是的，這是一個(gè)老生常談的問題：我們?yōu)槭裁醋鰯?shù)學(xué)。一些數(shù)學(xué)家經(jīng)常反問:“為什么我們需要音樂？”，這也是一個(gè)聰明的回答。最近的研究表明，音樂對(duì)健康有諸多好處。排開這些，除了興趣愛好和帶來愉悅，音樂還有別的用處嗎？對(duì)于數(shù)學(xué)以及精確表述事物的能力，我們通過訓(xùn)練如何提問來培養(yǎng)人們精確表述問題的能力。這些能力在諸多場(chǎng)景下，都非常有價(jià)值。但不是直接的價(jià)值，就像心法，只是一種能力。

假設(shè)你現(xiàn)在在接受一位最優(yōu)秀的滑雪教練的關(guān)于滑雪的身體素質(zhì)訓(xùn)練(譯者注：和組委會(huì)核對(duì)，原文sky是筆誤，應(yīng)該是ski)。你充滿動(dòng)力，而且很好的完成了訓(xùn)練任務(wù)。但是，你家離最近的滑雪場(chǎng)也有2000英里遠(yuǎn)，你既沒有錢也沒有時(shí)間去進(jìn)行一次真正的滑雪。那么這些滑雪訓(xùn)練對(duì)于你的人生是有用的嗎？因?yàn)榭赡軣o法驗(yàn)證，你無法知道答案。雖然，在某個(gè)合適的時(shí)機(jī)，這些訓(xùn)練會(huì)派上大用場(chǎng)——畢竟，是一位優(yōu)秀的教練教的——但是，僅僅是訓(xùn)練和實(shí)際上場(chǎng)區(qū)別是很大的。人們會(huì)說，當(dāng)你上場(chǎng)的時(shí)候，你的大腦和身體必須在實(shí)戰(zhàn)環(huán)境中做反應(yīng)，你需要把練習(xí)中得到的經(jīng)驗(yàn)與技能與實(shí)戰(zhàn)環(huán)境聯(lián)系起來。這其實(shí)是另外一種能力，一些人能很輕松的把理論知識(shí)和模擬練習(xí)的要點(diǎn)和實(shí)際操作聯(lián)系起來，能很快提升。而另一些人，即便在訓(xùn)練中很得心應(yīng)手，進(jìn)入實(shí)戰(zhàn)的時(shí)候也不順利。這的確是事實(shí)。我認(rèn)為，之所以造成這樣的結(jié)果，原因是一些人在練習(xí)時(shí)，太聚焦于練習(xí)本身，只學(xué)習(xí)了剛好能完成練習(xí)的最淺顯的知識(shí)。而另外一部分人從來不忘初心，當(dāng)他們做練習(xí)的時(shí)候，永遠(yuǎn)把自己的目的放在心中最重要的位置。做到后者的確更難，但是卻能將知識(shí)與實(shí)踐更好地結(jié)合。而前者那些人遲早會(huì)遇到阻礙，因?yàn)閷?shí)際情況永遠(yuǎn)不會(huì)的和練習(xí)時(shí)模擬情況百分百的一致，當(dāng)遇到和練習(xí)時(shí)不同的情形而需要調(diào)整技巧的時(shí)候，這些人就可能遇到無法逾越的障礙。如果一直牢記這種與現(xiàn)實(shí)的聯(lián)系，才能在遇到特殊情況時(shí)，有效的運(yùn)用自己之前學(xué)到的東西。

從這個(gè)意義來說，我認(rèn)為，做練習(xí)對(duì)日常生活是大有用處的。

如果可以的話，我也有一個(gè)問題。詢問一些題目出題過程的背景和目的是什么，我覺得對(duì)賽事本身的提高幫助不大啊?；蛘哒f，我這樣問：我是不是誤解或者曲解賽事的背景和目的？

數(shù)論與代數(shù)決賽題目：

幾何與拓?fù)浞较蛎}人之一，朱晨暢教授的點(diǎn)評(píng)：

1、 決賽試題的用通俗的語言體系來說，是一個(gè)什么樣的水準(zhǔn)，要用到什么階段的數(shù)學(xué)知識(shí)；

決賽試題是需要大學(xué)一到四年級(jí)所修的?？茢?shù)學(xué)知識(shí)的。然后需要有融會(huì)貫通，和較強(qiáng)的邏輯思維能力，以及一些創(chuàng)新的靈感。

2、 相比于初賽，選手答決賽階段的題更需要用到什么樣的能力和知識(shí)？

相比于初賽，選手答決賽階段的題更需要一些近代的數(shù)學(xué)知識(shí)，例如群論，微分幾何，拓?fù)洌鹊?。這些都是近一兩百年，甚至上個(gè)世紀(jì)develop的近代數(shù)學(xué)思想。

