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解釋要讓人聽得懂，映射、空間、變換這樣的數(shù)學(xué)術(shù)語(yǔ)，也許211、985的大神能聽得懂，一般學(xué)校的本科生，可能在學(xué)電路原理和模擬電子之前，復(fù)變函數(shù)與積分變換都沒(méi)學(xué)過(guò)，只會(huì)越聽越糊涂。 簡(jiǎn)單的說(shuō)，傅里葉變換也罷，拉普拉斯變換也罷，都是把一個(gè)信號(hào)分解成若干（實(shí)際上可以是無(wú)數(shù)）信號(hào)之和，或者說(shuō)若干信號(hào)疊加的手段。 對(duì)于非周期性信號(hào)，只要是在時(shí)間軸上可積的信號(hào)，簡(jiǎn)單說(shuō)（不嚴(yán)謹(jǐn)）就是橫軸上方信號(hào)曲線所占的面積算正，橫軸下方信號(hào)曲線所占的面積算負(fù)，把所有面積加起來(lái)不是無(wú)窮大，就算這個(gè)信號(hào)可積，例如單個(gè)或者有限個(gè)脈沖信號(hào)就是可積的，因?yàn)槠渌济娣e加起來(lái)是有限的。對(duì)于周期性的信號(hào)，例如一定頻率的交流或者脈沖信號(hào)，要求在一個(gè)周期內(nèi)是可積的。那么這類信號(hào)，就可以用傅里葉變換分解為若干（無(wú)數(shù)）不同頻率（也包括不同相位）正弦信號(hào)之和，或者說(shuō)相當(dāng)于不同頻率正弦信號(hào)的疊加。 一般RLC電路（線性電路）處理正弦信號(hào)較為容易，因?yàn)閷?duì)于穩(wěn)定的正弦信號(hào)，電阻、感抗和容抗都是固定不變的，那么如果要處理非正弦周期性信號(hào)，只消用傅里葉變換把信號(hào)分解為正弦信號(hào)的疊加，然后按照正弦信號(hào)處理，最后把處理結(jié)果再重新疊加起來(lái)（傅里葉反變換）就行了。 線性電路對(duì)某一頻率正弦信號(hào)，輸出和輸入的關(guān)系，叫做這個(gè)線性電路的頻率響應(yīng)。對(duì)于非正弦周期性信號(hào)，例如矩形波信號(hào)，甚至非周期性信號(hào)，可以使用傅里葉變換把信號(hào)分解為不同頻率正弦信號(hào)的疊加，每個(gè)正弦信號(hào)可以看作非正弦信號(hào)的一個(gè)成分，對(duì)每個(gè)成分求對(duì)應(yīng)頻率下的頻率響應(yīng)，最后疊加起來(lái)，就成了非正弦信號(hào)的響應(yīng)。 也就說(shuō)是，傅里葉變換帶來(lái)的好處，就是把很難處理計(jì)算的非正弦信號(hào)化為容易處理計(jì)算的正弦信號(hào)。 那么拉普拉斯變換呢？如果信號(hào)在時(shí)間軸上不可積，傅里葉變換就不能使用了，但拉普拉斯變換證明，這種信號(hào)雖然不能分解成正弦信號(hào)之和，但仍然有可能分解成幅度（峰值）按照時(shí)間增長(zhǎng)，成指數(shù)規(guī)律增加的正弦信號(hào)之和，也就是若干（無(wú)數(shù)）不同頻率的指數(shù)增幅正弦信號(hào)之和。例如單位階躍信號(hào)在時(shí)間軸上不可積（所占面積無(wú)窮大），傅里葉變換不能用，但拉普拉斯變換卻能用。 拉普拉斯（反）變換中的e^(st)，本質(zhì)就是一種指數(shù)增幅（也包括負(fù)增幅，即衰減）正弦信號(hào)，因?yàn)閟=σ+jω，根據(jù)歐拉公式，e^(st)=e^(σt+jωt)=(e^(σt))(cosωt+jsinωt)=(e^(σt))cosωt+j(e^(σt))sinωt，無(wú)論取其實(shí)部，還是取其虛部，都相當(dāng)于指數(shù)增幅（e^(σt)隨時(shí)間t增加而增長(zhǎng)）正弦信號(hào)。 對(duì)于指數(shù)增幅正弦信號(hào)，線性系統(tǒng)也是容易處理的，因此拉普拉斯變換也可以把很難處理計(jì)算的某些信號(hào)（例如單位階躍信號(hào)）化為容易處理計(jì)算的指數(shù)增幅正弦信號(hào)。 這就是為什么處理沖激響應(yīng)、階躍響應(yīng)等，多用拉普拉斯變換處理的原因。 從上面的分析可以看出，傅里葉變換實(shí)際上可以看作拉普拉斯變換的特例（σ=0的情況），因此傳遞函數(shù)將s換成jω，也就是相當(dāng)于σ=0，就成了頻率響應(yīng)函數(shù)。反過(guò)來(lái)說(shuō)，傳遞函數(shù)就是“指數(shù)增幅（或者衰減）正弦信號(hào)”的“頻率響應(yīng)函數(shù)”，或者叫做“復(fù)頻率響應(yīng)函數(shù)”，“復(fù)頻率”，也就是s，相當(dāng)于“同時(shí)考慮頻率和增幅（或者衰減）系數(shù)”。 說(shuō)白了，傅里葉變換、拉普拉斯變換甚至小波變換等，其本質(zhì)就是把“不容易處理的信號(hào)”變換成“容易處理的信號(hào)之疊加”，對(duì)于傅里葉變換，這個(gè)“容易處理的信號(hào)”是正弦信號(hào)；對(duì)于拉普拉斯變換，這個(gè)“容易處理的信號(hào)”是指數(shù)增幅正弦信號(hào)；對(duì)于小波變換，這個(gè)“容易處理的信號(hào)”就是某種特殊的小波信號(hào)，不同的小波信號(hào)種類，叫做不同的“小波基”。 上述分析是用電路舉例，但用于自控也是一樣的，因?yàn)槎叨寄芑癁橄嗤男盘?hào)流圖。電路和自控在很多內(nèi)容上，數(shù)學(xué)內(nèi)核是相同的，例如運(yùn)放的“虛短”和自控系統(tǒng)中“負(fù)反饋使得余差減小直到趨向于0”的本質(zhì)是完全相同的，想想看為什么？（提示，數(shù)學(xué)本質(zhì)都是負(fù)反饋） |
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