微積分其實很簡單！

只有理解，才會應用！

本專欄將和您一起，從最通俗易懂的角度，用最易于理解的方法，真正內化吸收微積分的核心概念與算法，幫您輕松掌握與應用！

精要復習

上節(jié)課我們講了導數(shù)與微分。

導數(shù)的“導”，可以理解為“方向”之意。

方向決定了函數(shù)的運行，所以“導數(shù)”是函數(shù)的原因，函數(shù)是“導數(shù)”的結果。

數(shù)學即哲學，世界是存在因果關系的，因果關系即為導數(shù)與原函數(shù)的關系。

導數(shù)的MATLAB求解，很簡單：

最后介紹了導數(shù)的親兄弟——微分。

微分是增量的線性主部。

先思考一個問題

計算器或計算機怎么計算“正弦函數(shù)”？

總不能查表吧？即使有表，那請問表又是怎么得到的呢？

這個問題的本質是，sin函數(shù)是人為定義的一個三角函數(shù)，它表面上并由“可直接計算”的函數(shù)組成，sin這個表示是一個堅硬的外殼，那怎么辦？

泰勒展開公式的誕生，完美解決了這個問題，它把這一類函數(shù)的堅硬外殼徹底擊碎，讓所有看起來無從下手的函數(shù)，全都變成了——多項式。

泰勒展開公式初探

先看看泰勒公式長什么樣吧：

形式很多，這種容易記憶和理解

觀察公式形式我們發(fā)現(xiàn)：

• 一個函數(shù)，無論它是什么“殼”，都可以分解為多項式的形式；
• 分解有個基礎位置，就是x0的位置；
• 多項式有多少項呢？無窮多項，項越多，就越接近原函數(shù)；
• 每一項的作用，要被n!削弱，所以n越大，被削弱得就越厲害。

如果是第一次學，看不太懂很正常，先不急理解上面的結論，先看下面這個實際的例子吧——

泰勒展開公式就是“多項式仿真”

還是上面的問題，怎么把sin(x)化成一個多項式的形式？

咱們在x0=0的位置按泰勒展開分解，可以自己動筆算算，結果為：

計算機就是這樣計算正弦函數(shù)的

為什么沒有n=2 4 6這些項？動筆的同學肯定知道，因為這些項的導數(shù)為0，消去了。

硬殼已擊碎，下面咱們利用MATLAB畫畫，直觀感受一下。

先只取第一項，先比較一下 sin(x) 與 x：

發(fā)現(xiàn)其實在0點附近，兩個函數(shù)還是很像的，由其兩者在0點的斜率幾乎相同。

這也是為什么老師教我們，當x很小時，sin(x)可以用x的值去代替。

繼續(xù)再加一項：

哎呀，重疊的區(qū)域更大了。其實，當項數(shù)越來越多，兩個函數(shù)就越來越像！

再加一項：

再加一項：

越多項，越像！

文章最后會附上MATLAB源碼，感興趣可以自己試一試。

所以說，泰勒展開公式，是對展開點附近的函數(shù)，進行的一個“多項式仿真”。

仿真，就一定有誤差，泰勒公式的仿真誤差怎么樣呢？

可控的多項式仿真誤差

泰勒公式有無窮多項，但我們不可能計算出無窮多項，所以泰勒公式的另一種表達：

我們把從n+1往后所有的項給打包了，稱為R，課本上叫它“佩亞諾型余項”，說實話時間一長我也記不住這個外國名，所以我一直習慣叫它“誤差項”，還易于理解含義。

意思就是說，如果我只計算到n階導數(shù)項，那么誤差就是Rn了。

更絕的是，這個Rn被證明是x^n的高階無窮小，關于高階無窮小的概念我們以后會講，這里理解為Rn起到的作用，一定比前面那些項的作用小，即可。

所以，我們要仿真一個“帶硬殼”的函數(shù)，只要使用泰勒展開取有限幾項，并保證誤差在可接受的范圍內，不就行了么？

所以說，泰勒展開公式是一個誤差可控的多項式仿真。

直觀理解泰勒展開

首先，我們先嘗試理解最基本的2項多項式：

幾何表達：

即，x 處的函數(shù)值，約等于 x0 處的函數(shù)值，再加上由導數(shù)引起的變化量。

上節(jié)課我們理解了，導數(shù)即原因，所以我們可以這樣理解上式：

對未來的仿真計算

結果=現(xiàn)狀+原因x時間。

由于原因（導數(shù)）是當前的原因，所以仿真預測的結果肯定不完全準確，不過，只要時間足夠短，仿真結果就足夠準確啦。

這也印象了我們上節(jié)的理解，“導數(shù)”是函數(shù)的原因，函數(shù)是“導數(shù)”的結果。

直觀理解多項泰勒展開

還不止如此哦，泰勒展開還有好多項呢！