3、 這幾道題目的含金量如何？能否具體解釋下這些題目的含金量？命題組花了多長(zhǎng)時(shí)間來出？

這些題目的含金量是相當(dāng)高的，就幾何拓?fù)溥@個(gè)方向而言，第一道題用到Hopf fibration， 三維球面的handle分解，以及三維球面與SO(3)的關(guān)系。第二道目也是用到拓?fù)淅锩嫦喈?dāng)經(jīng)典的基礎(chǔ)知識(shí)，像是Lefschetz duality, excision theorem, long exact sequence for relative homology, universal coefficients theorem。 將這樣的經(jīng)典幾何或拓?fù)渲R(shí)如此巧妙的結(jié)合起來，這兩道題可謂處處是金點(diǎn)，但又特別自然。所以是兩道又漂亮，又經(jīng)典的好題。

整個(gè)出題的過程是，我們自己先分別出好題，原題往往是和我們自己的研究方向有關(guān)的。是我們?cè)谄綍r(shí)思考問題的一些積累。有的甚至還真的是我們平時(shí)研究的數(shù)學(xué)問題的一個(gè)小步驟呢。然后我們將原題送小組討論，大家試著解對(duì)方的題，以考察難度系數(shù)。然后給對(duì)方一些建議或方向，怎么樣提高或降低難度。而且實(shí)際上，我們是有更多的題目的，然后從中選出四道，也是橫向和其他小組比較的結(jié)果。這前前后后，大概有一個(gè)月的時(shí)間。

4、網(wǎng)傳聶子佩、王彬等大神來參與，他們具體牛在哪？有什么厲害之處？這次比賽大概吸引了多少這樣的大神來參與？

我知道的還有國(guó)外的大神，比如說得到IMC特別一等獎(jiǎng)，并之前三次參加IMO的一位歐洲選手（請(qǐng)保密，歐洲人對(duì)這種消息是很個(gè)人的看法的，如果要公開，我可以問問此人）。所以應(yīng)該是高手云集吧。 打一個(gè)比方，這就好像是華山論劍，真正的高手是會(huì)忍不住去論一下的。據(jù)說習(xí)武之人，有一個(gè)比武/修行/傳道的漸進(jìn)過程。對(duì)數(shù)學(xué)感到強(qiáng)烈共鳴的人，也是一樣。開始都有參賽解題的欲望，然后隨之而來會(huì)有理論上的提升，以及之后的教書育人。不是所有IMO的金牌得主都會(huì)成為Fields獎(jiǎng)獲得者，但在Fields獎(jiǎng)獲得者中，很大比例的都曾經(jīng)有不平凡的數(shù)學(xué)競(jìng)賽的經(jīng)歷。

以我個(gè)人在數(shù)學(xué)里的經(jīng)歷，每個(gè)人的靈性，直覺，反應(yīng)的速度，解題的準(zhǔn)確度，對(duì)問題的透視能力，都是不同的。那些大神們，比平常人這些能力會(huì)強(qiáng)，甚至強(qiáng)很多。這樣的能力從參賽解題會(huì)很明確的反應(yīng)出來，尤其是好的題目，漂亮的題目。這些能力，有一部分是天生的，然后個(gè)人的長(zhǎng)期的努力和專注也是可以提高這些能力的。然后呢，解出一道題目的快感是很大的，然后橫向的比較，或者在其他選手中討論共同的題目的共鳴的快感也是很大的。這樣的感覺甚至是超過文化和語言的。

以上也許就是這些大神牛的地方，也是為什么他們樂于參賽的原因吧。所以我覺得阿里的這個(gè)競(jìng)賽喚醒了，或者重新激發(fā)了這些對(duì)數(shù)學(xué)有共鳴的人。希望這樣有天賦的同學(xué)們，可以進(jìn)一步從競(jìng)賽到修行，有一個(gè)提升的過程。這也許就是阿里大師班的深刻用意了！

幾何與拓?fù)浞较蛎}人之一，某教授的點(diǎn)評(píng)。

問題：

這?道題背后涉及了哪些經(jīng)典的數(shù)學(xué)知識(shí)？實(shí)際考察的是數(shù)學(xué)領(lǐng)域哪??的能?？

決賽的出題思路和初賽以及其他數(shù)學(xué)?賽的有什么不同？

（決賽）?師班希望選拔出什么樣的?才？

出題前后花了多長(zhǎng)時(shí)間？是否有把??平時(shí)研究的數(shù)學(xué)問題放到題?中？

初賽的?圍名單中有六分之?是已經(jīng)畢業(yè)參加?作的?，如何看待并評(píng)價(jià)這?現(xiàn)象？

決賽這些題?有可能怎樣去指導(dǎo)我們的?活或者?作決策？

回答：

第一道題?用到Hopf fibration， 三維球?面的handle分解，以及三維球?面與SO(3)的關(guān)系。

第二道?目也是?用到拓拓?fù)?里里?面相當(dāng)經(jīng)典的基礎(chǔ)知識(shí)，像是Lefschetz

duality, excision theorem, long exact sequence for relative homology, universal coefficients

