《函數(shù)的單調(diào)性》教案及設(shè)計(jì)說(shuō)明 課 題:函數(shù)的單調(diào)性 教材:人教版全日制普通高級(jí)中學(xué)教科書(shū)(必修)數(shù)學(xué)第一冊(cè)(上)P57—P60 教材: 人教版全日制普通高級(jí)中學(xué)教科書(shū)(必修)數(shù)學(xué)第一冊(cè)( 全日制普通高級(jí)中學(xué)教科書(shū) 第一冊(cè) 授課教師: 授課教師: 北京景山學(xué)校 許云堯 【教學(xué)目標(biāo)】 教學(xué)目標(biāo)】 1.使學(xué)生從形與數(shù)兩方面理解函數(shù)單調(diào)性的概念,初步掌握利用函數(shù)圖象 和單調(diào)性定義判斷,證明函數(shù)單調(diào)性的方法. 2.通過(guò)對(duì)函數(shù)單調(diào)性定義的探究,滲透數(shù)形結(jié)合數(shù)學(xué)思想方法,培養(yǎng)學(xué)生 觀察,歸納,抽象的能力和語(yǔ)言表達(dá)能力;通過(guò)對(duì)函數(shù)單調(diào)性的證明,提高學(xué)生 的推理論證能力. 3.通過(guò)知識(shí)的探究過(guò)程培養(yǎng)學(xué)生細(xì)心觀察,認(rèn)真分析,嚴(yán)謹(jǐn)論證的良好思 維習(xí)慣,讓學(xué)生經(jīng)歷從具體到抽象,從特殊到一般,從感性到理性的認(rèn)知過(guò)程. 【教學(xué)重點(diǎn)】 函數(shù)單調(diào)性的概念,判斷及證明. 教學(xué)重點(diǎn)】 【教學(xué)難點(diǎn)】 歸納抽象函數(shù)單調(diào)性的定義以及根據(jù)定義證明函數(shù)的單調(diào)性. 教學(xué)難點(diǎn)】 【教學(xué)方法】 教師啟發(fā)講授,學(xué)生探究學(xué)習(xí). 教學(xué)方法】 【教學(xué)手段】 計(jì)算機(jī),投影儀. 教學(xué)手段】 【教學(xué)過(guò)程】 教學(xué)過(guò)程】 一,創(chuàng)設(shè)情境,引入課題 創(chuàng)設(shè)情境, 情境 課前布置任務(wù): (1) 由于某種原因,2008 年北京奧運(yùn)會(huì)開(kāi)幕式時(shí)間由原定的 7 月 25 日推遲 到 8 月 8 日,請(qǐng)查閱資料說(shuō)明做出這個(gè)決定的主要原因. (2) 通過(guò)查閱歷史資料研究北京奧運(yùn)會(huì)開(kāi)幕式當(dāng)天氣溫變化情況. 課上通過(guò)交流,可以了解到開(kāi)幕式推遲主要是天氣的原因,北京的天氣到 8 月中旬,平均氣溫,平均降雨量和平均降雨天數(shù)等均開(kāi)始下降,比較適宜大型國(guó) 際體育賽事. 下圖是北京市今年 8 月 8 日一天 24 小時(shí)內(nèi)氣溫隨時(shí)間變化的曲線圖. 第1頁(yè) 共6頁(yè) 《函數(shù)的單調(diào)性》教案及設(shè)計(jì)說(shuō)明 引導(dǎo)學(xué)生識(shí)圖,捕捉信息,啟發(fā)學(xué)生思考. 問(wèn)題:觀察圖形,能得到什么信息? 預(yù)案:(1)當(dāng)天的最高溫度,最低溫度以及何時(shí)達(dá)到; (2)在某時(shí)刻的溫度; (3)某些時(shí)段溫度升高,某些時(shí)段溫度降低. 在生活中,我們關(guān)心很多數(shù)據(jù)的變化規(guī)律,了解這些數(shù)據(jù)的變化規(guī)律,對(duì)我 們的生活是很有幫助的. 問(wèn)題:還能舉出生活中其他的數(shù)據(jù)變化情況嗎? 預(yù)案:水位高低,燃油價(jià)格,股票價(jià)格等. 歸納: 用函數(shù)觀點(diǎn)看, 其實(shí)就是隨著自變量的變化, 函數(shù)值是變大還是變小. 〖設(shè)計(jì)意圖〗由生活情境引入新課,激發(fā)興趣. 〗 二,歸納探索,形成概念 歸納探索,形成概念 對(duì)于自變量變化時(shí), 函數(shù)值是變大還是變小, 初中同學(xué)們就有了一定的認(rèn)識(shí), 但是沒(méi)有嚴(yán)格的定義,今天我們的任務(wù)首先就是建立函數(shù)單調(diào)性的嚴(yán)格定義. 1.借助圖象,直觀感知 借助圖象,直觀感知 問(wèn)題 1:分別作出函數(shù) y = x + 2, y =  x + 2, y = x 2 , y = 自變

