近三年“華杯賽”試題分析報(bào)告 撰寫(xiě)人： 張勇，汪宜晟 時(shí)間：2016/1/15
第一部分 “華杯賽”簡(jiǎn)介
華羅庚金杯少年數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽（簡(jiǎn)稱“華杯賽”）是為了紀(jì)念和學(xué)習(xí)我國(guó)杰出的數(shù)學(xué)家華羅庚教授，于1986年始創(chuàng)的全國(guó)性大型少年數(shù)學(xué)競(jìng)賽活動(dòng)，由中國(guó)少年報(bào)社（現(xiàn)為中國(guó)少年兒童新聞出版總社）、中國(guó)優(yōu)選法統(tǒng)籌法與經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)研究會(huì)、中央電視臺(tái)青少中心等單位聯(lián)合發(fā)起并主辦?！叭A杯賽”是以教育廣大青少年從小學(xué)習(xí)和弘揚(yáng)華羅庚教授的愛(ài)國(guó)主義思想、刻苦學(xué)習(xí)的品質(zhì)、熱愛(ài)科學(xué)的精神；激發(fā)廣大中小學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣、開(kāi)發(fā)智力、普及數(shù)學(xué)科學(xué)為宗旨的活動(dòng)。近30年來(lái)，“華杯賽”已成功舉辦了二十屆賽事和五屆“華杯賽”精英賽活動(dòng)，全國(guó)有包括香港、澳門、臺(tái)灣在內(nèi)的100多個(gè)城市和地區(qū)，4000多萬(wàn)少年兒童參加了比賽。“華杯賽”已成為了教育、鼓舞一代又一代廣大青少年勇攀科學(xué)高峰和奮發(fā)向上的動(dòng)力，深受廣大學(xué)生、教師、家長(zhǎng)的喜愛(ài)。日本、韓國(guó)、新加坡、馬來(lái)西亞、菲律賓、蒙古國(guó)、美國(guó)等國(guó)家也先后派隊(duì)參加。
第二部分 試題分析
（一）題型、考點(diǎn)和難易程度劃分 自2007年第十二屆開(kāi)始，華杯賽題型基本固定下來(lái)。初賽以選擇題和填空題為主，共10題總分100分，其中選擇題60分（6×10’），填空題40分（4×10’）。而決賽以填空題和解答題為主，共14題總分150分，其中填空題80分（8×10’），解答題70分（4×10’+2×15’）。本文主要討論決賽試題，以幫助正在準(zhǔn)備3月12日華杯賽決賽的同學(xué)更加全面的了解決賽考點(diǎn)，進(jìn)而更加科學(xué)從容備考。以下是近三年決賽試題的題型、所屬模塊、考點(diǎn)以及難易程度總結(jié)，其中第十九屆A、B、D卷、第二十屆A、D卷除個(gè)別題目不同外，其他題目完全相同，在此只總結(jié)其中的A卷。以下是第十九屆決賽A卷試題分析，其他幾屆請(qǐng)下載附件。
以下是近三年決賽試卷難易程度所占比例，從圖中可以看出簡(jiǎn)單題（一星）和中等難度題目（二星）占了將近整張?jiān)嚲硪话氲姆种?，而中等偏上難度題目（三星）和高難度題目（四星）加起來(lái)占一半的分值。其中簡(jiǎn)單題和高難度題題目加起來(lái)占30%左右，而中等難度題目和中等偏上難度題目加起來(lái)占60%左右。
（二）各個(gè)模塊所占分值變化 我們把試題按照六個(gè)模塊來(lái)劃分：計(jì)算、幾何、應(yīng)用題、計(jì)數(shù)、數(shù)論和組合。當(dāng)然一道試題不可能只考一個(gè)知識(shí)點(diǎn)，經(jīng)常會(huì)出現(xiàn)綜合性的題目，例如組合部分的試題會(huì)涉及到數(shù)論和計(jì)數(shù)知識(shí)等，以下是每張?jiān)嚲砀鞔竽K所占分值的變化趨勢(shì)：
以下是近三年各個(gè)模塊所占比例統(tǒng)計(jì)結(jié)果，從圖中可以看出，幾何、數(shù)論和組合部分所占比重較大，計(jì)算和計(jì)數(shù)所占比重相對(duì)較?。?/font>
（三）考點(diǎn)詳細(xì)解讀 通過(guò)以上對(duì)近三年試題題型和考點(diǎn)的總結(jié)，相信大家已經(jīng)對(duì)華杯賽決賽所考察的知識(shí)模塊、難易程度及各模塊所占比重有了大致的了解。那么具體到每個(gè)模塊，歷屆華杯賽都喜歡考察哪些知識(shí)點(diǎn)呢？下面我們對(duì)每個(gè)模塊所涉及的考點(diǎn)及孩子們需要掌握的程度進(jìn)行詳細(xì)總結(jié)。
