代數(shù)與代數(shù)基本定理的歷史

1.關(guān)于代數(shù)的故事

在十九世紀(jì)以前，代數(shù)被理解為關(guān)于方程的科學(xué)。十九世紀(jì)，法國(guó)數(shù)學(xué)家伽羅華（Evaristr Galois）開(kāi)創(chuàng)群論以后，代數(shù)不再以方程為中心，而是以各種代數(shù)結(jié)構(gòu)為中心。作為中學(xué)數(shù)學(xué)課程的代數(shù)，其中心內(nèi)容就是方程理論。

代數(shù)的發(fā)展是和方程分不開(kāi)的。代數(shù)對(duì)于算術(shù)來(lái)說(shuō)，是一個(gè)巨大的進(jìn)步，代數(shù)和算術(shù)的主要區(qū)別說(shuō)在于前者引入了未知量，根據(jù)問(wèn)題的條件列同方程，然后解方程求出未知量，我們舉一個(gè)例子：一個(gè)乘以3，再除以5，等于60，求這個(gè)數(shù)。

算術(shù)求法（公元1200年左右伊斯蘭教的數(shù)學(xué)家們就是這樣解的：

既然這個(gè)數(shù)的3/5是60，

那么它的1/5就是20

一個(gè)數(shù)的1/5是20

那么這個(gè)數(shù)是20的5倍，即100。

代數(shù)解法：設(shè)某數(shù)為x ，則

可見(jiàn)代數(shù)解法與算術(shù)思路不同。各有自己的一套規(guī)則，代數(shù)解法比較簡(jiǎn)單明了。

古埃及人、巴比倫人在一些實(shí)際計(jì)算問(wèn)題已使用過(guò)代數(shù)的方法。據(jù)說(shuō)，1858年蘇格蘭有一位古董收藏家蘭德在非洲的尼羅河邊買(mǎi)了一卷公元前1600年左右遺留下來(lái)的古埃及的紙莎草卷，他驚奇地發(fā)現(xiàn)，這卷草卷中有一些含有未知數(shù)的數(shù)學(xué)問(wèn)題（當(dāng)然都是用象形文字表示的）。例如有一個(gè)問(wèn)題翻譯成數(shù)學(xué)語(yǔ)言是：

“啊哈，它的全部，它的1/7，其和等于19?！?/SPAN>

如果用x表示這個(gè)問(wèn)題中的求知數(shù)，就得到方程，解這個(gè)方程，得到。令人驚奇的是，雖然古埃及人沒(méi)有我們今天所使用的方程的表示和解法，卻成功得到解決了這個(gè)答數(shù)。

我國(guó)古代的代數(shù)研究在世界上一直處于領(lǐng)先地位，在經(jīng)典數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中，除了方程外，還有開(kāi)平方、開(kāi)立方、正負(fù)數(shù)的不同表示法和正負(fù)數(shù)的加減法則等代數(shù)的最基本問(wèn)題，到宋、元時(shí)代，我國(guó)對(duì)代數(shù)的研究達(dá)到了高峰。賈憲等的高次方程數(shù)值解方法，秦九韶的聯(lián)立一次同余式解法，李治的列方程一般方法，朱世杰的多元高次方程組解法，及其有限級(jí)數(shù)求和的“招差法公式”，都早于歐洲幾百年。

“代數(shù)學(xué)”這個(gè)名稱，在我國(guó)是1859年正式開(kāi)始使用的，來(lái)自拉丁文（Algebra），它又是從阿拉伯文變來(lái)的，其中有一段曲折的歷史。

公元825年左右，花拉子模的數(shù)學(xué)家阿爾——花拉子模寫(xiě)了一本書(shū)《Kitabaljabr-W’al-mugabala》意思是“整理”和“對(duì)比”，這本書(shū)的阿拉伯文版已經(jīng)失傳，但12世紀(jì)的一冊(cè)拉丁文譯本卻流傳到今，在這個(gè)譯本中，把“aljabr”譯成拉丁語(yǔ)“Aljebra”,并作為一門(mén)學(xué)科，它的課題最首要的就是用字母表示的式子的變形和解方程的規(guī)則方程。