量變化時(shí),函數(shù)值有什么變化規(guī)律? 自變量變化時(shí),函數(shù)值有什么變化規(guī)律? y 5 4 3 2 1 -3 -2 -1 O 1 2 -1 1 的圖象, 的圖象,并且觀察 x y 4 3 2 1 x -2 -1 O 1 2 3 -1 -2 -3 -2 -1 O 1 2 3 x -1 x -2 -3 O1 2 3 x -3 -2 -1 -1 6 5 4 3 2 1 y y 3 2 1 預(yù)案: (1)函數(shù) y = x + 2 在整個(gè)定義域內(nèi) y 隨 x 的增大而增大; 函數(shù) y =  x + 2 在整個(gè)定義域內(nèi) y 隨 x 的增大而減小. (2)函數(shù) y = x 2 在 [0,+∞) 上 y 隨 x 的增大而增大,在 (∞,0) 上 y 隨 x 的增大而 減小. (3)函數(shù) y = 減小. 引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行分類描述 (增函數(shù),減函數(shù)).同時(shí)明確函數(shù)的單調(diào)性是對(duì)定 義域內(nèi)某個(gè)區(qū)間而言的,是函數(shù)的局部性質(zhì). 能不能根據(jù)自己的理解說(shuō)說(shuō)什么是增函數(shù),減函數(shù)? 問(wèn)題 2:能不能根據(jù)自己的理解說(shuō)說(shuō)什么是增函數(shù),減函數(shù)? 第2頁(yè) 共6頁(yè) 1 在 (0,+∞) 上 y 隨 x 的增大而減小,在 (∞,0) 上 y 隨 x 的增大而 x 《函數(shù)的單調(diào)性》教案及設(shè)計(jì)說(shuō)明 預(yù)案:如果函數(shù) f ( x) 在某個(gè)區(qū)間上隨自變量 x 的增大,y 也越來(lái)越大,我們 說(shuō)函數(shù) f ( x) 在該區(qū)間上為增函數(shù);如果函數(shù) f ( x) 在某個(gè)區(qū)間上隨自變量 x 的增 大,y 越來(lái)越小,我們說(shuō)函數(shù) f ( x) 在該區(qū)間上為減函數(shù). 教師指出:這種認(rèn)識(shí)是從圖象的角度得到的,是對(duì)函數(shù)單調(diào)性的直觀,描述 性的認(rèn)識(shí). 從圖象直觀感知函數(shù)單調(diào)性, 完成對(duì)函數(shù)單調(diào)性的第一次認(rèn)識(shí) 第一次認(rèn)識(shí). 〖設(shè)計(jì)意圖〗 〗 第一次認(rèn)識(shí) 2.探究規(guī)律,理性認(rèn)識(shí) 探究規(guī)律, 問(wèn)題 1:下圖是函數(shù) y = x + 間為增函數(shù)和減函數(shù)嗎? 間為增函數(shù)和減函數(shù)嗎? y 5 4 3 2 1 2 ( x > 0) 的圖象,能說(shuō)出這個(gè)函數(shù)分別在哪個(gè)區(qū) 的圖象, x O 1 2 3 4 5 6 x 學(xué)生的困難是難以確定分界點(diǎn)的確切位置. 通過(guò)討論,使學(xué)生感受到用函數(shù)圖象判斷函數(shù)單調(diào)性雖然比較直觀,但有時(shí) 不夠精確,需要結(jié)合解析式進(jìn)行嚴(yán)密化,精確化的研究. 〖設(shè)計(jì)意圖〗使學(xué)生體會(huì)到用數(shù)量大小關(guān)系嚴(yán)格表述函數(shù)單調(diào)性的必要性. 〗 如何從解析式的角度 從解析式的角度說(shuō) 為增函數(shù)? 問(wèn)題 2:如何從解析式的角度說(shuō)明 f ( x ) = x 2 在 [0,+∞) 為增函數(shù)? 預(yù)案: (1) 在給定區(qū)間內(nèi)取兩個(gè)數(shù),例如 1 和 2,因?yàn)?12<22,所以 f ( x) = x 2 在 [0,+∞) 為增函數(shù). (2) 仿(1),取很多組驗(yàn)證均滿足,所以 f ( x) = x 2 在 [0,+∞) 為增函數(shù). (3) 任 取 x1 , x 2 ∈ [0,+∞), 且x1 < x 2 , 因 為 x1  x 2 = ( x1 + x 2 )( x1  x 2 ) < 0 , 即 2 2 x1 < x 2 ,所以 f ( x) = x 2 在 [0,+∞) 為增函數(shù). 2 2 對(duì)于學(xué)生錯(cuò)誤的回答,引導(dǎo)學(xué)生分別用圖形語(yǔ)言和文字語(yǔ)言進(jìn)行辨析,使學(xué) 生認(rèn)識(shí)到問(wèn)題的根源在于自變量不可能被窮舉, 從而引導(dǎo)學(xué)生在給定的區(qū)間內(nèi)任 意取兩個(gè)自變量 x1 , x 2 . 〖設(shè)計(jì)意圖〗把對(duì)單調(diào)性的認(rèn)識(shí)由感性上升到理性認(rèn)識(shí)的高度,完成對(duì)概念 〗 的第二次認(rèn)識(shí).事實(shí)上也給出了證明單調(diào)性

