作者：蔡聰明

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泰勒展式 (Taylor expansion) 的剩余項(xiàng)救人一命！

在俄國(guó)革命期間（1917年左右），數(shù)學(xué)物理學(xué)家塔姆 (Igor Tamm) 外出找食物，在靠近敖德薩 (Odessa) 的鄉(xiāng)間被反共產(chǎn)主義的保安人員逮捕。保安人員懷疑他是反烏克蘭的共產(chǎn)主義者，于是把他帶回總部。

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• 頭目問(wèn)：你是做什么的？

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• 塔姆：我是一位數(shù)學(xué)家。

頭目心存懷疑，拿著槍，手指扣著扳機(jī)，對(duì)準(zhǔn)他。手榴彈也在他的面前晃動(dòng)。

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• 頭目說(shuō)：好吧，那么一個(gè)函數(shù)作泰勒展開(kāi)到第 n 項(xiàng)之后，你就把誤差項(xiàng)算出來(lái)。如果你算對(duì)了，就放你一條生路，否則就立刻槍斃。

于是塔姆手指發(fā)抖，戰(zhàn)戰(zhàn)兢兢地慢慢計(jì)算，當(dāng)他完成時(shí)，頭目看過(guò)答案，揮手叫他趕快離開(kāi)。

塔姆在1958年獲得諾貝爾物理獎(jiǎng)，但是他從未再遇到或認(rèn)出這位非凡的頭目。

筆者講授微積分，每教到泰勒定理時(shí)，都要順便說(shuō)這個(gè)故事，讓學(xué)生警惕一番。

泰勒展開(kāi)定理就是要利用微分與積分工具，來(lái)剖析函數(shù)的結(jié)構(gòu)。

假設(shè)函數(shù) f 定義在開(kāi)區(qū)間 (a,b) 上，并且 ，當(dāng)我們知道 f 的資訊越多，對(duì)f 的剖析就越精細(xì)。

這個(gè)資訊包括兩方面，一個(gè)是 f 的可微分的階數(shù)逐漸提高，這是一種泛泛的條件；另一個(gè)是 f 在一點(diǎn) c 的各階微分系數(shù)的階數(shù)也不斷增加，這是在一點(diǎn)（局部）的資訊之逐漸加深。

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• (i) 若 f 為一階連續(xù)可微分，并已知 f(c) 之值，那么由微積分根本定理的 Newton-Leibniz 公式知 
  

  

  亦即 f(x) 可以剖析為清楚的 f(c) 與尚未完全清楚的  兩項(xiàng)之和。

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• (ii) 若 f 為二階連續(xù)可微分，并且已知 f(c) 與 f'(c) 的值，那么由(1)式與分部積分公式得知 
  

  

  從而 
  

  

  亦即 f(x) 可以剖析為清楚的一次多項(xiàng)式 f(c)+f'(c)(x-c) 與尚未完全清楚的。

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• (iii) 若 f 為三階連續(xù)可微分，并且已知f(c), f'(c) 與 f''(c) 之值，那么由(2)式與分部積分公式得知 
  

  

  從而 
  

  

  亦即 f(x) 可以剖析成清楚的二次多項(xiàng)式 
  

  

  與尚未完全清楚的剩余項(xiàng) 
  

  

  利用積分的平均值定理，(5)式又可以寫(xiě)成 
  

  

  我們稱 P2(x) 為二階泰勒多項(xiàng)式。

按上述要領(lǐng)，繼續(xù)做下去（數(shù)學(xué)歸納法），我們就得到如下美麗的泰勒展開(kāi)定理。

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• 泰勒展開(kāi)定理（1715年）：

• 設(shè)函數(shù) f 在區(qū)間 (a,b) 上具有 n+1 階連續(xù)地可微分，，則對(duì)任意 ，f(x) 可以展開(kāi)成 
  

  

  其中的剩余項(xiàng)（或誤差項(xiàng)）Rn+1(x) 可以表成微分形式或積分形式： 
  

  

  其中 ξ 介于 c 與 x 之間，或 
  

  

  
  

注：泰勒（B. Taylor, 1685～1731）是牛頓的學(xué)生，具有相當(dāng)?shù)囊魳?lè)與藝術(shù)才華。他為了探求音律之謎，首開(kāi)其端用微積分來(lái)研究弦振動(dòng)問(wèn)題（1713年），約一個(gè)世紀(jì)之后，富立葉（Fourier）分析出現(xiàn)才達(dá)于高潮（1807年）。泰勒也研究投影畫(huà)法的幾何學(xué)，其美術(shù)作品至今仍然被珍藏于倫敦的國(guó)家畫(huà)廊（the National Gallery）之中。