1. 計(jì)算模塊：計(jì)算題幾乎是每年必考一題，通常會(huì)放在第一題，難度是全卷最小的，因此這10分是參賽孩子們必須拿到手的。只有對(duì)于簡(jiǎn)單會(huì)做的題目拿滿分，難度大的題目盡量拿分，才有可能沖刺獎(jiǎng)牌。試想如果會(huì)做的計(jì)算題目10分因?yàn)榇中臎](méi)有拿到手，那么要想用后面難題來(lái)補(bǔ)上這10分將是非常困難的，所以這10分非常重要，一定要拿到手！從歷屆決賽題目來(lái)看，這道計(jì)算題考點(diǎn)基本都是分小混合運(yùn)算、提取公因數(shù)、約分、拆分和湊整等常規(guī)技巧，退一萬(wàn)步講，如果臨時(shí)想不出巧算方法，那么硬算也是可以的，總之命題老師不是想在計(jì)算上考到大家，而是為了把這10分送給所有考生。
2. 幾何模塊：幾何部分每年會(huì)考一道題或者兩道題，涉及的考點(diǎn)集中在：基本圖形的面積計(jì)算（三角形、平行四邊形、正方形、長(zhǎng)方形、梯形、圓和扇形等）、勾股定理和常用勾股數(shù)、等高模型、一半模型、鳥(niǎo)頭模型、燕尾模型、風(fēng)箏模型、沙漏模型、金字塔模型和格點(diǎn)面積公式等，要求孩子能夠熟練基本圖形面積計(jì)算公式，會(huì)用割補(bǔ)法和整體減局部法對(duì)不規(guī)則圖形進(jìn)行分割和拼湊，從而間接求面積。會(huì)用等高模型和一半模型對(duì)圖形進(jìn)行等積變換，理解和運(yùn)用“七大模型”實(shí)現(xiàn)圖形面積比與線段長(zhǎng)度比之間的轉(zhuǎn)化。要求孩子孩子具有一定的添加輔助線能力，有時(shí)題目中無(wú)法直接運(yùn)用模型進(jìn)行求解，這時(shí)需要孩子對(duì)圖形具有敏銳的觀察力和對(duì)題目考點(diǎn)的把控，添加輔助線后運(yùn)用模型求解。例如第十八屆決賽A卷第4題需要簡(jiǎn)單添加輔助線構(gòu)造直角三角形進(jìn)行求解，第十八屆決賽B卷第10題需要添加簡(jiǎn)單輔助線構(gòu)造等高模型和燕尾模型求解，第十九屆決賽A卷第12題需要添加簡(jiǎn)單輔助線構(gòu)造風(fēng)箏模型求解，第二十屆決賽A卷第11題需要?jiǎng)?chuàng)造性的添加輔助線構(gòu)造一半模型幫助求解。所以大家平時(shí)要多積累輔助線的添加方法，目的都是為了使用模型或者使圖形變得更加規(guī)則。
3. 應(yīng)用題模塊：應(yīng)用題模塊包含的考點(diǎn)有：和差倍分問(wèn)題、行程問(wèn)題、工程問(wèn)題、年齡問(wèn)題、平均數(shù)問(wèn)題、比例法解應(yīng)用題以及濃度和經(jīng)濟(jì)問(wèn)題。對(duì)于和差倍分問(wèn)題要理解份數(shù)的思想；行程問(wèn)題涉及的考點(diǎn)比較多，但在比賽中一般不會(huì)涉及到簡(jiǎn)單的行程問(wèn)題，而是較為復(fù)雜的像流水行船、變速問(wèn)題、時(shí)鐘問(wèn)題、多人多次相遇和追及、走走停停和變道問(wèn)題等。要求孩子們能熟練運(yùn)用比例（時(shí)間一定，路程比等于速度比；速度一定，路程比等于時(shí)間比；路程一定，速度比與時(shí)間比成反比）和份數(shù)的思想，會(huì)畫(huà)行程線段圖幫助理解題意，對(duì)于有的題目用方程解比較方便的要會(huì)借助方程解題。行程問(wèn)題出現(xiàn)在決賽中難度一般都比較大，比如第十八屆決賽A卷的第11題流水行船問(wèn)題，第十八屆決賽B卷的第7題份數(shù)思想的運(yùn)用，第十九屆決賽A卷第11題份數(shù)思想的運(yùn)用和第二十屆決賽A卷第4題的鐘表問(wèn)題等。其他應(yīng)用題模塊相比行程問(wèn)題會(huì)簡(jiǎn)單一些，但也要對(duì)掌握每種問(wèn)題對(duì)應(yīng)的基本解法，比如工程問(wèn)題的量率對(duì)應(yīng)、年齡問(wèn)題中抓住年齡差不變、平均數(shù)問(wèn)題的“移多補(bǔ)少”思想、濃度問(wèn)題中的十字交叉法等?？偟膩?lái)說(shuō)應(yīng)用題模塊在決賽中一般會(huì)出現(xiàn)兩道題左右，難度都是中等較為偏上，但不是最難的題目，所以對(duì)于有志沖刺獎(jiǎng)牌的同學(xué)這部分分?jǐn)?shù)一定要拿到手。