的方法,為證明單調(diào)性做好鋪墊. 第二次認(rèn)識(shí) 第二次認(rèn)識(shí) 3.抽象思維,形成概念 抽象思維, 問(wèn)題:你能用準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言表述出增函數(shù)的定義嗎 問(wèn)題:你能用準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言表述出增函數(shù)的定義嗎? 準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言表述出增函數(shù)的定義 師生共同探究,得出增函數(shù)嚴(yán)格的定義,然后學(xué)生類比得出減函數(shù)的定義. 第3頁(yè) 共6頁(yè) 《函數(shù)的單調(diào)性》教案及設(shè)計(jì)說(shuō)明 (1)板書(shū)定義 (2)鞏固概念 判斷題: ①已知f ( x ) = 1 ,因?yàn)閒 ( 1) < f ( 2), 所以函數(shù)f ( x )是增函數(shù) . x ②若函數(shù) f ( x)滿足f (2) < f (3), 則函數(shù)f ( x)在區(qū)間[2, 上為增函數(shù) . 3] ③若函數(shù) f (x) 在區(qū)間 (1,2] 和(2,3)上均為增函數(shù),則函數(shù) f (x) 在區(qū)間(1,3)上 為增函數(shù). ④因?yàn)楹瘮?shù) f ( x ) = 1 1 在區(qū)間 (∞,0)和(0,+∞ ) 上都是減函數(shù),所以 f ( x) = 在 x x (∞,0) ∪ (0,+∞) 上是減函數(shù). 通過(guò)判斷題,強(qiáng)調(diào)三點(diǎn): ①單調(diào)性是對(duì)定義域內(nèi)某個(gè)區(qū)間而言的, 離開(kāi)了定義域和相應(yīng)區(qū)間就談不上 單調(diào)性. ②對(duì)于某個(gè)具體函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,可以是整個(gè)定義域(如一次函數(shù)),可以是 定義域內(nèi)某個(gè)區(qū)間(如二次函數(shù)),也可以根本不單調(diào)(如常函數(shù)). ③函數(shù)在定義域內(nèi)的兩個(gè)區(qū)間 A,B 上都是增(或減)函數(shù),一般不能認(rèn)為函 數(shù)在 A ∪ B 上是增(或減)函數(shù). 思考:如何說(shuō)明一個(gè)函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上不是單調(diào)函數(shù)? 〖設(shè)計(jì)意圖〗讓學(xué)生由特殊到一般,從具體到抽象歸納出單調(diào)性的定義,通 〗 過(guò)對(duì)判斷題的辨析,加深學(xué)生對(duì)定義的理解,完成對(duì)概念的第三次認(rèn)識(shí). 第三次認(rèn)識(shí) 第三次認(rèn)識(shí) 三,掌握證法,適當(dāng)延展 掌握證法 2 例 證明函數(shù) f ( x) = x + 在 ( 2 ,+∞) 上是增函數(shù). x 1.分析解決問(wèn)題 針對(duì)學(xué)生可能出現(xiàn)的問(wèn)題,組織學(xué)生討論,交流. 證明:任取 x1 , x 2 ∈ ( 2 ,+∞), 且x1 < x 2 , 設(shè)元 求差 f ( x1 )  f ( x 2 ) = ( x1 + 2 2 )  ( x2 + ) x1 x2 2 2  ) x1 x 2 = ( x1  x 2 ) + ( 變形 = ( x1  x 2 ) + 2( x 2  x1 ) x1 x 2 第4頁(yè) 共6頁(yè) 《函數(shù)的單調(diào)性》教案及設(shè)計(jì)說(shuō)明 = ( x1  x 2 )(1 2 ) x1 x 2 = ( x1  x 2 ) x1 x 2  2 , x1 x 2 ∵ 2 < x1 < x 2 , 斷號(hào) ∴ x1  x 2 < 0, x1 x 2 > 2, ∴ f ( x1 )  f ( x 2 ) < 0, 即 f ( x1 ) < f ( x 2 ), ∴函數(shù) f ( x) = x + 2.歸納解題步驟 2 在 ( 2 ,+∞) 上是增函數(shù). x 定論 引導(dǎo)學(xué)生歸納證明函數(shù)單調(diào)性的步驟:設(shè)元,作差,變形,斷號(hào),定論. 練習(xí):證明函數(shù) f ( x) = x 在 [0,+∞) 上是增函數(shù). 問(wèn)題:要證明函數(shù) f (x) 在區(qū)間 (a, b) 上是增函數(shù),除了用定義來(lái)證,如果可 以證得對(duì)任意的 x1 , x 2 ∈ (a, b) ,且 x1 ≠ x2 有 f ( x 2 )  f ( x1 ) > 0 可以嗎? x 2  x1 引導(dǎo)學(xué)生分析這種敘述與定義的等價(jià)性.讓學(xué)生嘗試用這種等價(jià)形式證明 函數(shù) f ( x) = x 在 [0,+∞) 上是增函數(shù). 〖設(shè)計(jì)意圖〗初步掌握根據(jù)定義證明函數(shù)單調(diào)性的方法和步驟.等價(jià)形式

