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上一篇探討了實(shí)數(shù)收斂的概念，用無(wú)窮級(jí)數(shù)來(lái)確定一個(gè)數(shù)。很容易把它擴(kuò)展到無(wú)窮的函數(shù)序列求極限的問(wèn)題。在初等微積分里，這是對(duì)函數(shù)變量的每個(gè)值逐點(diǎn)來(lái)考察，對(duì)每個(gè)固定的變量值，這無(wú)窮序列對(duì)應(yīng)著一個(gè)函數(shù)值的數(shù)列，如果所有點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)列都收斂，那就認(rèn)為這無(wú)窮函數(shù)序列收斂，它的極限函數(shù)在每個(gè)點(diǎn)的函數(shù)值是相應(yīng)數(shù)列的極限值。這樣函數(shù)序列的極限稱為逐點(diǎn)收斂的。這個(gè)方法被牛頓引入后，廣泛地應(yīng)用，它雖然可行，但在微積分進(jìn)一步研究時(shí)又遇到種種麻煩，于是又附加了許多條件，如“一致連續(xù)”，“絕對(duì)可積”等等，最后弄得微積分繁雜不堪。能不能把整個(gè)函數(shù)看成一個(gè)數(shù)學(xué)空間里的一個(gè)點(diǎn)，把這些條件都看成空間里的性質(zhì)，從一個(gè)統(tǒng)一的角度來(lái)研究收斂極限的問(wèn)題？這便是這一篇要介紹的概念。 現(xiàn)代的數(shù)學(xué)建立在比實(shí)數(shù)更加抽象的集合論基礎(chǔ)上，應(yīng)用于更廣泛的空間。要將定義在實(shí)數(shù)上一元函數(shù)微積分的本質(zhì)說(shuō)清楚，推廣到多元函數(shù)，函數(shù)逼近，泛函，隨機(jī)過(guò)程，乃至各種抽象數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的集合上，我們要了解集合元素間聯(lián)系的結(jié)構(gòu)，這樣才可能描述變動(dòng)個(gè)體的走向，空間的性質(zhì)，進(jìn)而談及趨近、收斂和極限。 微積分是基于無(wú)窮逼近極限的數(shù)學(xué)。收斂描述的是變動(dòng)差別越來(lái)越小，直至微不可察的數(shù)列表現(xiàn)。收斂極限的存在，取決于實(shí)數(shù)的完備性。所以無(wú)窮逼近過(guò)程的含義和結(jié)果，依賴于它所在數(shù)學(xué)空間的性質(zhì)。傳統(tǒng)微積分是建立在實(shí)數(shù)空間 |
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