4. 計(jì)數(shù)問(wèn)題：計(jì)數(shù)問(wèn)題在決賽中也頻繁出現(xiàn)，涉及到的考點(diǎn)主要有：枚舉法、加乘原理、抽屜原理、容斥原理和排列組合等。計(jì)數(shù)問(wèn)題綜合性比較強(qiáng)，可以和幾何、數(shù)論和組合數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行綜合，所以難度比較大。注意枚舉時(shí)要做到不重不漏，這樣就需要進(jìn)行有序枚舉或者制訂一定的枚舉策略幫助枚舉，有時(shí)會(huì)涉及到抽屜原理、容斥原理和幾何旋轉(zhuǎn)對(duì)稱等，抽屜原理和最不利原則要放在一起進(jìn)行理解。例如第十八屆決賽A卷第13題與組合構(gòu)造結(jié)合進(jìn)行的分類枚舉，第十八屆決賽B卷第9題綜合容斥原理和排列組合的幾何計(jì)數(shù)，第十九屆決賽A卷第9題的分類枚舉，第二十屆決賽A卷第8題與組合綜合的分類枚舉等。計(jì)數(shù)部分每年會(huì)出20分左右的題目，要拿到這部分分?jǐn)?shù)需要在其他模塊打好基礎(chǔ)，包括加乘原理、排列組合、數(shù)論和組合計(jì)數(shù)等。
5. 數(shù)論模塊：從以上考點(diǎn)分析和各個(gè)模塊所占比重分析可以看到，單純的數(shù)論題每年大概在兩道題左右，但是我們說(shuō)數(shù)論模塊是華杯賽中非常重要的一部分，往往是拉開(kāi)差距的地方，因?yàn)槌藛渭兊臄?shù)論題目外，數(shù)論還會(huì)和計(jì)數(shù)以及組合數(shù)學(xué)相結(jié)合出題，難度一般都會(huì)很大，因此實(shí)際上數(shù)論在每套試卷中考察的實(shí)際分值在50分以上，所以同學(xué)們平時(shí)要在數(shù)論上多下功夫。數(shù)論模塊的考點(diǎn)包括：數(shù)的整除特征、位置原理、質(zhì)數(shù)與合數(shù)、因數(shù)與倍數(shù)、完全平方數(shù)、余數(shù)問(wèn)題等。例如，第十八屆決賽A卷第3題、第5題和第7題的余數(shù)問(wèn)題，第十八屆決賽A卷第14題數(shù)論與構(gòu)造的綜合，第十九屆決賽B卷第2題因數(shù)和倍數(shù)，第二十屆決賽A卷第5題數(shù)論與排列組合和位置原理綜合，第7題數(shù)論與容斥原理綜合，第9題公因數(shù)和公倍數(shù)等。數(shù)論是大部分學(xué)生的一個(gè)痛點(diǎn)，所以在比賽中也是容易拉出差距的地方，對(duì)這部分的備考需要先理解一些數(shù)論的基本結(jié)論和性質(zhì)，然后通過(guò)專題性的訓(xùn)練進(jìn)行鞏固和加深理解，并且達(dá)到熟練運(yùn)用的目標(biāo)。
6. 組合數(shù)學(xué)：在本文中，把所有的雜題部分歸類為組合數(shù)學(xué)。考點(diǎn)包括：數(shù)字謎、數(shù)陣圖、不定方程、論證與構(gòu)造、分類討論、最值問(wèn)題、周期問(wèn)題、比賽問(wèn)題、邏輯推理等。組合部分涵蓋類型廣，難度大，所占分值高。要想這部分拿高分，只有通過(guò)多練習(xí)和多見(jiàn)題型。對(duì)于一些比較巧妙的構(gòu)造方法，要花時(shí)間琢磨透徹。豎式數(shù)字謎要熟悉幾種分析方法，包括尾數(shù)分析、進(jìn)退位分析、數(shù)字和分析等，數(shù)字謎跟數(shù)論知識(shí)具有千絲萬(wàn)縷的聯(lián)系，所以要同時(shí)在這兩部分下功夫；數(shù)陣圖要掌握重?cái)?shù)分析；不定方程跟數(shù)論也有千絲萬(wàn)縷的聯(lián)系，涉及到數(shù)的整除，所以也要在數(shù)論上下功夫；邏輯推理部分熟悉假設(shè)法和列表分析等常規(guī)方法等。這部分出題靈活，有志沖刺一等獎(jiǎng)的同學(xué)還得多做練習(xí)。
第三部分 備考建議
