先問題主，請(qǐng)問你對(duì)自己曾經(jīng)開課的數(shù)學(xué)課程認(rèn)真的學(xué)習(xí)過沒有，是否曾經(jīng)思考過這些數(shù)學(xué)公式后面對(duì)于客觀世界的意義，即使沒有明白甚至加深了困惑。就我學(xué)習(xí)過的數(shù)學(xué)課程來講數(shù)學(xué)是在高度抽象的站點(diǎn)上來描述我們所在的這個(gè)客觀世界運(yùn)動(dòng)變化規(guī)律的科學(xué)，是可以反復(fù)被實(shí)證的，這就是科學(xué)精神的所在之處。所以建議你不要講數(shù)學(xué)“工具”。下面就我的學(xué)習(xí)和應(yīng)用經(jīng)歷談?wù)勎覂H對(duì)題主問題的理解，如果能對(duì)你有點(diǎn)幫助的話，那我就太開心了。

先說傅爺變換：
傅爺變換：1，是在e(jωt)的正交基函數(shù)上展開的，e(jωt)是變換的核函數(shù)；2，傅爺變換積分上下限是從-∞到+∞。天意冥冥，實(shí)函數(shù)（用于描述客觀世界變化過程函數(shù)的必要條件函數(shù)）的傅爺變換是正負(fù)頻率對(duì)稱的，用兩次歐爺公式：e(jωt)=cosωt+jsinωt,e(-jωt)=cosωt-jsinωt，這樣一整，e(jωt)+e(-jωt)=2cosωt；實(shí)函數(shù)傅爺變換譜分析中是雙邊對(duì)稱的，而且必須要合并正負(fù)頻率項(xiàng)的，從而傅爺變換對(duì)于實(shí)函數(shù)（能描述我們客觀世界變化的函數(shù)）就有了對(duì)應(yīng)的物理意義，可分解為振動(dòng)頻率為ω的正弦波啊，（切記ω是圓頻率，真正物理意義上頻率是f=ω/2π，暈，π這個(gè)牛牛牛常數(shù)摻和進(jìn)來了）。否則傅爺變換中的負(fù)頻率項(xiàng)咋整啊，沒物理意義啊。如果你再看看帕塞瓦爾定理，這物理意義更是顯而易見了，能量守恒了啊。物理學(xué)的能量守恒和咱這的能量守恒相比，雖然咱這兒借用了他們能量的概念，但是論最終的意義相比來講那可是小巫見大巫的。

還有，通過傅爺變換從而有了隨機(jī)過程中聯(lián)系自相關(guān)函數(shù)和功率譜之間關(guān)系的維納辛欽定理，這是功率譜估計(jì)最基本方法的基礎(chǔ)，可以說在現(xiàn)代數(shù)字信號(hào)處理（基于隨機(jī)過程信號(hào)）領(lǐng)域，維納辛欽定理用傅爺變換這把鋤頭挖下去了第一個(gè)坑。

傅爺分析可粗淺的理解為將傅爺變換應(yīng)用于線性時(shí)不變系統(tǒng)后，研究系統(tǒng)輸入激勵(lì)x(t):X(ω)，系統(tǒng)函數(shù)h(t):H(ω)及輸出響應(yīng)y(t):Y(ω)三者間的關(guān)系，加上沖擊函數(shù)和卷積公式，完美的一塌糊涂啊。

自此基于傅爺變換的傅爺分析打開了我們認(rèn)知、分析和改造客觀世界的另一個(gè)窗口-從時(shí)域分析到頻域分析的思路轉(zhuǎn)換，這個(gè)起點(diǎn)也是拉爺分析、調(diào)和分析、時(shí)頻分析、小波分析以及泛函空間等等分析方法的濫觴。

再說拉爺變換：

拉爺變換與傅爺變換從純數(shù)學(xué)角度看有兩項(xiàng)不同：

1，積分變換的核函數(shù)不一樣；

2，積分上下限不一樣。

對(duì)于學(xué)數(shù)學(xué)的一些牛哥來講，這兩個(gè)公式定義表達(dá)式不一樣，顯而易見，數(shù)學(xué)本就抽象，無需解釋。對(duì)于像我這樣從事工程技術(shù)的一般工程師們來講，我們可以從下述內(nèi)容做點(diǎn)工程應(yīng)用上的解釋：

傅爺變換的條件是被分析的函數(shù)必須在物理意義上能量有限，數(shù)學(xué)表達(dá)就是狄氏條件，絕對(duì)可積，間斷點(diǎn)有限。但是絕對(duì)可積這個(gè)條件對(duì)于很多函數(shù)來講太強(qiáng)了，從而很多描述客觀世界變化過程的函數(shù)被擋在傅爺分析的大門之外，這咋行啊。e這個(gè)關(guān)乎宇宙的常數(shù)出來啦，e(at)這種自然指數(shù)函數(shù)是描述客觀世界自然增長（a>0）或自然衰減(a<0)過程最合適不過的函數(shù)了（e這牛牛牛常數(shù)的名字也是因此而來的）。