theorem。 將這樣的經(jīng)典?幾何或拓拓?fù)渲R(shí)巧妙的結(jié)合起來，這是兩道?又漂亮，?又經(jīng)典的好題。

第三題，我們可以?用常微分?方程的知識(shí)放到manifold上來做?一些計(jì)算，相當(dāng)于是?幾何分析的?入?門功底。當(dāng)然，也可以?用到?辛?幾何中的Louville’s Theorem ， 避開計(jì)算，直接得到結(jié)果。兩種辦法都是?常棒的。

第四題，看上去有?常濃厚的離散組合味道。后?還有?個(gè)?故事呢：出題委員會(huì)的?師剛剛出初版的時(shí)候啊，?家都很喜歡染?剖分的主意，覺得很新穎很漂亮很有數(shù)學(xué)競(jìng)賽的味道。開始給的答案需要?到relative simplicial approximation。于是?家就有了爭(zhēng)論了。?部分?認(rèn)為這個(gè)很?然，simplicial approximation?家都熟悉，那它relative的version應(yīng)該可以想到也是對(duì)的，?少直覺上很快的。另?部分?認(rèn)為是如果真的查?獻(xiàn)呢，這個(gè)倒是?個(gè)冷門結(jié)果，?般的拓?fù)鋾械故菦]有，?且考試也并?開卷，不能上?查?獻(xiàn)。第?種情況更像是以做研究的?態(tài)去考察參賽者，?第?種考慮的確是更穩(wěn)妥更周到?些。于是在?家的互相討論互相解讀中，慢慢修改，終于得到最后這?版，是可以?經(jīng)典的拓?fù)渲R(shí)逐步解決的。

整個(gè)出題的過程是，我們??先分別出好題，原題往往是和我們??的研究?向有關(guān)的。是我們?cè)谄綍r(shí)思考問題的?些積累。有的甚?還真的是我們平時(shí)研究的數(shù)學(xué)問題的?個(gè)?步驟呢。然后我們將原題送?組討論，?家試著解對(duì)?的題，以考察難度系數(shù)。然后

給對(duì)??些建議或?向，怎么樣提?或降低難度。?且實(shí)際上，我們是有更多的題?的，然后從中選出四道，也是橫向和其他?組?較的結(jié)果。這前前后后，?概有?個(gè)?的時(shí)間。整個(gè)合作的過程，我們感到還是很愉快的，同時(shí)也甚?進(jìn)?步了解了?組成員的research。

最后，選出來的題?，考察了同學(xué)們的對(duì)經(jīng)典?何拓?fù)渲R(shí)的了解，以及融會(huì)貫通的能?。決賽的出題思路?起初賽，更加偏向于受過?學(xué)專業(yè)基礎(chǔ)并有活躍創(chuàng)新意識(shí)的同學(xué)。這也是我們對(duì)?師班?選同學(xué)的期待吧。

當(dāng)我們聽說?圍名單中有六分之?是已經(jīng)畢業(yè)參加?作的朋友們，我們對(duì)此感到很?分感動(dòng)的。想不到，有如此多的?們竟然對(duì)數(shù)學(xué)是如此熱愛，即便是參加了于數(shù)學(xué)研究不直接相關(guān)的?作，仍然將這么多的時(shí)間和精?，投?數(shù)學(xué)。作為職業(yè)數(shù)學(xué)家，我們是知道只有?個(gè)?對(duì)數(shù)學(xué)有?分的熱愛，才能夠達(dá)到這份境界。因?yàn)檫@個(gè)基本上是與你的前途，提升，沒什么直接關(guān)系的。決賽的題?呢，我們也于是希望做到，有?學(xué)知識(shí)就可以解出來，然后有?些相關(guān)的research經(jīng)驗(yàn)的，可以看出其中的門道和含義來。

?于決賽的這些題?是怎么樣有可能去指導(dǎo)我們的?活或?作決策吧，我們這個(gè)?何拓?fù)浣M的題?可能真的是沒什么真的聯(lián)系，可能第三題會(huì)幫助在現(xiàn)實(shí)?活中算?積的時(shí)候多?個(gè)思路，?論是在?程中還是物理?學(xué)中。但是我們敢肯定，能好好解出這些題?的?選者，?定有很強(qiáng)的邏輯思維能?，以及?定的靈性。這樣的?才，?定不可多得！