總的來(lái)說(shuō)，華杯賽題目難度和靈活性是在所有比賽當(dāng)中最高的，要想拿到獎(jiǎng)牌和名次，一定要做到難度低的題目保證把分拿到手，要克服粗心失分。正如前面我所分析的，整個(gè)試題中第一題計(jì)算難度比較低，這10分是必須要拿到的。對(duì)于這部分的備考，可以分模塊每天訓(xùn)練幾道，重點(diǎn)訓(xùn)練：分小互化、分?jǐn)?shù)約分、分?jǐn)?shù)四則混合、分小混合（考試時(shí)可以把所有小數(shù)化為分?jǐn)?shù)進(jìn)行運(yùn)算）、提取公因數(shù)、拆分和湊整，考慮到這個(gè)題目式子不會(huì)太復(fù)雜，如果考試時(shí)一時(shí)無(wú)法想出技巧，完全可以把所有小數(shù)化為分?jǐn)?shù)硬算（計(jì)算過(guò)程一定可以實(shí)現(xiàn)約分和湊整），關(guān)鍵要細(xì)心。對(duì)于難度不高的幾何部分，這20分左右的分?jǐn)?shù)至少要拿到10分，爭(zhēng)取拿到20分。因?yàn)閹缀晤}目的套路都比較清晰，只要認(rèn)真?zhèn)淇?，這部分我相信同學(xué)們可以完全拿下！那么對(duì)于幾何備考，建議按照我前面所羅列的考點(diǎn)進(jìn)行逐一擊破，可以每天訓(xùn)練一個(gè)考點(diǎn)：基本圖形的面積計(jì)算（三角形、平行四邊形、正方形、長(zhǎng)方形、梯形、圓和扇形等）、勾股定理和常用勾股數(shù)及弦圖、等高模型、一半模型、鳥(niǎo)頭模型、燕尾模型、風(fēng)箏模型、沙漏模型、金字塔模型和格點(diǎn)面積公式，訓(xùn)練時(shí)先把基本公式記住，然后每天訓(xùn)練一個(gè)考點(diǎn)5道題目左右。對(duì)于應(yīng)用題模塊，涉及考點(diǎn)太多，建議同學(xué)們把訓(xùn)練重點(diǎn)放在行程問(wèn)題、工程問(wèn)題、時(shí)鐘問(wèn)題和濃度問(wèn)題上，尤其注意比例法和份數(shù)思想解行程，把時(shí)鐘問(wèn)題轉(zhuǎn)化為行程問(wèn)題，可以考慮每個(gè)模塊花兩天時(shí)間進(jìn)行專題訓(xùn)練。而后面的計(jì)數(shù)問(wèn)題、數(shù)論和組合問(wèn)題三個(gè)模塊題目靈活難度大，不建議專題突破，更建議同學(xué)們做近三年的華杯賽真題！對(duì)于準(zhǔn)備沖刺獎(jiǎng)杯的同學(xué)，不會(huì)的題目一定要參考答案或者詢問(wèn)老師把題目搞懂！除了針對(duì)模塊知識(shí)點(diǎn)各個(gè)擊破外，同學(xué)們考試時(shí)還要注意過(guò)程的書(shū)寫(xiě)，決賽有6個(gè)解答題，這部分題目不僅僅要寫(xiě)出正確答案，還要把推理過(guò)程的主要步驟寫(xiě)清楚，會(huì)有一定的步驟分。在備考的時(shí)候同學(xué)們也要注意勞逸結(jié)合，注意休息，作息規(guī)律，避免生病感冒，保持良好的狀態(tài)。最后，祝愿各位同學(xué)在比賽中取得自己理想的成績(jī)，為自己的小升初錦上添花！
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沖刺2016年華杯賽模擬考試
歷年真題下載：
18屆決賽A卷.doc
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18屆決賽B卷.doc
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18屆決賽C卷.doc
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19屆決賽A卷.doc
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（ABD卷相同）
19屆決賽C卷.doc
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20屆決賽A卷.doc
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（AD卷相同）
20屆決賽B卷.doc
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