.                    B.            C.                    D.

  7. 若一個(gè)球的大圓面積擴(kuò)大為原來的2倍，則它的體積擴(kuò)大為原來的（    ）

A. 8倍           B. 4倍                  C. 倍                   D. 2倍

  8. 用小正方體搭成一個(gè)幾何體，下圖為它的主視圖和左視圖，搭成這個(gè)幾何體的小正方體的個(gè)數(shù)最多為_________個(gè)。

  9. 用一個(gè)平面去截球面，截得小圓面積是其大圓面積的，則球心到截面的距離為_________。

  10. 已知正四棱錐底面正方形的邊長為4cm，高與斜高的夾角為30°，則斜高為________，側(cè)面積________，全面積________。

  11. 一個(gè)圓錐的側(cè)面積是其底面積的2倍，則該圓錐的母線與底面所成角為________。

  12. 圖中是截去一角的長方體，畫出它的三視圖。

  13. 用兩平行平面去截半徑為R的球面，兩個(gè)截面半徑，兩截面間的距離，求球面的表面積。

  14. 頂點(diǎn)為P的圓錐容器倒立，它的軸截面為正三角形，在這個(gè)容器中注入水，并且放入一個(gè)半徑為r的球，這時(shí)水面恰與球面相切，問將球從水中取出后，圓錐內(nèi)水平面多高？

【試題答案】

1、D               2、D            3、A            4、B            5、A 

6、A                7、C            8、7  

9、        10、4cm，32cm²,，48cm²      11、60°

  12、

  13、解析：當(dāng)兩截面位于球心同側(cè)時(shí)，球的軸截面如圖，分別為兩截面圓的圓心。

則，

由已知可得：

在                 ①

在       ②

由①②可得，又因?yàn)?/span>，

故兩截面應(yīng)位于球心兩側(cè)

此時(shí)再作截面如圖示，為兩截面圓的圓心。

則，由已知得

設(shè)，則，

在中，             ③

在中，    ④

由③④得，球的表面積為。

  14、