我國(guó)清代數(shù)學(xué)李善蘭，1859年編譯西方代數(shù)時(shí)，把“Algebra”譯成了“代數(shù)學(xué)”。從些，“代數(shù)”這個(gè)名詞便一直在我國(guó)沒(méi)用下來(lái)。

2.代數(shù)基本定理

任何n（n>0）次多項(xiàng)式在復(fù)數(shù)域中至少有一個(gè)根。

一元一次方程有且只有一個(gè)根，一元二次方程在復(fù)數(shù)域中有且只有兩個(gè)根，因此，人們自然研究一元n次方程在復(fù)數(shù)域中有幾個(gè)根。此外，當(dāng)初的積分運(yùn)算中采用部分分式法也引起了與此有關(guān)的問(wèn)題：是不是任何一個(gè)實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式都能分解成一次因式的積，或分解成實(shí)系數(shù)的一次因式和二次因式的積？這樣的分解，關(guān)鍵證明代數(shù)基本定理。

代數(shù)基本定理的第一個(gè)證明是法國(guó)數(shù)學(xué)家達(dá)朗貝爾給出的，但他的證明是首先默認(rèn)了數(shù)學(xué)分析中一條明顯的引理：定義在有限閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)一定在某一點(diǎn)取得最小值，而這個(gè)引理在達(dá)朗貝爾的研究100年以后才得到證明。接著，歐拉也給出了一個(gè)證明，但有缺陷，拉格朗日于1772年又重新證明了代數(shù)基本定理，后經(jīng)高斯分析，發(fā)現(xiàn)他的證法中把實(shí)數(shù)的尚未證明其真實(shí)性的各種性質(zhì)應(yīng)用了，所以該證明仍然是很不嚴(yán)格的。

1799年，高斯在他的博士論文中第一個(gè)嚴(yán)格證明了代數(shù)基本定理，其基本思路如下：設(shè)f (z)為n次實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式，記z = x + yi (x, y為實(shí)數(shù))，考察方程：f (x + yi) = u (x, y) + v (x, y)i = 0

即u (x, y) = 0與v (x, y) = 0分別表示oxy坐標(biāo)平面上的兩條曲線，于是通過(guò)對(duì)曲線作定性的研究，他證明了這兩條曲線必有一個(gè)交點(diǎn)，從而得出

u (a, b) = v (a, b) = 0

即f (a + bi) = 0，故此便是代數(shù)方程f (z)的一個(gè)根。這個(gè)論證具有高度的創(chuàng)造性，但從現(xiàn)代的標(biāo)準(zhǔn)來(lái)看，依然是不嚴(yán)格的，因?yàn)樗揽苛饲€的圖形，證明它們必然相交，而這些圖形是比較復(fù)雜的。

高斯后來(lái)又給出了另外三個(gè)證明方法，第二個(gè)證法中，不依靠幾何的論據(jù)，但是卻應(yīng)用了當(dāng)時(shí)未經(jīng)證明的命題：設(shè)多項(xiàng)式p (x) 在x的兩個(gè)不同的值之間沒(méi)有零點(diǎn)，則它在這兩個(gè)值處不可能改變符號(hào)。高斯在71歲時(shí)還公布了第四個(gè)證法，在這個(gè)證法中，他容許多項(xiàng)式的系數(shù)是復(fù)數(shù)。應(yīng)指出，在許多證法中，這個(gè)定理都不是在最一般的情況下證明的，都是假定了多項(xiàng)式中的文字系數(shù)表示實(shí)數(shù)，但整個(gè)定理卻包括復(fù)系數(shù)的情況。

復(fù)變函數(shù)論發(fā)展后，代數(shù)基本定理已作為其他定理的推論。代數(shù)基本定理在代數(shù)乃至整個(gè)數(shù)學(xué)中起著基礎(chǔ)作用。