進(jìn) 〗 一步發(fā)展可以得到導(dǎo)數(shù)法,為用導(dǎo)數(shù)方法研究函數(shù)單調(diào)性埋下伏筆. 四,歸納小結(jié),提高認(rèn)識(shí) 歸納小結(jié), 學(xué)生交流在本節(jié)課學(xué)習(xí)中的體會(huì),收獲,交流學(xué)習(xí)過(guò)程中的體驗(yàn)和感受,師 生合作共同完成小結(jié). 1.小結(jié) (1) 概念探究過(guò)程:直觀到抽象,特殊到一般,感性到理性. (2) 證明方法和步驟:設(shè)元,作差,變形,斷號(hào),定論. (3) 數(shù)學(xué)思想方法和思維方法:數(shù)形結(jié)合,等價(jià)轉(zhuǎn)化,類比等. 2.作業(yè) 書(shū)面作業(yè):課本第 60 頁(yè) 課后探究: 習(xí)題 2.3 第 4,5,6 題. (1) 證 明 : 函 數(shù) f (x) 在 區(qū) 間 (a, b) 上 是 增 函 數(shù) 的 充 要 條 件 是 對(duì) 任 意 的 第5頁(yè) 共6頁(yè) 《函數(shù)的單調(diào)性》教案及設(shè)計(jì)說(shuō)明 x, x + h ∈ (a, b) ,且 h ≠ 0, 有 f ( x + h)  f ( x ) > 0. h (2) 研究函數(shù) y = x + 1 ( x > 0) 的單調(diào)性,并結(jié)合描點(diǎn)法畫(huà)出函數(shù)的草圖. x 函數(shù)的單調(diào)性》 《函數(shù)的單調(diào)性》教學(xué)設(shè)計(jì)說(shuō)明 一,教學(xué)內(nèi)容的分析 函數(shù)的單調(diào)性是學(xué)生在了解函數(shù)概念后學(xué)習(xí)的函數(shù)的第一個(gè)性質(zhì), 是函數(shù)學(xué) 習(xí)中第一個(gè)用數(shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言刻畫(huà)的概念, 為進(jìn)一步學(xué)習(xí)函數(shù)其它性質(zhì)提供了方法 依據(jù). 對(duì)于函數(shù)單調(diào)性,學(xué)生的認(rèn)知困難主要在兩個(gè)方面: (1)要求用準(zhǔn)確的數(shù)學(xué) 符號(hào)語(yǔ)言去刻畫(huà)圖象的上升與下降,這種由形到數(shù)的翻譯,從直觀到抽象的轉(zhuǎn)變 對(duì)高一的學(xué)生是比較困難的; (2)單調(diào)性的證明是學(xué)生在函數(shù)內(nèi)容中首次接觸到 的代數(shù)論證內(nèi)容,而學(xué)生在代數(shù)方面的推理論證能力是比較薄弱的.根據(jù)以上的 分析和教學(xué)大綱的要求,確定了本節(jié)課的重點(diǎn)和難點(diǎn). 二,教學(xué)目標(biāo)的確定 根據(jù)本課教材的特點(diǎn),教學(xué)大綱對(duì)本節(jié)課的教學(xué)要求以及學(xué)生的認(rèn)知水平, 從三個(gè)不同的方面確定了教學(xué)目標(biāo), 重視單調(diào)性概念的形成過(guò)程和對(duì)概念本質(zhì)的 認(rèn)識(shí);強(qiáng)調(diào)判斷,證明函數(shù)單調(diào)性的方法的落實(shí)以及數(shù)形結(jié)合思想的滲透;突出 語(yǔ)言表達(dá)能力,推理論證能力的培養(yǎng)和良好思維習(xí)慣的養(yǎng)成. 三,教學(xué)方法和教學(xué)手段的選擇 本節(jié)課是函數(shù)單調(diào)性的起始課,采用教師啟發(fā)講授,學(xué)生探究學(xué)習(xí)的教學(xué)方 法,通過(guò)創(chuàng)設(shè)情境,引導(dǎo)探究,師生交流,最終形成概念,獲得方法.本節(jié)課使 用了多媒體投影和計(jì)算機(jī)來(lái)輔助教學(xué),目的是充分發(fā)揮其快捷,生動(dòng),形象的特 點(diǎn),為學(xué)生提供直觀感性的材料,有助于學(xué)生對(duì)問(wèn)題的理解和認(rèn)識(shí). 四,教學(xué)過(guò)程的設(shè)計(jì) 為達(dá)到本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo), 突出重點(diǎn), 突破難點(diǎn), 教學(xué)上采取了以下的措施: (1)在探索概念階段, 讓學(xué)生經(jīng)歷從直觀到抽象,從特殊到一般,從感性 到理性的認(rèn)知過(guò)程,完成對(duì)單調(diào)性定義的三次認(rèn)識(shí),使得學(xué)生對(duì)概念的認(rèn)識(shí)不斷 深入. (2)在應(yīng)用概念階段, 通過(guò)對(duì)證明過(guò)程的分析,幫助學(xué)生掌握用定義證明 函數(shù)單調(diào)性的方法和步驟. (3)考慮到我校學(xué)生數(shù)學(xué)基礎(chǔ)較好,思維較為活躍

的特點(diǎn),對(duì)判斷方法進(jìn) 行適當(dāng)?shù)难诱?加深對(duì)定義的理解,同時(shí)也為用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性埋下伏筆. 第6頁(yè) 共6頁(yè) ?

