圓錐曲線包括橢圓，雙曲線，拋物線。其統(tǒng)一定義：到定點(diǎn)的距離與到定直線的距離的比e是常數(shù)的點(diǎn)的軌跡叫做圓錐曲線。當(dāng)0<><1時(shí)為橢圓：當(dāng)e=1時(shí)為拋物線；當(dāng)e>1時(shí)為雙曲線。

一、圓錐曲線的方程和性質(zhì)：

1）橢圓

文字語(yǔ)言定義：平面內(nèi)一個(gè)動(dòng)點(diǎn)到一個(gè)定點(diǎn)與一條定直線的距離之比是一個(gè)小于1的正常數(shù)e。定點(diǎn)是橢圓的焦點(diǎn)，定直線是橢圓的準(zhǔn)線，常數(shù)e是橢圓的離心率。

標(biāo)準(zhǔn)方程：

1.中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上的橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程：(x^2/a^2)+(y^2/b^2)=1

其中a>b>0，c>0，c^2=a^2-b^2.

2.中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在y軸上的橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程：(x^2/b^2)+(y^2/a^2)=1

其中a>b>0，c>0，c^2=a^2-b^2.

參數(shù)方程：

X=acosθY=bsinθ(θ為參數(shù)，設(shè)橫坐標(biāo)為acosθ，是由于圓錐曲線的考慮，橢圓伸縮變換后可為圓此時(shí)c=0，圓的acosθ=r)

2）雙曲線

文字語(yǔ)言定義：平面內(nèi)一個(gè)動(dòng)點(diǎn)到一個(gè)定點(diǎn)與一條定直線的距離之比是一個(gè)大于1的常數(shù)e。定點(diǎn)是雙曲線的焦點(diǎn)，定直線是雙曲線的準(zhǔn)線,常數(shù)e是雙曲線的離心率。

標(biāo)準(zhǔn)方程：

1.中心在原點(diǎn),焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程：(x^2/a^2)-(y^2/b^2)=1

其中a>0,b>0,c^2=a^2+b^2.

2.中心在原點(diǎn),焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程：(y^2/a^2)-(x^2/b^2)=1.

其中a>0,b>0,c^2=a^2+b^2.

參數(shù)方程：

x=asecθy=btanθ(θ為參數(shù))

3）拋物線

標(biāo)準(zhǔn)方程：

1.頂點(diǎn)在原點(diǎn),焦點(diǎn)在x軸上開口向右的拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程：y^2=2px其中p>0

2.頂點(diǎn)在原點(diǎn),焦點(diǎn)在x軸上開口向左的拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程：y^2=-2px其中p>0

3.頂點(diǎn)在原點(diǎn),焦點(diǎn)在y軸上開口向上的拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程：x^2=2py其中p>0

4.頂點(diǎn)在原點(diǎn),焦點(diǎn)在y軸上開口向下的拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程：x^2=-2py其中p>0

參數(shù)方程

x=2pt^2y=2pt(t為參數(shù))t=1/tanθ(tanθ為曲線上點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)確定直線的斜率）特別地，t可等于0

直角坐標(biāo)

y=ax^2+bx+c(開口方向?yàn)閥軸,a<>0）x=ay^2+by+c（開口方向?yàn)閤軸,a<>0)

圓錐曲線（二次非圓曲線）的統(tǒng)一極坐標(biāo)方程為

ρ=ep/(1-e×cosθ)其中e表示離心率，p為焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離。

二、焦半徑

圓錐曲線上任意一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離稱為焦半徑。

圓錐曲線左右焦點(diǎn)為F1、F2,其上任意一點(diǎn)為P(x,y)，則焦半徑為：

橢圓|PF1|=a+ex|PF2|=a-ex

雙曲線P在左支，|PF1|=－a-ex|PF2|=a-ex

P在右支，|PF1|=a+ex|PF2|=－a+ex

P在下支，|PF1|=－a-ey|PF2|=a-ey

P在上支，|PF1|=a+ey|PF2|=－a+ey

拋物線|PF|=x+p/2

三、圓錐曲線的切線方程

圓錐曲線上一點(diǎn)P（x0,y0）的切線方程

以x0x代替x^2,以y0y代替y^2;以(x0+x)/2代替x,以(y0+y)/2代替y

即橢圓:x0x/a^2+y0y/b^2=1;

雙曲線：x0x/a^2-y0y/b^2=1；

拋物線:y0y=p(x0+x)

四、焦準(zhǔn)距

圓錐曲線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離p叫圓錐曲線的焦準(zhǔn)距，或焦參數(shù)。

橢圓的焦準(zhǔn)距:p=(b^2)/c

雙曲線的焦準(zhǔn)距:p=(b^2)/c

拋物線的準(zhǔn)焦距:p

五、通徑

圓錐曲線中，過焦點(diǎn)并垂直于軸的弦成為通徑。

橢圓的通徑:(2b^2)/a

雙曲線的通徑:(2b^2)/a

拋物線的通徑:2p

六、圓錐曲線的性質(zhì)對(duì)比

七、圓錐曲線的中點(diǎn)弦問題

已知圓錐曲線內(nèi)一點(diǎn)為圓錐曲線的一弦中點(diǎn)，求該弦的方程

⒈聯(lián)立方程法。

用點(diǎn)斜式設(shè)出該弦的方程(斜率不存在的情況需要另外考慮),與圓錐曲線方程聯(lián)立求得關(guān)于x的一元二次方程和關(guān)于y的一元二次方程，由韋達(dá)定理得到兩根之和的表達(dá)式，在由中點(diǎn)坐標(biāo)公式的兩根之和的具體數(shù)值，求出該弦的方程。

2.點(diǎn)差法，或稱代點(diǎn)相減法。

設(shè)出弦的兩端點(diǎn)坐標(biāo)(x1,y1)和(x2,y2)，代入圓錐曲線的方程，將得到的兩個(gè)方程相減,運(yùn)用平方差公式得[(x1+x2)·(x1-x2)]/(a^2)+[(y1+y2)·(y1-y2)/(b^2]=0由斜率為(y1-y2)/(x1-x2)可以得到斜率的取值。（使用時(shí)注意判別式的問題）