博主按：本文發(fā)表于善科網(wǎng)，今稍作修改，移至本博客。

我們在中學(xué)和大學(xué)時代涉及的很多數(shù)學(xué)內(nèi)容都與方程（組）有關(guān)。解方程就像猜謎語。方程告訴你謎面，你則需要自己動腦筋尋求謎底--也就是求方程的解。遺憾的是，很多時候，我們根本無法確切地知道謎底。 在這種情況下，人們可以退而求其次，先判斷方程是否有解。

一、求解的范圍

在判斷方程有無解之前，我們首先要明確自己求解的范圍，否則這樣的討論是沒有意義的。因為對于同樣的方程，在不同的求解范圍內(nèi)，上述問題的答案可以不一樣。這就好比每條謎語后面都要說明是猜什么東西。比如考慮方程

2x=1.

它在有理數(shù)范圍內(nèi)有解  x=1/2, 但是在整數(shù)范圍內(nèi)沒有解 （因為1/2不是整數(shù)）。類似地，

二次方程

x²+x+1=0

在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)沒有解，但是在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)卻有兩個不同解。

從歷史的角度看，人類對于方程求解范圍的限定是有一個逐步擴(kuò)展的過程的?？赡芤婚_始人們主要關(guān)心方程的整數(shù)解和有理數(shù)解。初等數(shù)論中的不定方程主要就是討論這類范圍內(nèi)的求解。通常來說，求方程的整數(shù)解和有理數(shù)解是很困難的，比如著名的費(fèi)馬猜想

Xⁿ+Yⁿ=Zⁿ,  n>2

斷言該方程沒有正整數(shù)解(X,Y,Z).

這個猜想被很多人--諸如歐拉、高斯等--討論過，最后由外爾斯于1995年前后利用高深的數(shù)學(xué)工具和技巧才得以解決。以后我們將介紹一下這方面的有趣話題。

隨著歷史發(fā)展，求解的范圍被允許擴(kuò)展到實(shí)數(shù)。 這得歸功于畢達(dá)哥拉斯學(xué)派，他們很早發(fā)現(xiàn)了√2 是無理數(shù)的事實(shí)。這個重要的發(fā)現(xiàn)顯然對當(dāng)時普遍的哲學(xué)觀點(diǎn)構(gòu)成了致命的沖擊。

此后人們可以更從容地討論一個實(shí)系數(shù)多項式方程

xⁿ+a_n-1x^n-1+a_n-2x^n-2+...+a₁x+a₀=0

的求解問題。遺憾的是，這樣的方程有可能沒有實(shí)數(shù)解。 比如解二次方程（即n=2) 時， 如果遇到判別式小于0， 方程沒有實(shí)根，只有兩個虛根。以前人們采取的策略就是將這樣的虛根簡單地拋棄掉--這種令人擔(dān)憂的做法或許在今天的中學(xué)里仍被采用， 因為當(dāng)時的人無法坦然接受復(fù)數(shù)的概念。

現(xiàn)在我們已經(jīng)知道，復(fù)數(shù)可以看成平面上的點(diǎn)或者平面上的向量。

有人試圖從這類實(shí)現(xiàn)方式中去探尋更一般的“超復(fù)數(shù)”（比如格拉斯曼），

這就是后來我們大學(xué)里學(xué)到的n維向量空間理論的起源之一。

美中不足的是，高維向量一般沒有實(shí)數(shù)或復(fù)數(shù)那樣自然的乘法運(yùn)算。 也有人用其他方式去構(gòu)造更一般的“數(shù)”，比如哈密爾頓構(gòu)造了四元數(shù)。然而這樣的數(shù)無法滿足乘法交換律。

在人們接受了復(fù)數(shù)之后， 方程的求解限制再一次被大大放寬。高斯證明了如下著名的結(jié)論---稱為高斯代數(shù)學(xué)基本定理：

“復(fù)系數(shù)多項式方程

xⁿ+a_n-1x^n-1+a_n-2x^n-2+...+a₁x+a₀=0

恰好有n個復(fù)數(shù)根 (這里允許有重根)?！?

這個結(jié)論告訴你很多事情。比如， 你無法指望通過對復(fù)數(shù)開根來得到“超復(fù)數(shù)”--超越復(fù)數(shù)范圍的新“數(shù)”。從這個意義上說， 復(fù)數(shù)集合--稱為復(fù)數(shù)域--是最大的數(shù)系了。復(fù)數(shù)域的這種性質(zhì)叫做代數(shù)封閉性。

這里說一些題外話。 代數(shù)學(xué)基本定理并不是高斯第一個發(fā)現(xiàn)的。達(dá)朗貝爾在此之前就知道這個結(jié)論，但是沒有給出正確嚴(yán)格的證明。

代數(shù)學(xué)基本定理有很多不同的證明，但是這些證明都不是純代數(shù)的！事實(shí)上，這個定理本質(zhì)上是拓?fù)涞模ㄒ簿褪钦f它由某些幾何性質(zhì)所決定）。

方程求解的范圍也可以朝著其他不同的方向發(fā)展。比如對于數(shù)論中的一些不定方程，人們可以引進(jìn)所謂的 p-adic 數(shù)來擴(kuò)大求解范圍。 這里我們不再展開。

