看過(guò)金庸《倚天屠龍記》的童鞋應(yīng)該都清楚地記得，張無(wú)忌修煉乾坤大挪移到了第7層，而魔教教主楊逍只修煉到第2層.

為何會(huì)如此？原因其實(shí)很簡(jiǎn)單，只因張無(wú)忌有深厚的武學(xué)內(nèi)功九陽(yáng)真經(jīng)作為基礎(chǔ).

那么在學(xué)習(xí)微積分的過(guò)程中，是什么決定了你修煉的高度，抑或說(shuō)微積分之九陽(yáng)真經(jīng)是什么？今天就和大家一起來(lái)探討一下.

數(shù)列有界，但因其心有旁騖，在兩數(shù)之間猶豫不決、來(lái)回跳動(dòng)，導(dǎo)致其必然發(fā)散.

我們知道，收斂數(shù)列必有界，而上例則說(shuō)明有界的數(shù)列不一定收斂.

于是很自然地，會(huì)產(chǎn)生如下兩個(gè)問(wèn)題：

1. 給有界數(shù)列加上什么額外的條件，可確保其收斂？

2. 若不加任何條件，則能得到怎樣的結(jié)論？

下面的定理回答了第2個(gè)問(wèn)題.

定理（Bolzano-Weierstrass）:有界數(shù)列必有收斂的子列.

接下來(lái)看第1個(gè)問(wèn)題.

如果我們給有界的數(shù)列賦予單調(diào)這一重要特性，則有

定理：?jiǎn)握{(diào)有界數(shù)列一定收斂.

該定理的重要性在于：

• 它使我們可以從數(shù)列本身特點(diǎn)出發(fā)去研究其斂散性. 在判斷出其收斂后，可借助極限運(yùn)算的性質(zhì)求出極限.
  

• 它告訴我們實(shí)數(shù)具有連續(xù)性，這是討論函數(shù)連續(xù)性的基礎(chǔ). 試想，如果實(shí)數(shù)沒(méi)有鋪滿數(shù)軸，那么任何定義在實(shí)數(shù)上的函數(shù)都不可能連續(xù).

• 閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)是微積分的支柱，沒(méi)有這些支柱，微積分大廈將分分鐘倒塌. 而這些性質(zhì)都可以通過(guò)單調(diào)有界準(zhǔn)則獲得證明.

• 同時(shí)，它還鄭重地宣告：實(shí)數(shù)是完備的！這可以保證任意收斂的實(shí)數(shù)數(shù)列的極限不會(huì)跑到實(shí)數(shù)外面去.（注：連續(xù)性等價(jià)于完備性）

實(shí)數(shù)的完備性，說(shuō)白了就是對(duì)求極限封閉. 如果沒(méi)有封閉性，細(xì)思極恐！??！

比如，如果你問(wèn)一個(gè)小學(xué)森 1-2 等于幾，Ta一定嚇得哇哇大哭，為什么呢？因?yàn)?-2的結(jié)果跑到自然數(shù)的外面去了，根本就不知道是什么鬼東西，這嚇?biāo)缹殞毩?..

極限是微積分的基礎(chǔ)，如果一個(gè)實(shí)數(shù)數(shù)列是收斂的，但是其極限卻跑到實(shí)數(shù)外面去了，這就沒(méi)辦法繼續(xù)討論下去了.

比如，假設(shè)你只學(xué)過(guò)有理數(shù)，根據(jù)單調(diào)有界準(zhǔn)則可知，下列有理數(shù)數(shù)列是收斂的，

但其極限

卻因一言不合跑去和無(wú)理數(shù)鬼混去了，這日子就沒(méi)法過(guò)了.

下面討論如何利用單調(diào)有界準(zhǔn)則證明數(shù)列收斂，并計(jì)算其極限！

• 對(duì)于無(wú)窮多項(xiàng)連加的極限，常?？紤]利用夾逼準(zhǔn)則求極限. 至于夾逼準(zhǔn)則的放縮技巧可參看數(shù)學(xué)中最霸氣的定理.

• 若夾逼準(zhǔn)則搞不定，可考慮利用定積分定義、冪級(jí)數(shù)求和、級(jí)數(shù)收斂的必要條件等等方法求解.

• 而對(duì)于由遞推公式給出的數(shù)列，判斷其極限存在通常利用“單調(diào)有界準(zhǔn)則”.

為了知道一個(gè)數(shù)列是否單調(diào)，一個(gè)為大家熟知的方法就是去比較數(shù)列中相繼兩項(xiàng)的大小. 這可以通過(guò)分析相繼兩項(xiàng)之比或差來(lái)達(dá)到目的.

另外值得提醒的是，并不是每一個(gè)數(shù)列都具有單調(diào)這樣良好的性質(zhì)，那么如何對(duì)一般的數(shù)列從其本身來(lái)判定它收斂還是發(fā)散？這就需要借助柯西審斂原理.

下面看一些典型例題.