傅爺變換是基于e(jωt)的，但是有些描述物理過程函數(shù)的能量不有限，咋整。簡單，讓這信號(hào)先衰減，我們看看衰減后能不能整傅爺變換。于是乎，基于傅爺變換的推廣，拉爺變換誕生了s=σ+ωj，函數(shù)（或信號(hào)）x(t)拉爺變換等于0到+∞上x(t)對(duì)e(-st)=e(-(σ+ωj)t)的積分變換。剛才說過傅爺變換是在e(jωt)的正交基函數(shù)，s平面的虛軸上展開的，從而類比可以看出拉爺變換是在整個(gè)復(fù)平面上e(-st)核函數(shù)展開的。同時(shí)因?yàn)閑(-st)=e(-(σ+ωj)t)，復(fù)平面坐標(biāo)下σ就是實(shí)軸，ωj是虛軸就是傅爺分析的頻率。σ這項(xiàng)的引入就是e(-σt)，就是給x(t)乘上一個(gè)多大的隨時(shí)間自然衰減的量才使那些物理世界中能量無限的物理過程可以被傅爺分析搞定的，拉爺變換就是對(duì)x(t)乘以e(-σt)衰減項(xiàng)后在積分域0到+∞的傅爺變換。

還有一點(diǎn)就是拉爺變換中0到+∞上的積分上下限隱含了這是一個(gè)因果系統(tǒng)的，整個(gè)宇宙就是因果的（2011年有幾個(gè)歐洲物理學(xué)家說發(fā)現(xiàn)超過光速有質(zhì)量的粒子就是反因果律的，最后結(jié)果證明他們是錯(cuò)誤的。這是必須的，如果這個(gè)世界不是因果的，那還有天理沒有）。從e(jωt)，e(-st)，e(-(σ+ωj)）到e(-σt)*e(-ωj)t，這里面的e和j真是太神奇了，所以如果時(shí)光倒流，而且假如我們能見到傅爺、拉爺他們，忽悠大談崇敬之情時(shí)，他們可能會(huì)這么謙虛淡定的說到，“我們還行吧，那是因?yàn)槲覀冋驹诹舜笈W爺和柯爺?shù)募绨蛏狭?，而歐爺和和柯爺又站在其他一群牛爺?shù)募绨蛏系摹薄?/p>

再回到開始，復(fù)習(xí)一下，拉爺變換與傅爺變換從純數(shù)學(xué)角度看有兩項(xiàng)不同：1，積分變換的核函數(shù)不一樣；2，積分上下限不一樣。第1項(xiàng)，由于引入了e(-σt)項(xiàng)從而使原來無法分析的信號(hào)也可以用傅爺分析了，并且引入判定被分析函數(shù)的收斂域，零極點(diǎn)，這可就是系統(tǒng)中的穩(wěn)定性?。坏?項(xiàng)，0到+∞上的積分上下限蘊(yùn)含了因果系統(tǒng)的必要條件，這可是數(shù)學(xué)模型可物理實(shí)現(xiàn)的前提啊，因果系統(tǒng)的必要條件是其系統(tǒng)時(shí)域沖擊響應(yīng)函數(shù)的定義域必須是從0開始的；而時(shí)域沖擊響應(yīng)函數(shù)的拉爺變換就是系統(tǒng)傳遞函數(shù)。拉爺變換中這兩項(xiàng)不同正是為了將修正后的傅爺變換用于現(xiàn)實(shí)應(yīng)用中的目的所在之處，太神奇了吧！??！
類似于傅爺分析，拉爺分析可粗淺的理解為將拉爺變換應(yīng)用于線性時(shí)不變系統(tǒng)后，研究系統(tǒng)輸入激勵(lì)x(t):X(s)，系統(tǒng)函數(shù)h(t):H(s)及輸出響應(yīng)y(t):Y(s)三者間的關(guān)系，加上沖擊函數(shù)和卷積公式，完美的一塌糊涂啊。
有了上面關(guān)于拉爺變換的介紹，尤其e(-σt)和0到+∞上的積分上下限這兩項(xiàng)的物理意義，在加上諸多描述客觀世界變換規(guī)律的，難以在時(shí)域求解的微分方程，通過傅爺變換后化成s域的代數(shù)方程，求解后再逆變換成我們客觀世界時(shí)域的解。在所以拉爺分析在控制（或系統(tǒng)）論中對(duì)于系統(tǒng)穩(wěn)定性的分析以及在系統(tǒng)設(shè)計(jì)中的應(yīng)用絕對(duì)是一把鋒利無比的快刀，對(duì)于像我等這樣的一般工程師來講有此利刃在手，咱即使內(nèi)功差點(diǎn)也可以仗劍行天涯了，相對(duì)原來可是強(qiáng)大的一塌糊涂了?。」こ滔到y(tǒng)設(shè)計(jì)中，要選擇適當(dāng)σ來保證系統(tǒng)是穩(wěn)定(用數(shù)學(xué)講就是收斂)的、是可物理實(shí)現(xiàn)（因果）的，至于零極點(diǎn)分析也是這個(gè)道理的。其實(shí)傅（拉）爺分析是像我這樣的一般普通工程師的工程世界觀基礎(chǔ)的，一般工程世界里啥東東不都可以忽悠成：輸入激勵(lì)，系統(tǒng)，輸出響應(yīng)這三部分的；如果是控制，可能需要再加入一項(xiàng)反饋項(xiàng)，但是如果把反饋項(xiàng)再劃到系統(tǒng)中變成一個(gè)新系統(tǒng)一起看，還是一樣的。