二、如何判斷單變量多項式方程有解？

我們還是先考慮

多項式方程

xⁿ+a_n-1x^n-1+a_n-2x^n-2+...+a₁x+a₀=0  (*)

的解。 如果我們是在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)討論它，那么高斯代數(shù)學(xué)基本定理已經(jīng)告訴了你存在n個解--盡管你還是求出不解?，F(xiàn)在我們暫時把目光集中在實(shí)數(shù)解上。

對于次數(shù)不超過4的方程， 人們可以尋求精確的求解公式來了解有多少解是實(shí)根。但是對于次數(shù)大于4的方程，問題就來了。 阿貝爾和伽羅華兩位天才的工作告訴人們，一般說來此時的方程沒有求根公式。

找不到精確的根，不代表我們無法判斷根的存在性。數(shù)學(xué)的一大魅力在于，我們可以通過某些間接的方式來證明某些東西是存在的--稱為存在性證明。 比如利用連續(xù)函數(shù)的介值定理，人們可以輕松斷言“上面的方程的次數(shù)n如果是奇數(shù)的話，則必有一個實(shí)根存在。 ”這個結(jié)論完全不能幫助你找到精確的實(shí)根，但是卻奇妙地確認(rèn)了實(shí)根的存在性！

順便說一下， 利用這個結(jié)論，人們可以證明高斯代數(shù)學(xué)基本定理。前面我們說，高斯這個定理不可能是純代數(shù)的。在這個證明中， 非代數(shù)的部分就是上面的介值定理--它實(shí)際上是拓?fù)涞摹?/p>

研究方程 (*)的實(shí)根往往是很困難的。 比如在一個給定區(qū)間內(nèi)，是否存在實(shí)根？有多少實(shí)根？等等。 數(shù)學(xué)家斯圖謨給出了一種很漂亮的方法，可以確定實(shí)系數(shù)方程(*)在給定區(qū)間內(nèi)的實(shí)根個數(shù)。 有興趣的讀者可以去了解一下（比如下圖的書）。

三、如何判斷二元多項式方程有解？

現(xiàn)在我們可以考慮兩個變量的方程

f(x,y)=0.

這里 f 是關(guān)于 x,y 的多項式。

如果你在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)求解 (x,y), 你會得到無數(shù)的解！

這是因為你任取一個復(fù)數(shù) yy, 上面的方程是關(guān)于 xx 的一個單變量多項式方程。高斯代數(shù)學(xué)基本定理告訴你這樣的x總是存在。

這樣的解(x,y)在復(fù)數(shù)坐標(biāo)系下構(gòu)成的集合是一個幾何圖形--叫做“代數(shù)曲線”。根據(jù)上一篇文章的討論， 這個“代數(shù)曲線”其實(shí)是實(shí)四維空間中的一個曲面。我們之所以把它叫曲線，只是因為我們習(xí)慣上把它類比成該方程在實(shí)坐標(biāo)平面上所描繪的曲線。

代數(shù)曲線是代數(shù)幾何中最基本的幾何對象。如果你們把它想象稱四維空間中的曲面，那么它們的形狀基本上就是氣球或者帶有若干個“洞眼”的救生圈。

以后我們將專門介紹它們，比如其中最著名的三次曲線

y²=x³+ax+b.

假如我們把求解放在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)呢？ 那么問題將變得極其復(fù)雜?？赡芊匠虝]有實(shí)數(shù)解，例如

x²+y²+1=0.

也可能僅有一個解, 例如

x²+y²=0

僅有實(shí)數(shù)解(x,y)=(0,0).  

當(dāng)然，方程的也可能有無窮多個實(shí)數(shù)解，這些解描繪了平面上的若條曲線分支。這些曲線分支中，有一些是閉合的--就是說自己圍成一個圈，有一些不閉合。一個有趣且非常困難的問題是“到底有多少個閉合的曲線分支”？關(guān)于這方面的研究只有零星的結(jié)果。

如果我們再縮小解的范圍到有理數(shù)上呢？這就差不多是數(shù)論所關(guān)心的范疇了。問題的困難程度也進(jìn)一步上升。一個有趣的初等結(jié)論是“一次和二次有理系數(shù)方程 f(x,y)=0 有無窮多個有理數(shù)解?！?/p>

我們甚至可以精確求出這些解。

比如, 單位圓周

x²+y²=1

的所有有理解可以表述為

x= 2t/（1+t²）,  y=（1-t^2）/（1+t^2）, t∈Q∪∞

這個通解實(shí)際上是從解析幾何初等方法推出來的，并沒有用到太多數(shù)論知識。

利用這個結(jié)果，你可以很容易得到勾股方程

X²+Y²=Z² 

的全部整數(shù)解(X,Y,Z). 我們以后會在另一文章中介紹。

對于三次方程

y²=x³+ax+b,  a,b∈ Q,

求解有理數(shù)解是個讓人非常著迷的問題。費(fèi)馬很早就關(guān)心過這類問題。我們現(xiàn)在知道的同余數(shù)問題、費(fèi)馬猜想、BSD猜想等等難題都與此有關(guān)。

