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邏輯學是研究思維、思維的規(guī)定和規(guī)律的科學。但是只有思維本身才構成使得理念成為邏輯的理念的普遍規(guī)定性或要素。理念并不是形式的思維，而是思維的特有規(guī)定和規(guī)律自身發(fā)展而成的全體，這些規(guī)定和規(guī)律，乃是思維自身給予的，決不是已經(jīng)存在于外面的現(xiàn)成的事物。 “創(chuàng)新是一個民族進步的靈魂，是一個國家興旺發(fā)達的不竭動力?！倍鴦?chuàng)新能力的培養(yǎng)，必基于寬厚、扎實的基礎知識和敏銳、嚴謹?shù)姆治鏊急婺芰?。早?0世紀70年代，聯(lián)合國教科文組織確定的數(shù)學、邏輯學、天文學、天體物理學、地球科學和空間科學、物理學、化學、生命科學七門基礎學科中，邏輯學就列居第二。學習作為推理、思辨工具的邏輯學，對于提高我們的思辨能力、啟發(fā)心智、掌握所需的科學知識、準確地表達思想、駁斥謬誤、正確論證、進行創(chuàng)新性研究具有十分重要的意義。邏輯學在今天的整個教學體系中，處于我們不容忽視的學科基礎地位。 在各個學科日益迅速發(fā)展的今天，邏輯學與我們其他的很多學科有了越來越密切的聯(lián)系，他為我們其他的學科提供了思辨的源泉，我們的日常生活中的許多思維方式都是需要根據(jù)邏輯學的知識去推導論證。邏輯學也拉近了各個學科之間的距離，使得學科之間的相互聯(lián)系也更加密切。數(shù)學可以說是與邏輯學關系最親密的一門學科。一般意義上的邏輯問題都可以劃歸為數(shù)學意義上的邏輯問題，簡而言之，就是邏輯學是數(shù)學的真子集。通俗地說：數(shù)學包含邏輯學。 而數(shù)學——邏輯——數(shù)學，這是現(xiàn)代數(shù)學的最為重要的發(fā)展模式之一。數(shù)學中的很多問題就涉及到了邏輯學中的概念定義、推理論證的規(guī)則等等。邏輯學的相關知識使得數(shù)學中一些推理論證更加容易，它為數(shù)學提供了直接思辨的源泉。數(shù)學中許多推理論證方法如直接證法、間接證法和數(shù)學歸納法等，就是直接從邏輯學中在引用的，而數(shù)學中推理論證也使得邏輯學更加的完善和正確。數(shù)學推理論證也可以看作邏輯學的具體運用..這里我們來談論一下邏輯學中的反證法在數(shù)學中的應用。 反證法是屬于邏輯學中“間接證明法”一類，它是從一個否定原結(jié)論的假設出發(fā)，經(jīng)過正確的推理而得到（與公理、定理、題設等）相矛盾的結(jié)論，由于推理和引用的證據(jù)是正確的，因此出現(xiàn)矛盾的原因只能認為是否定原結(jié)論的假設是錯誤的，從而得到原結(jié)論成立。用反證法不是從正面確定論題的真實性，而是證明它的反論題為假或改證它的等價命題為真．反證法也就是從反面的角度思考問題的證明方法，即：肯定題設而否定結(jié)論，從而導出矛盾推理而得。法國數(shù)學家阿達瑪(Hadamard)對反證法的實質(zhì)作過概括：“若肯定定理的假設而否定其結(jié)論，就會導致矛盾”。具體地講，反證法就是從否定命題的結(jié)論入手，并把對命題結(jié)論的否定作為推理的已知條件，進行正確的邏輯推理，使之得到與已知條件、已知公理、定理、法則或者已經(jīng)證明為正確的命題等相矛，矛盾的原因是假設不成立，所以肯定了命題的結(jié)論，從而使命題獲得了證明。 反證法是一種以退為進的證明方法，就好像把拳頭收回來再打出去會更有力，在論證某些問題的時候，運用這種證明方法也具有同樣的效果。 反證法所依據(jù)的是邏輯思維規(guī)律中的“矛盾律”和“排中律”。在同一思維過程中，兩個互相矛盾的判斷不能同時都為真，至少有一個是假的，這就是邏輯思維中的“矛盾律”；兩個互相矛盾的判斷不能同時都假，簡單地說“A或者非A”，這就是邏輯思維中的“排中律”。反證法在其證明過程中，得到矛盾的判斷，根據(jù)“矛盾律”，這些矛盾的判斷不能同時為真，必有一假，而已知條件、已知公理、定理、法則或者已經(jīng)證明為正確的命題都是真的，所以“否定的結(jié)論”必為假。再根據(jù)“排中律”，結(jié)論與“否定的結(jié)論”這一對立的互相否定的判斷不能同時為假，必有一真，于是我們得到原結(jié)論必為真。所以反證法是以邏輯思維的基本規(guī)律和理論為依據(jù)的，反證法是可信的。 反證法的證題模式可以簡要的概括我為“否定→推理→否定”。即從否定結(jié)論開始，經(jīng)過正確無誤的推理導致邏輯矛盾，達到新的否定，可以認為反證法的基本思想就是“否定之否定”。應用反證法證明的主要三步是：否定結(jié)論 → 推導出矛盾 → 結(jié)論成立。 實施的具體步驟是： 第一步，反設：設立邏輯值與原論題P相反的反論題非p，即原命題與其反論命題必須是矛 盾關系。 第二步，歸謬：將反設作為條件，并由此通過一系列的正確推理導出矛盾； 第三步，結(jié)論：根據(jù)排中律，說明反設不成立，從而肯定原命題成立。 在應用反證法證題時，一定要用到“反設”進行推理，否則就不是反證法。用反證法證題時，如果欲證明的命題的方面情況只有一種，那么只要將這種情況駁倒了就可以，這種反證法又叫“歸謬法”；如果結(jié)論的方面情況有多種，那么必須將所有的反面情況一一駁倒，才能推斷原結(jié)論成立，這種證法又叫“窮舉法”。 在數(shù)學解題中經(jīng)常使用反證法，牛頓曾經(jīng)說過：“反證法是數(shù)學家最精當?shù)奈淦髦弧?。一般來講，反證法常用來證明的題型有：命題的結(jié)論以“否定形式”、“至少”或“至多”、“唯一”、“無限”形式出現(xiàn)的命題；或者否定結(jié)論更明顯。具體、簡單的命題；或者直接證明難以下手的命題，改變其思維方向，從結(jié)論入手進行反面思考，問題可能解決得十分干脆。 邏輯是一門重要的科學，任何一門嚴密的學科，都離不開嚴格的邏輯推理。 |
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