《函數(shù)的單調(diào)性》教案及設(shè)計(jì)說(shuō)明 課 題:函數(shù)的單調(diào)性 教材:人教版全日制普通高級(jí)中學(xué)教科書(shū)(必修)數(shù)學(xué)第一冊(cè)(上)P57—P60 教材: 人教版全日制普通高級(jí)中學(xué)教科書(shū)(必修)數(shù)學(xué)第一冊(cè)( 全日制普通高級(jí)中學(xué)教科書(shū) 第一冊(cè) 授課教師: 授課教師: 北京景山學(xué)校 許云堯 【教學(xué)目標(biāo)】 教學(xué)目標(biāo)】 1.使學(xué)生從形與數(shù)兩方面理解函數(shù)單調(diào)性的概念,初步掌握利用函數(shù)圖象 和單調(diào)性定義判斷,證明函數(shù)單調(diào)性的方法. 2.通過(guò)對(duì)函數(shù)單調(diào)性定義的探究,滲透數(shù)形結(jié)合數(shù)學(xué)思想方法,培養(yǎng)學(xué)生 觀察,歸納,抽象的能力和語(yǔ)言表達(dá)能力;通過(guò)對(duì)函數(shù)單調(diào)性的證明,提高學(xué)生 的推理論證能力. 3.通過(guò)知識(shí)的探究過(guò)程培養(yǎng)學(xué)生細(xì)心觀察,認(rèn)真分析,嚴(yán)謹(jǐn)論證的良好思 維習(xí)慣,讓學(xué)生經(jīng)歷從具體到抽象,從特殊到一般,從感性到理性的認(rèn)知過(guò)程. 【教學(xué)重點(diǎn)】 函數(shù)單調(diào)性的概念,判斷及證明. 教學(xué)重點(diǎn)】 【教學(xué)難點(diǎn)】 歸納抽象函數(shù)單調(diào)性的定義以及根據(jù)定義證明函數(shù)的單調(diào)性. 教學(xué)難點(diǎn)】 【教學(xué)方法】 教師啟發(fā)講授,學(xué)生探究學(xué)習(xí). 教學(xué)方法】 【教學(xué)手段】 計(jì)算機(jī),投影儀. 教學(xué)手段】 【教學(xué)過(guò)程】 教學(xué)過(guò)程】 一,創(chuàng)設(shè)情境,引入課題 創(chuàng)設(shè)情境, 情境 課前布置任務(wù): (1) 由于某種原因,2008 年北京奧運(yùn)會(huì)開(kāi)幕式時(shí)間由原定的 7 月 25 日推遲 到 8 月 8 日,請(qǐng)查閱資料說(shuō)明做出這個(gè)決定的主要原因. (2) 通過(guò)查閱歷史資料研究北京奧運(yùn)會(huì)開(kāi)幕式當(dāng)天氣溫變化情況. 課上通過(guò)交流,可以了解到開(kāi)幕式推遲主要是天氣的原因,北京的天氣到 8 月中旬,平均氣溫,平均降雨量和平均降雨天數(shù)等均開(kāi)始下降,比較適宜大型國(guó) 際體育賽事. 下圖是北京市今年 8 月 8 日一天 24 小時(shí)內(nèi)氣溫隨時(shí)間變化的曲線圖. 第1頁(yè) 共6頁(yè) 《函數(shù)的單調(diào)性》教案及設(shè)計(jì)說(shuō)明 引導(dǎo)學(xué)生識(shí)圖,捕捉信息,啟發(fā)學(xué)生思考. 問(wèn)題:觀察圖形,能得到什么信息? 預(yù)案:(1)當(dāng)天的最高溫度,最低溫度以及何時(shí)達(dá)到; (2)在某時(shí)刻的溫度; (3)某些時(shí)段溫度升高,某些時(shí)段溫度降低. 在生活中,我們關(guān)心很多數(shù)據(jù)的變化規(guī)律,了解這些數(shù)據(jù)的變化規(guī)律,對(duì)我 們的生活是很有幫助的. 問(wèn)題:還能舉出生活中其他的數(shù)據(jù)變化情況嗎? 預(yù)案:水位高低,燃油價(jià)格,股票價(jià)格等. 歸納: 用函數(shù)觀點(diǎn)看, 其實(shí)就是隨著自變量的變化, 函數(shù)值是變大還是變小. 〖設(shè)計(jì)意圖〗由生活情境引入新課,激發(fā)興趣. 〗 二,歸納探索,形成概念 歸納探索,形成概念 對(duì)于自變量變化時(shí), 函數(shù)值是變大還是變小, 初中同學(xué)們就有了一定的認(rèn)識(shí), 但是沒(méi)有嚴(yán)格的定義,今天我們的任務(wù)首先就是建立函數(shù)單調(diào)性的嚴(yán)格定義. 1.借助圖象,直觀感知 借助圖象,直觀感知 問(wèn)題 1:分別作出函數(shù) y = x + 2, y =  x + 2, y = x 2 , y = 自變