此時，這些有理數(shù)解構(gòu)成的集合上可以引入一種類似“加減法”的運(yùn)算，它們滿足常見的交換律、結(jié)合律等。因此你可以通過相“加”兩個有理解得到第三個有理解（允許相同）。莫代爾的著名定理告訴你：你可以尋找有限個有理數(shù)解，它們通過加加減減就能得到所有的有理數(shù)解。關(guān)于這方面還有許多有趣的性質(zhì)，我們以后再詳細(xì)介紹。

一般說來，很多三次有理系數(shù)方程會有無窮多個有理數(shù)解，當(dāng)然也有一些只有有限個有理解。如何判斷有多少解是很難的問題。對于更高次的有理系數(shù)方程來說，有個著名的定理顯示，只要這個方程描述的代數(shù)曲線滿足一定的幾何條件，它就最多只有有限個有理數(shù)解。限于篇幅，我們這里不再展開。

最后我們把求解范圍限制到整數(shù)上。這基本上已經(jīng)達(dá)到了數(shù)論問題的困難極限了。 一般說來，沒有什么固定的方法可以讓你有效判斷方程有無整數(shù)解。 除非一些特殊情形。 比如初等數(shù)論里研究的佩爾方程

x²-d y²=1

或者二次剩余問題

x²-py=q

它們的方程分別對應(yīng)平面上的雙曲線和拋物線。 佩爾方程的經(jīng)典求解方法是使用連分?jǐn)?shù)，二次剩余問題則涉及到經(jīng)典數(shù)論中最出色的理論--高斯二次互反律。以后我們將會討論這些有趣的話題。

上面的這些討論也可以推廣到多元多項式情形。這樣的方程會在高維空間中描述一個幾何圖形，通常稱為超曲面。這也是代數(shù)幾何研究的主要對象之一。

四、如何判斷二元多項式方程組有解？

假如我們關(guān)心方程組

f(x,y) =0，

g(x,y) =0.

的復(fù)數(shù)解，又會出現(xiàn)一系列有趣的問題(f,g是多項式, 沒有公因子)。

通過一些多項式的加減乘除，我們可以把x消掉， 從而得到一個關(guān)于

y的多項式（里面不出現(xiàn)x）--稱為結(jié)式. 原始方程的解顯然也滿足y的這個方程。根據(jù)高斯代數(shù)學(xué)基本定理，這樣的y至多只有有限個。同樣地，我們也可以類似說明x最多只有有限個，因此原始方程組的解只有有限個。 幾何上看，這兩個方程分別描述了兩條平面曲線，而兩條曲線通常只能相交有限個點(diǎn)。有個貝祖定理說，這樣兩條曲線的交點(diǎn)個數(shù)恰好就是兩個多項式的次數(shù)之積deg f ·deg g.

如果我們稍稍改變一下上面的方程組, 考慮

f(x,y) =u，

g(x,y) =v.

u,v是參數(shù)。 利用隱函數(shù)定理，我們可以得到它的一組參數(shù)解

x =φ₁(u,v)，

y =φ₂(u,v).

一個有趣的問題是：什么時候 φ_1，φ₂會是u,v的多項式？這就引出了著名的雅可比猜想:

φ_1，φ₂是多項式的充分必要條件是如下的雅克比行列式是非零常數(shù)！

這個猜想也有更一般的形式。但即使是上述二元情形也未得到證明。張益唐曾經(jīng)也考慮過這個問題，可惜沒有成功。

五、如何判斷多元多項式方程組有無解？

一般形式的方程組如下：

f₁(x₁,x₂,...,x_n)=0，

f₂(x₁,x₂,...,x_n)=0，

..................

f_r(x₁,x₂,...,x_n)=0

這個方程組有n個復(fù)數(shù)變量 x₁,...,x_n. 它的解集是高維空間中的幾何圖形--叫做代數(shù)簇。這就是代數(shù)幾何要研究的東西。

根據(jù)前面二元方程組的討論，你肯定會想到，如何通過消元，來逐步降低方程中的變量個數(shù)。當(dāng)然這個計算量是很大的。 我們只關(guān)心如何判斷有沒有解的問題。

希爾伯特給出了如下著名的定理--稱為希爾伯特零點(diǎn)定理：

上述方程組不存在解的充分必要條件是：你可以找到一些多項式 a₁,...,a_r, 使得

a₁f₁+a₂f₂+...+a_rf_r=1.

這個定理看上去好像不具有可操作性，即無法實(shí)際判斷那樣的 a_i 是否存在。其實(shí)不然，因為有研究發(fā)現(xiàn)，可以讓那些 a_i 的次數(shù)控制在一個具體的范圍之內(nèi)。這樣，你只要用待定系數(shù)法，就能判斷它們是否存在了--這個工作顯然可以交給計算機(jī)去執(zhí)行。

希爾伯特定理可以說是代數(shù)幾何最基本的定理之一。它的一個特殊情形，其實(shí)

早在大學(xué)時代所學(xué)的高等代數(shù)出現(xiàn)過了：那就是線性方程組是否有解的判定條件。