離散域的說明：
至于DFS，DTFT，DFT，ZT都是計(jì)算機(jī)這偉大的機(jī)器誕生后由于應(yīng)用的需要，是模數(shù)數(shù)模轉(zhuǎn)換技術(shù)加計(jì)算機(jī)技術(shù)，讓時(shí)間連續(xù)過程可離散化后（也可離散轉(zhuǎn)連續(xù)）傅（拉）爺變換在時(shí)間離散域的對(duì)應(yīng)形式而已（對(duì)于實(shí)際的模數(shù)過程，數(shù)字信號(hào)處理，還存在一個(gè)量化誤差積累的問題）。但是必須要提的是，DFT和奈氏采樣定理一起解決了時(shí)域有限采樣點(diǎn)數(shù)據(jù)和頻域有限點(diǎn)數(shù)據(jù)能夠正確的完成傅爺變換表示的問題（其中意義相當(dāng)牛牛牛的啊，要是沒這，數(shù)字信號(hào)處理耍不動(dòng)的！?。。?/strong>；同時(shí)FFT的出現(xiàn)是將傅（拉）爺變換的應(yīng)用真正落到了實(shí)處。要說思想的話，這些離散域的變換都是基于傅（拉）爺變換基礎(chǔ)之上的，如果你理解了傅（拉）爺變換，這些離散域變換的理解用數(shù)學(xué)證明一句常用說法，這是“顯然”的，顯而易見的。

附帶講述：

對(duì)于像我這樣從事工程技術(shù)的普通工程師來講，“輸入激勵(lì)，系統(tǒng)，輸出響應(yīng)”這個(gè)工程學(xué)世界觀就是我們所見到的力學(xué)中的三個(gè)基本問題：

1，知道系統(tǒng)和輸出響應(yīng)求輸入，這是控制問題；

2，知道輸入激勵(lì)和系統(tǒng)求輸出，這是預(yù)測問題；

3，知道輸入激勵(lì)，輸出響應(yīng)求系統(tǒng)，這是系統(tǒng)設(shè)計(jì)問題。

我說的力學(xué)是指理論力學(xué)（各種常偏微分方程）、熱統(tǒng)力學(xué)（宏觀熱傳導(dǎo)方程，微觀的各種分布）、電動(dòng)力學(xué)（麥?zhǔn)宸匠探M）和量子力學(xué)（薛哥方程，波函數(shù)）四大力學(xué)；奧，忘記了，光學(xué)中還有個(gè)傅里葉光學(xué)了。這一下不就讓傅（拉）爺分析來了個(gè)力學(xué)、熱學(xué)、光學(xué)、電磁學(xué)和原子物理學(xué)各科大滿貫通吃了。世界是運(yùn)動(dòng)變化的，整個(gè)宇宙都是振動(dòng)的，這樣一下，傅（拉）爺分析的應(yīng)用可以無處不在??！

至于這些具體學(xué)科中的物理意義自己去琢磨一下吧，用句數(shù)學(xué)方程上的術(shù)語來講，通解都整給你了，特解你根據(jù)邊界值的界定自己整整吧。鑰匙都塞到你手里，哥們你就自己開開鎖，進(jìn)自己的家門吧！