量變化時(shí),函數(shù)值有什么變化規(guī)律? 自變量變化時(shí),函數(shù)值有什么變化規(guī)律? y 5 4 3 2 1 -3 -2 -1 O 1 2 -1 1 的圖象, 的圖象,并且觀察 x y 4 3 2 1 x -2 -1 O 1 2 3 -1 -2 -3 -2 -1 O 1 2 3 x -1 x -2 -3 O1 2 3 x -3 -2 -1 -1 6 5 4 3 2 1 y y 3 2 1 預(yù)案: (1)函數(shù) y = x + 2 在整個(gè)定義域內(nèi) y 隨 x 的增大而增大; 函數(shù) y =  x + 2 在整個(gè)定義域內(nèi) y 隨 x 的增大而減小. (2)函數(shù) y = x 2 在 [0,+∞) 上 y 隨 x 的增大而增大,在 (∞,0) 上 y 隨 x 的增大而 減小. (3)函數(shù) y = 減小. 引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行分類描述 (增函數(shù),減函數(shù)).同時(shí)明確函數(shù)的單調(diào)性是對(duì)定 義域內(nèi)某個(gè)區(qū)間而言的,是函數(shù)的局部性質(zhì). 能不能根據(jù)自己的理解說(shuō)說(shuō)什么是增函數(shù),減函數(shù)? 問(wèn)題 2:能不能根據(jù)自己的理解說(shuō)說(shuō)什么是增函數(shù),減函數(shù)? 第2頁(yè) 共6頁(yè) 1 在 (0,+∞) 上 y 隨 x 的增大而減小,在 (∞,0) 上 y 隨 x 的增大而 x 《函數(shù)的單調(diào)性》教案及設(shè)計(jì)說(shuō)明 預(yù)案:如果函數(shù) f ( x) 在某個(gè)區(qū)間上隨自變量 x 的增大,y 也越來(lái)越大,我們 說(shuō)函數(shù) f ( x) 在該區(qū)間上為增函數(shù);如果函數(shù) f ( x) 在某個(gè)區(qū)間上隨自變量 x 的增 大,y 越來(lái)越小,我們說(shuō)函數(shù) f ( x) 在該區(qū)間上為減函數(shù). 教師指出:這種認(rèn)識(shí)是從圖象的角度得到的,是對(duì)函數(shù)單調(diào)性的直觀,描述 性的認(rèn)識(shí). 從圖象直觀感知函數(shù)單調(diào)性, 完成對(duì)函數(shù)單調(diào)性的第一次認(rèn)識(shí) 第一次認(rèn)識(shí). 〖設(shè)計(jì)意圖〗 〗 第一次認(rèn)識(shí) 2.探究規(guī)律,理性認(rèn)識(shí) 探究規(guī)律, 問(wèn)題 1:下圖是函數(shù) y = x + 間為增函數(shù)和減函數(shù)嗎? 間為增函數(shù)和減函數(shù)嗎? y 5 4 3 2 1 2 ( x > 0) 的圖象,能說(shuō)出這個(gè)函數(shù)分別在哪個(gè)區(qū) 的圖象, x O 1 2 3 4 5 6 x 學(xué)生的困難是難以確定分界點(diǎn)的確切位置. 通過(guò)討論,使學(xué)生感受到用函數(shù)圖象判斷函數(shù)單調(diào)性雖然比較直觀,但有時(shí) 不夠精確,需要結(jié)合解析式進(jìn)行嚴(yán)密化,精確化的研究. 〖設(shè)計(jì)意圖〗使學(xué)生體會(huì)到用數(shù)量大小關(guān)系嚴(yán)格表述函數(shù)單調(diào)性的必要性. 〗 如何從解析式的角度 從解析式的角度說(shuō) 為增函數(shù)? 問(wèn)題 2:如何從解析式的角度說(shuō)明 f ( x ) = x 2 在 [0,+∞) 為增函數(shù)? 預(yù)案: (1) 在給定區(qū)間內(nèi)取兩個(gè)數(shù),例如 1 和 2,因?yàn)?12<22,所以 f ( x) = x 2 在 [0,+∞) 為增函數(shù). (2) 仿(1),取很多組驗(yàn)證均滿足,所以 f ( x) = x 2 在 [0,+∞) 為增函數(shù). (3) 任 取 x1 , x 2 ∈ [0,+∞), 且x1 < x 2 , 因 為 x1  x 2 = ( x1 + x 2 )( x1  x 2 ) < 0 , 即 2 2 x1 < x 2 ,所以 f ( x) = x 2 在 [0,+∞) 為增函數(shù). 2 2 對(duì)于學(xué)生錯(cuò)誤的回答,引導(dǎo)學(xué)生分別用圖形語(yǔ)言和文字語(yǔ)言進(jìn)行辨析,使學(xué) 生認(rèn)識(shí)到問(wèn)題的根源在于自變量不可能被窮舉, 從而引導(dǎo)學(xué)生在給定的區(qū)間內(nèi)任 意取兩個(gè)自變量 x1 , x 2 . 〖設(shè)計(jì)意圖〗把對(duì)單調(diào)性的認(rèn)識(shí)由感性上升到理性認(rèn)識(shí)的高度,完成對(duì)概念 〗 的第二次認(rèn)識(shí).事實(shí)上也給出了證明單調(diào)性

