“直覺”(Intuition)一詞實(shí)際上有許多種用法。有時(shí)它指感性直觀，即可見的，靠感官可直接把握的東西；有時(shí)它指非邏輯的，力圖直接領(lǐng)悟事物本質(zhì)的思考。直覺有時(shí)意味著不夠嚴(yán)格，不完全；有時(shí)意味著對(duì)現(xiàn)實(shí)原型的信賴，意味著一種籠統(tǒng)的、綜合性的整體判斷。還有些時(shí)候，直覺只是被理解為“頓悟”，理解為靈感的閃現(xiàn)。這個(gè)詞的用法如此之多，以至于我們不得不明確指在我們的理解。 
    

在這里，我們認(rèn)為直覺指的是對(duì)事物本質(zhì)的直接領(lǐng)悟或洞察。數(shù)學(xué)直覺就是對(duì)于數(shù)學(xué)對(duì)象事物(結(jié)構(gòu)及其聯(lián)系)的某種直接領(lǐng)悟或洞察。這是一種不包含普通邏輯推理過程(但可能包含著“含情推理”形式)的直接悟性，屬于非形式邏輯的思維活動(dòng)范疇。直覺有時(shí)以“頓悟”的形式表現(xiàn)出來，但直覺不全是頓悟，有時(shí)直覺也以漸悟的形式表現(xiàn)出來。那么，“直覺”和我們前面討論的“想象”有何區(qū)別呢?為什么說較為復(fù)雜的想象已進(jìn)入了直覺領(lǐng)域呢?這就需要考察直覺思維的基本特點(diǎn)，從中看出這種思維形式與數(shù)學(xué)想象和數(shù)學(xué)猜測(cè)的區(qū)別與聯(lián)系。 
    

數(shù)學(xué)直覺思維總的說來有以下幾個(gè)基本特點(diǎn)： 
    

第一，非邏輯性。

數(shù)學(xué)直覺的產(chǎn)生是不能用普通形式邏輯的推演解釋清楚的。龐卡萊說：“搞算術(shù)，就如搞幾何，或搞任何別的科學(xué)，需要某種與純邏輯不同的東西。為了表述這個(gè)某種東西，我們沒有更好的字眼，只能用‘直覺’一詞”。就是說，直覺是“從事科學(xué)發(fā)現(xiàn)所需要的與純邏輯不同的某種東西”。為什么科學(xué)發(fā)現(xiàn)需要這種不同于純邏輯的東西呢?因?yàn)樵谔剿魑粗澜缫?guī)律的過程中，人們的主觀認(rèn)識(shí)同客觀規(guī)律之問需要經(jīng)過多次帶有很大偶然性的相互作用才能彼此相符，這中間有機(jī)遇，有潛在的經(jīng)驗(yàn)和技巧，有來自書本上或和別人談話中的啟示，有思維過程中“觀念原子”千變?nèi)f化的分離與組合。所有這些都不是用嚴(yán)格的形式邏輯推演能表達(dá)清楚的。能夠用邏輯語言描述的數(shù)學(xué)思維活動(dòng)，只是整個(gè)數(shù)學(xué)思維活動(dòng)中很小的一部分。數(shù)學(xué)的猜測(cè)和想象實(shí)際上已經(jīng)具有一定程度的非邏輯性，但總還保存某些邏輯思維成分。猜測(cè)和想象的形成與展開要部分借助邏輯思維提供的線索或框架。如果數(shù)學(xué)思維中非邏輯性極強(qiáng)，邏輯思維成分極弱，那就是我們所說的直覺思維了。我們前面說過，數(shù)學(xué)形象思維中的數(shù)覺和數(shù)學(xué)觀念的直覺已進(jìn)入直覺思維領(lǐng)域，就是這個(gè)意思。越是復(fù)雜的數(shù)學(xué)想象，越少邏輯性。在邏輯語言無能為力的地方，只能以“直覺”一言以蔽之。直覺看來很神秘，其實(shí)它不是人們創(chuàng)造性思維活動(dòng)的一個(gè)真實(shí)方面。 

第二，自發(fā)性。

數(shù)學(xué)直覺的產(chǎn)生往往是下意識(shí)的(或者說是無意識(shí)的)。它有時(shí)在朦朧中逐漸涌現(xiàn)，有時(shí)如閃電一般突然誕生。無論取漸悟還是頓悟的形式，都是事先未曾料到，不知不覺之中即已獲得。英國(guó)數(shù)學(xué)家哈密爾頓在回憶自己發(fā)現(xiàn)四元數(shù)的經(jīng)過時(shí)說到，當(dāng)他和他的妻子步行去都柏林途中來到勃洛翰橋上時(shí)，思想的電路突然接通了，從中落下的火花就是i、j、k之間的基本方程。龐卡萊也曾有過類似經(jīng)歷。他在進(jìn)行了一般數(shù)學(xué)研究之后去鄉(xiāng)間旅行，打算放松一下，不再去想工作了。他說：“我的腳剛踏上剎車板，突然想到一種設(shè)想……我用來定義富克斯函數(shù)的變換方法同非歐幾何的變換方法是完全一樣的?！边@種突如其來的直覺并不是憑空得來的，而是經(jīng)過長(zhǎng)時(shí)間苦心思索之后的產(chǎn)物。人們常稱這種直覺為“靈感”，其實(shí)，“靈感”是需要經(jīng)過充分醞釀的，是要經(jīng)過下意識(shí)的緊張活動(dòng)積累起思想基礎(chǔ)的，否則就不會(huì)有什么靈氣。為什么人們長(zhǎng)期鉆研而求之不得，一旦思想放松轉(zhuǎn)入下意識(shí)狀態(tài)，反而以直覺形式取得突破呢?因?yàn)檫^度的形式邏輯推演往往是限制人們思路的，使人們?cè)谂f理論的框架里兜圈子，找不到新思路。適當(dāng)?shù)姆潘墒顾悸房梢暂p松自由地舒展。雖然是在下意識(shí)狀態(tài)，卻容易接近正確的途徑，取得重大突破。當(dāng)然，直覺的自發(fā)性要同邏輯思維的自覺性相配合。如果事先沒有通過邏輯思維接近關(guān)鍵性觀念的邊緣，使人們有可能利用下意識(shí)取得突破，那么靈感或頓悟是永遠(yuǎn)不會(huì)出現(xiàn)的。 