所以對(duì)于大多數(shù)像我一樣的晚輩們來講，建議有牛人有機(jī)會(huì)去法國的話要拜拜這兩位大牛爺?shù)模〉苌现?。尤其類似于我這樣的一般普通工程師們，現(xiàn)在整的好多東東其實(shí)是數(shù)十年甚至百年前物理學(xué)家耍過的試驗(yàn)，然后變成可重復(fù)的實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證后，最后由我等集大成，利用其他眾多工程前輩基礎(chǔ)之上的當(dāng)前工業(yè)技術(shù)把這些諸多“實(shí)驗(yàn)儀器”的諸多種功能融合到一起，變成可以工業(yè)化大規(guī)模生產(chǎn)的東東的。我不是說像我這樣的小伙伴們干的事情沒有創(chuàng)造性，只是講，從思想（思路）上我們沒有越過這些牛人前輩的。他們的思想就如同黑夜中一道閃電，瞬間照亮了像我一樣的這些小伙伴們夜行在工程技術(shù)之路上前行的方向；閃電過后，即使黑暗繼續(xù)，但我們可以依向而行，勇往直前。所以，我們盡可能的要以滿懷敬重的態(tài)度來學(xué)習(xí)和思考這些前輩們的知識(shí)思想，從而才能有所繼承和應(yīng)用，如果能發(fā)揚(yáng)那就再好不過了。

再提及一下：

傅(拉)爺分析是基于傅(拉)爺變換的一種分析方法，其中有眾多科學(xué)家牛爺叔哥們和杰出工程師牛爺叔哥們的貢獻(xiàn)的，絕對(duì)不可簡單的等同于傅(拉)爺變換那兩對(duì)四個(gè)公式，其中蘊(yùn)意自己體會(huì)。

傅爺級(jí)數(shù)展開開始也不被同時(shí)代大牛們理解和接受（比如：另外一位拉爺，此拉爺非剛才上述的那個(gè)拉爺，但也是如雷貫耳的大牛爺?shù)模蚝芎唵?，憑直覺上就可以看到最早傅爺級(jí)數(shù)展開時(shí)存在的問題：正弦函數(shù)是連續(xù)的，對(duì)于有些有跳變間斷點(diǎn)的函數(shù)（比如方波）你怎么去疊加了，才能保證在跳變間斷點(diǎn)上也能表示了，如果不能表示那咋整。最后是狄氏給出了答案，就是現(xiàn)在狄氏條件，以及間斷點(diǎn)如何收斂。所以對(duì)于像我這樣的云云眾位小伙伴們來講，曾經(jīng)難以理解傅爺級(jí)數(shù)（變換）的這種經(jīng)歷是必須的啊，但是這不能成為阻礙我們繼承傅(拉)爺分析衣缽理想的借口。困難似彈簧啊，呵呵！

傅爺級(jí)數(shù)的思想是傅爺在研究熱傳導(dǎo)過程中，求解自己整出來的熱傳導(dǎo)偏微分方程，耍分離變量法時(shí)（這是求解常偏微分方程的最基本思想方法之一）引入的；他還破解過古埃及文，所以文史類里有個(gè)專家也叫傅里葉的，但和空想社會(huì)主義的傅里葉不是一個(gè)人，相同的是他們都是法國人，都姓傅里葉；傅爺忽悠過拿破侖，從過政，當(dāng)過顧問以及警察局局長；不過傅爺當(dāng)時(shí)任法蘭西學(xué)院終身秘書時(shí)也曾經(jīng)耽誤過華哥。不怪傅爺啊，華哥你整的那群論在當(dāng)時(shí)真是超前了，你往生之后，大牛劉叔看你文章也花了好幾個(gè)月時(shí)間才理出點(diǎn)頭緒的；還有可能就是，傅爺事務(wù)繁忙根本就沒看到。再就是，假如要是華哥你、貝哥和圖大叔不早點(diǎn)去見上帝，難道你們?nèi)齻€(gè)人要讓上帝現(xiàn)身見你們不成，你們知道的太多了。

拉爺耍數(shù)學(xué)和力學(xué)不說了，地球人都知道??！拉爺關(guān)于哲學(xué)中的機(jī)械唯物主義的思想有機(jī)會(huì)大家可以看看，對(duì)于像我這樣的小伙伴們來講可以開開眼界的。

我是一名從事工程技術(shù)的普通工程師，下面這句話是發(fā)自于我內(nèi)心深處的，雖然對(duì)于有些從事數(shù)學(xué)物理以及其他學(xué)科的牛人們看來覺得有點(diǎn)搞笑，因?yàn)樵诳茖W(xué)之路上你們見到的大牛爺叔哥們太多了，他們可能只是你們學(xué)研之路上匆匆擦肩而過，一面之緣的路人，甚至他們其中有些人的肩膀就是你們落腳之處。但我是想讓像我一樣的其他這些小伙伴們再加深一下印象，我是絕對(duì)是滿懷敬重的態(tài)度的?！案禒?，拉爺太謝謝你們了，晚輩我就拾了你們的點(diǎn)牙慧就可有向于行、民工于世，從而混口飽飯吃了。晚輩叩首了：咚，咚，咚！”

這么帥氣，牛氣和接地氣的公式，必須用傅爺和拉爺最喜歡的浪漫花體作為變換作用符，而且必須要以最完美的對(duì)稱形式寫出來：