的方法,為證明單調(diào)性做好鋪墊. 第二次認(rèn)識(shí) 第二次認(rèn)識(shí) 3.抽象思維,形成概念 抽象思維, 問(wèn)題:你能用準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言表述出增函數(shù)的定義嗎 問(wèn)題:你能用準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言表述出增函數(shù)的定義嗎? 準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言表述出增函數(shù)的定義 師生共同探究,得出增函數(shù)嚴(yán)格的定義,然后學(xué)生類比得出減函數(shù)的定義. 第3頁(yè) 共6頁(yè) 《函數(shù)的單調(diào)性》教案及設(shè)計(jì)說(shuō)明 (1)板書(shū)定義 (2)鞏固概念 判斷題: ①已知f ( x ) = 1 ,因?yàn)閒 ( 1) < f ( 2), 所以函數(shù)f ( x )是增函數(shù) . x ②若函數(shù) f ( x)滿足f (2) < f (3), 則函數(shù)f ( x)在區(qū)間[2, 上為增函數(shù) . 3] ③若函數(shù) f (x) 在區(qū)間 (1,2] 和(2,3)上均為增函數(shù),則函數(shù) f (x) 在區(qū)間(1,3)上 為增函數(shù). ④因?yàn)楹瘮?shù) f ( x ) = 1 1 在區(qū)間 (∞,0)和(0,+∞ ) 上都是減函數(shù),所以 f ( x) = 在 x x (∞,0) ∪ (0,+∞) 上是減函數(shù). 通過(guò)判斷題,強(qiáng)調(diào)三點(diǎn): ①單調(diào)性是對(duì)定義域內(nèi)某個(gè)區(qū)間而言的, 離開(kāi)了定義域和相應(yīng)區(qū)間就談不上 單調(diào)性. ②對(duì)于某個(gè)具體函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,可以是整個(gè)定義域(如一次函數(shù)),可以是 定義域內(nèi)某個(gè)區(qū)間(如二次函數(shù)),也可以根本不單調(diào)(如常函數(shù)). ③函數(shù)在定義域內(nèi)的兩個(gè)區(qū)間 A,B 上都是增(或減)函數(shù),一般不能認(rèn)為函 數(shù)在 A ∪ B 上是增(或減)函數(shù). 思考:如何說(shuō)明一個(gè)函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上不是單調(diào)函數(shù)? 〖設(shè)計(jì)意圖〗讓學(xué)生由特殊到一般,從具體到抽象歸納出單調(diào)性的定義,通 〗 過(guò)對(duì)判斷題的辨析,加深學(xué)生對(duì)定義的理解,完成對(duì)概念的第三次認(rèn)識(shí). 第三次認(rèn)識(shí) 第三次認(rèn)識(shí) 三,掌握證法,適當(dāng)延展 掌握證法 2 例 證明函數(shù) f ( x) = x + 在 ( 2 ,+∞) 上是增函數(shù). x 1.分析解決問(wèn)題 針對(duì)學(xué)生可能出現(xiàn)的問(wèn)題,組織學(xué)生討論,交流. 證明:任取 x1 , x 2 ∈ ( 2 ,+∞), 且x1 < x 2 , 設(shè)元 求差 f ( x1 )  f ( x 2 ) = ( x1 + 2 2 )  ( x2 + ) x1 x2 2 2  ) x1 x 2 = ( x1  x 2 ) + ( 變形 = ( x1  x 2 ) + 2( x 2  x1 ) x1 x 2 第4頁(yè) 共6頁(yè) 《函數(shù)的單調(diào)性》教案及設(shè)計(jì)說(shuō)明 = ( x1  x 2 )(1 2 ) x1 x 2 = ( x1  x 2 ) x1 x 2  2 , x1 x 2 ∵ 2 < x1 < x 2 , 斷號(hào) ∴ x1  x 2 < 0, x1 x 2 > 2, ∴ f ( x1 )  f ( x 2 ) < 0, 即 f ( x1 ) < f ( x 2 ), ∴函數(shù) f ( x) = x + 2.歸納解題步驟 2 在 ( 2 ,+∞) 上是增函數(shù). x 定論 引導(dǎo)學(xué)生歸納證明函數(shù)單調(diào)性的步驟:設(shè)元,作差,變形,斷號(hào),定論. 練習(xí):證明函數(shù) f ( x) = x 在 [0,+∞) 上是增函數(shù). 問(wèn)題:要證明函數(shù) f (x) 在區(qū)間 (a, b) 上是增函數(shù),除了用定義來(lái)證,如果可 以證得對(duì)任意的 x1 , x 2 ∈ (a, b) ,且 x1 ≠ x2 有 f ( x 2 )  f ( x1 ) > 0 可以嗎? x 2  x1 引導(dǎo)學(xué)生分析這種敘述與定義的等價(jià)性.讓學(xué)生嘗試用這種等價(jià)形式證明 函數(shù) f ( x) = x 在 [0,+∞) 上是增函數(shù). 〖設(shè)計(jì)意圖〗初步掌握根據(jù)定義證明函數(shù)單調(diào)性的方法和步驟.等價(jià)形式

