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Matlab求解線性方程組 AX=B或XA=B 在MATLAB中，求解線性方程組時(shí)，主要采用前面章節(jié)介紹的除法運(yùn)算符“/”和“\”。如： X=A\B表示求矩陣方程AX＝B的解； X＝B/A表示矩陣方程XA=B的解。 對(duì)方程組X＝A\B，要求A和B用相同的行數(shù)，X和B有相同的列數(shù)，它的行數(shù)等于矩陣A的列數(shù)，方程X＝B/A同理。 如果矩陣A不是方陣，其維數(shù)是m×n，則有： m＝n 恰定方程，求解精確解； m>n 超定方程，尋求最小二乘解； m 針對(duì)不同的情況，MATLAB將采用不同的算法來求解。 一．恰定方程組 恰定方程組由n個(gè)未知數(shù)的n個(gè)方程構(gòu)成，方程有唯一的一組解，其一般形式可用矩陣，向量寫成如下形式： Ax=b 其中A是方陣，b是一個(gè)列向量； 在線性代數(shù)教科書中，最常用的方程組解法有： （1）利用cramer公式來求解法； （2）利用矩陣求逆解法，即x=A-1b； （3）利用gaussian消去法； （4）利用lu法求解。 一般來說，對(duì)維數(shù)不高，條件數(shù)不大的矩陣，上面四種解法所得的結(jié)果差別不大。前三種解法的真正意義是在其理論上，而不是實(shí)際的數(shù)值計(jì)算。MATLAB中，出于對(duì)算法穩(wěn)定性的考慮，行列式及逆的計(jì)算大都在lu分解的基礎(chǔ)上進(jìn)行。 在MATLAB中，求解這類方程組的命令十分簡(jiǎn)單，直接采用表達(dá)式：x=A\b。 在MATLAB的指令解釋器在確認(rèn)變量A非奇異后，就對(duì)它進(jìn)行l(wèi)u分解，并最終給出解x；若矩陣A的條件數(shù)很大，MATLAB會(huì)提醒用戶注意所得解的可靠性。 如果矩陣A是奇異的，則Ax=b的解不存在，或者存在但不唯一；如果矩陣A接近奇異時(shí)，MATLAB將給出警告信息；如果發(fā)現(xiàn)A是奇異的，則計(jì)算結(jié)果為inf，并且給出警告信息；如果矩陣A是病態(tài)矩陣，也會(huì)給出警告信息。 注意：在求解方程時(shí)，盡量不要用inv(A)*b命令，而應(yīng)采用A\b的解法。因?yàn)楹笳叩挠?jì)算速度比前者快、精度高，尤其當(dāng)矩陣A的維數(shù)比較大時(shí)。另外，除法命令的適用行較強(qiáng)，對(duì)于非方陣A，也能給出最小二乘解。 二．超定方程組 對(duì)于方程組Ax=b，A為n×m矩陣，如果A列滿秩，且n>m。則方程組沒有精確解，此時(shí)稱方程組為超定方程組。線性超定方程組經(jīng)常遇到的問題是數(shù)據(jù)的曲線擬合。對(duì)于超定方程，在MATLAB中，利用左除命令（x=A\b）來尋求它的最小二乘解；還可以用廣義逆來求，即x=pinv(A),所得的解不一定滿足Ax=b，x只是最小二乘意義上的解。左除的方法是建立在奇異值分解基礎(chǔ)之上，由此獲得的解最可靠；廣義逆法是建立在對(duì)原超定方程直接進(jìn)行householder變換的基礎(chǔ)上，其算法可靠性稍遜與奇異值求解，但速度較快； 【例7】 求解超定方程組 A=[2 -1 3;3 1 -5;4 -1 1;1 3 -13] A= 2 -1 3 3 1 -5 4 -1 1 1 3 -13 b＝[3 0 3 -6]’; rank(A) ans= 3 x1=A\b x1= 1.0000 2.0000 1.0000 x2=pinv(A)*b x2= 1.0000 2.0000 1.0000 A*x1-b ans= 1.0e-014 -0.0888 -0.0888 -0.1332 0 可見x1并不是方程Ax=b的精確解，用x2=pinv(A)*b所得的解與x1相同。 三．欠定方程組 欠定方程組未知量個(gè)數(shù)多于方程個(gè)數(shù)，但理論上有無(wú)窮個(gè)解。MATLAB將尋求一個(gè)基本解，其中最多只能有m個(gè)非零元素。特解由列主元qr分解求得。 【例8】 解欠定方程組 A＝[1 -2 1 1;1 -2 1 -1;1 -2 1 5] A= 1 -2 1 1 1 -2 1 -1 1 -2 1 -1 1 -2 1 5 b=[1 -1 5]’ x1=A\b Warning:Rank deficient,rank=2 tol=4.6151e-015 x1= 0 -0.0000 0 1.0000 x2=pinv(A)*b x2= 0 -0.0000 0.0000 1.0000 四．方程組的非負(fù)最小二乘解 在某些條件下，所求的線性方程組的解出現(xiàn)負(fù)數(shù)是沒有意義的。雖然方程組可以得到精確解，但卻不能取負(fù)值解。在這種情況下，其非負(fù)最小二乘解比方程的精確解更有意義。在MATLAB中，求非負(fù)最小二乘解常用函數(shù)nnls，其調(diào)用格式為： （1）X=nnls(A,b)返回方程Ax=b的最小二乘解，方程的求解過程被限制在x 的條件下； （2）X=nnls(A,b,TOL)指定誤差TOL來求解，TOL的默認(rèn)值為TOL=max(size(A))*norm(A,1)*eps，矩陣的－1范數(shù)越大，求解的誤差越大； （3）[X,W]=nnls(A,b) 當(dāng)x(i)=0時(shí)，w(i)<0；當(dāng)下x(i)>0時(shí)，w(i)0,同時(shí)返回一個(gè)雙向量w。 【例9】求方程組的非負(fù)最小二乘解 A=[3.4336 -0.5238 0.6710 -0.5238 3.2833 -0.7302 0.6710 -0.7302 4.0261]; b=[-1.000 1.5000 2.5000]; [X,W]=nnls(A,b) X= 0 0.6563 0.6998 W= -3.6820 -0.0000 -0.0000 x1=A\b x1= -0.3569 0.5744 0.7846 A*X-b ans= 1.1258 0.1437 -0.1616 A*x1-b ans= 1.0e-0.15 -0.2220 0.4441 0 |
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