第三，富于情感的作用。

這里所說的情感作用，指的是獲得直覺的激情和對(duì)直覺的強(qiáng)烈信念。在數(shù)學(xué)猜測(cè)與數(shù)學(xué)想象中，或多或少也有情感的作用。但在直覺思維過程中，情感作用得到了充分發(fā)揮，達(dá)到登峰造極的地步。一般說來，直覺的產(chǎn)生前后大體上有這樣一些情感變化。直覺產(chǎn)生之前，情緒躁動(dòng)不安，對(duì)某個(gè)問題長(zhǎng)時(shí)問思索而得不到解決，欲罷不能，欲進(jìn)無路，就很容易產(chǎn)生這種情緒。等到直覺出現(xiàn)時(shí)，令人十分驚喜，甚至感到有些神志恍惚，仿佛“山重水復(fù)疑無路，柳暗花明又一村”，有一種明顯的解脫感。然后，就是情緒極度高漲，對(duì)所獲得的直覺認(rèn)識(shí)執(zhí)著地相信，并以此為基礎(chǔ)連續(xù)工作很長(zhǎng)時(shí)間毫無倦意。愛因斯坦就曾敘述過自己的這種心態(tài)。他說到獲得靈感后撰寫相對(duì)論的第一篇論文時(shí)說：“這幾個(gè)星期里，我在自己身上觀察到各種精神失常現(xiàn)象。我好像處在狂態(tài)里一樣?！彼€說：“在最后突破、豁然開朗之前，那在黑暗中對(duì)感覺到了卻又不能表達(dá)出來的真理進(jìn)行探索的年月，那強(qiáng)烈的愿望，以及那種時(shí)而充滿信心，時(shí)而擔(dān)憂疑慮的心情——所有這一切，只有親身經(jīng)歷過的人才能體會(huì)?！?/span>

數(shù)學(xué)直覺思維的上述特點(diǎn)，在較為復(fù)雜的數(shù)學(xué)想象中都有所表現(xiàn)。因此，在許多場(chǎng)合，數(shù)學(xué)家們往往把二者混用。也有人認(rèn)為形象思維本身就是數(shù)學(xué)直覺思維的一個(gè)特點(diǎn)。就數(shù)學(xué)直覺的漸悟形式來說，這個(gè)特點(diǎn)是明顯的。但就數(shù)學(xué)直覺的頓悟形式(或者說“靈感”)而言，很難說有一個(gè)較明顯的形象思維過程。因?yàn)轭D悟是瞬問發(fā)生的，是一種思想上的飛躍。其中是否曾有形象思維的作用，至少現(xiàn)在還弄不清楚。這是一個(gè)有待深入研究的問題。 
    

還有些人以為，直覺思維是一種非理性的思維活動(dòng)，非理性也可看作數(shù)學(xué)直覺思維的一個(gè)特點(diǎn)。這種觀點(diǎn)是不妥的。盡管數(shù)學(xué)直覺具有非邏輯性、自發(fā)性和情感作用等特點(diǎn)，但它并不是完全無規(guī)律可循的。數(shù)學(xué)家們通過長(zhǎng)期的實(shí)踐，已逐漸形成獲得數(shù)學(xué)直覺的若干指導(dǎo)性原則，如簡(jiǎn)單性、統(tǒng)一性、對(duì)稱性、美學(xué)標(biāo)準(zhǔn)，等等，其具體內(nèi)容我們后面還要專門分析。這些原則都是可以從科學(xué)認(rèn)識(shí)過程的合理性角度加以闡述的，它們?cè)诟畹睦碚搶哟紊戏从沉藬?shù)學(xué)的一些基本特性，反映了數(shù)學(xué)各分支之間本質(zhì)上的有機(jī)聯(lián)系。數(shù)學(xué)直覺是在這些原則的指導(dǎo)下，通過自覺或不自覺的思維過程逐漸產(chǎn)生的。因而它們并不是非理性的、不可解釋的神秘的東西。在某種意義上倒可以說，直覺思維包含辯證思維的某些因素，它超越了形式邏輯推演的框架，不自覺地運(yùn)用了辯證邏輯的推理模式，從而導(dǎo)致了一些重要的科學(xué)發(fā)現(xiàn)。當(dāng)然，直覺思維還不等于辯證思維。但是在直覺思維的深層結(jié)構(gòu)和活動(dòng)過程中，有可能蘊(yùn)藏著遠(yuǎn)遠(yuǎn)超出目前人們對(duì)辯證邏輯所了解的內(nèi)容。這是一個(gè)很值得繼續(xù)發(fā)掘的寶庫。

摘自《數(shù)學(xué)與思維》