進(jìn) 〗 一步發(fā)展可以得到導(dǎo)數(shù)法,為用導(dǎo)數(shù)方法研究函數(shù)單調(diào)性埋下伏筆. 四,歸納小結(jié),提高認(rèn)識(shí) 歸納小結(jié), 學(xué)生交流在本節(jié)課學(xué)習(xí)中的體會(huì),收獲,交流學(xué)習(xí)過(guò)程中的體驗(yàn)和感受,師 生合作共同完成小結(jié). 1.小結(jié) (1) 概念探究過(guò)程:直觀到抽象,特殊到一般,感性到理性. (2) 證明方法和步驟:設(shè)元,作差,變形,斷號(hào),定論. (3) 數(shù)學(xué)思想方法和思維方法:數(shù)形結(jié)合,等價(jià)轉(zhuǎn)化,類比等. 2.作業(yè) 書(shū)面作業(yè):課本第 60 頁(yè) 課后探究: 習(xí)題 2.3 第 4,5,6 題. (1) 證 明 : 函 數(shù) f (x) 在 區(qū) 間 (a, b) 上 是 增 函 數(shù) 的 充 要 條 件 是 對(duì) 任 意 的 第5頁(yè) 共6頁(yè) 《函數(shù)的單調(diào)性》教案及設(shè)計(jì)說(shuō)明 x, x + h ∈ (a, b) ,且 h ≠ 0, 有 f ( x + h)  f ( x ) > 0. h (2) 研究函數(shù) y = x + 1 ( x > 0) 的單調(diào)性,并結(jié)合描點(diǎn)法畫(huà)出函數(shù)的草圖. x 函數(shù)的單調(diào)性》 《函數(shù)的單調(diào)性》教學(xué)設(shè)計(jì)說(shuō)明 一,教學(xué)內(nèi)容的分析 函數(shù)的單調(diào)性是學(xué)生在了解函數(shù)概念后學(xué)習(xí)的函數(shù)的第一個(gè)性質(zhì), 是函數(shù)學(xué) 習(xí)中第一個(gè)用數(shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言刻畫(huà)的概念, 為進(jìn)一步學(xué)習(xí)函數(shù)其它性質(zhì)提供了方法 依據(jù). 對(duì)于函數(shù)單調(diào)性,學(xué)生的認(rèn)知困難主要在兩個(gè)方面: (1)要求用準(zhǔn)確的數(shù)學(xué) 符號(hào)語(yǔ)言去刻畫(huà)圖象的上升與下降,這種由形到數(shù)的翻譯,從直觀到抽象的轉(zhuǎn)變 對(duì)高一的學(xué)生是比較困難的; (2)單調(diào)性的證明是學(xué)生在函數(shù)內(nèi)容中首次接觸到 的代數(shù)論證內(nèi)容,而學(xué)生在代數(shù)方面的推理論證能力是比較薄弱的.根據(jù)以上的 分析和教學(xué)大綱的要求,確定了本節(jié)課的重點(diǎn)和難點(diǎn). 二,教學(xué)目標(biāo)的確定 根據(jù)本課教材的特點(diǎn),教學(xué)大綱對(duì)本節(jié)課的教學(xué)要求以及學(xué)生的認(rèn)知水平, 從三個(gè)不同的方面確定了教學(xué)目標(biāo), 重視單調(diào)性概念的形成過(guò)程和對(duì)概念本質(zhì)的 認(rèn)識(shí);強(qiáng)調(diào)判斷,證明函數(shù)單調(diào)性的方法的落實(shí)以及數(shù)形結(jié)合思想的滲透;突出 語(yǔ)言表達(dá)能力,推理論證能力的培養(yǎng)和良好思維習(xí)慣的養(yǎng)成. 三,教學(xué)方法和教學(xué)手段的選擇 本節(jié)課是函數(shù)單調(diào)性的起始課,采用教師啟發(fā)講授,學(xué)生探究學(xué)習(xí)的教學(xué)方 法,通過(guò)創(chuàng)設(shè)情境,引導(dǎo)探究,師生交流,最終形成概念,獲得方法.本節(jié)課使 用了多媒體投影和計(jì)算機(jī)來(lái)輔助教學(xué),目的是充分發(fā)揮其快捷,生動(dòng),形象的特 點(diǎn),為學(xué)生提供直觀感性的材料,有助于學(xué)生對(duì)問(wèn)題的理解和認(rèn)識(shí). 四,教學(xué)過(guò)程的設(shè)計(jì) 為達(dá)到本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo), 突出重點(diǎn), 突破難點(diǎn), 教學(xué)上采取了以下的措施: (1)在探索概念階段, 讓學(xué)生經(jīng)歷從直觀到抽象,從特殊到一般,從感性 到理性的認(rèn)知過(guò)程,完成對(duì)單調(diào)性定義的三次認(rèn)識(shí),使得學(xué)生對(duì)概念的認(rèn)識(shí)不斷 深入. (2)在應(yīng)用概念階段, 通過(guò)對(duì)證明過(guò)程的分析,幫助學(xué)生掌握用定義證明 函數(shù)單調(diào)性的方法和步驟. (3)考慮到我校學(xué)生數(shù)學(xué)基礎(chǔ)較好,思維較為活躍

的特點(diǎn),對(duì)判斷方法進(jìn) 行適當(dāng)?shù)难诱?加深對(duì)定義的理解,同時(shí)也為用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性埋下伏筆. 第6頁(yè) 共6頁(yè) ?

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