摘　要：函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)的一條重要性質(zhì)，本文概括、總結(jié)了五種方法判斷函數(shù)的單調(diào)性. 同時對每種方法的特點及適用范圍、注意事項采用舉例的方式作了具體的介紹，這有助于讀者更好地理解和掌握這些方法，從而能輕松的解決有關(guān)函數(shù)單調(diào)性的問題.

關(guān)鍵詞：函數(shù)單調(diào)性；判斷方法；應(yīng)用

On the application of monotone functions

Abstract：Monotonicity of the function is an important function of the nature of this sum, summed up the five methods to determine the function of the monotony, while the characteristics of each method and application, note the use made by way of example the specific introduction, which help readers better understand and master these methods, which can easily solve the problem of monotone functions。

Ked Word：Monotonic function; method to judge; application

函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)的一條重要性質(zhì)，反映了函數(shù)值的變化規(guī)律. 在高考中歷考彌新，考查的深度遠(yuǎn)遠(yuǎn)高于課本。

在討論函數(shù)單調(diào)性時必須在其定義域內(nèi)進行，因此要研究函數(shù)的單調(diào)性就必須先求函數(shù)的定義域，函數(shù)的單調(diào)區(qū)間是定義域的子集. 接下來我就來談?wù)労瘮?shù)單調(diào)性的應(yīng)用。

一、 函數(shù)單調(diào)性的判別

單調(diào)性是函數(shù)最重要的性質(zhì)之一．導(dǎo)數(shù)的引入雖然給單調(diào)性的研究帶來了極大的方便，但是它并不能解決與單凋性有關(guān)的所有問題．本文結(jié)合近幾年的試題談?wù)勁袛鄦握{(diào)性的幾種方法。．

1.定義法（自變量增大函數(shù)值變小為減函數(shù)；反之，為增函數(shù)）

例1 判斷函數(shù)的單調(diào)性

解   因為==，顯然當(dāng)為正數(shù)且逐漸增加時, 也逐漸增加，則其倒數(shù)逐漸減小，即函數(shù)值逐漸減小，所以函數(shù)在區(qū)間(0，+∞)上為減函數(shù)．

2.函數(shù)變換法

由上面的定義法我們不難得到單調(diào)函數(shù)運算后的一些結(jié)論：在同一個區(qū)間上，若f(x)、g(x)都是單凋增(減)函數(shù)，則f(x)+g(x)也是單凋增(減)函數(shù)；若f(x)單凋遞增，g(x)單凋遞減，則f(x)-g(x)單調(diào)遞增；若f(x)單凋遞減，g(x)單凋遞增，則f(x)-g(x )單調(diào)遞減.

例2  判斷函數(shù) 的單調(diào)性.

解 設(shè)，顯然當(dāng)x>0時，函數(shù)g(x)單凋遞增，而函數(shù)f(x)單調(diào)遞減．由上面的運算法則知函數(shù)f(X)在區(qū)間(0，+∞)上為增函數(shù).

3.復(fù)合函數(shù)法

設(shè)函數(shù)f(x)由兩個函數(shù)g(x)與h(X)復(fù)合而成，則g(x)與h(x)單調(diào)性相同時，f(x)單調(diào)遞增；g( x)與h(x)單調(diào)性不同時，f(x)單調(diào)遞減，即通常所說的同增異減．多層復(fù)合，依此類推．

例3 已知函數(shù)y=f(x)的圖象與函 數(shù)的圖象關(guān)于直線 對稱，記，若y=g(x)在區(qū)間[ 1/2，2]上是增函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍( )

 (A)（０，+∞）     (B)（0，1)U(1，2)    (C)    (D)

解  因為，

所以-1

      取特殊值

令則. 當(dāng)，此時遞增，又函數(shù)g（t）的圖象開口向上，對稱軸為，所以二次函數(shù)g（t）遞增，故函數(shù)g（x）遞增，滿足題意.排除A.同理取特殊值，排除B，C可知選D.

4．作差比較法

根據(jù)定義證明函數(shù)單調(diào)性是判斷函數(shù)單調(diào)性的最重要的方法。其步驟為：(1)設(shè)值：即在單調(diào)區(qū)間上設(shè)出兩個不相等的自變量 、，且< ；(2)比較：即比較)與大小，通常采用作差或作商的方法；(3)判斷：即根據(jù)定義結(jié)合前兩個步驟得出結(jié)論．

例4 (由2001年新課程卷題改編)  設(shè)，求證f(x)在(O，+∞)上是增函數(shù).

證明     設(shè)0<< ，  則- =+-（+）

=（-）+（-）

=（）

由> 0，> 0，-> 0，  + 0，10，1-0

所以-< 0，即)<.從而，f(x)在(0，+∞)上是增函數(shù).

5．等價變形法

根據(jù)單調(diào)性定義，易知增函數(shù)的等價形式是或（-）[ ] 0有時直接用定義判斷函數(shù)單凋性困難較大，采用等價形式則能幫我們化難為易.

例5 設(shè)f(x)是定義在[-1，1]上的奇函數(shù)，且對任意的a、b∈[-1，1]，當(dāng)“a+b≠0時，都有，試判斷單調(diào)性.

解  設(shè)，∈[-1，1]，且<，則-∈ [-1，1]，

依題意有=

     故）在 [-1，1]上是增函數(shù).

二、單調(diào)性在解題中的應(yīng)用

單調(diào)性有廣泛的應(yīng)用，主要用于如下幾個方面：

1.比較兩個數(shù)的大小

例6  比較和的大小

分析 從題設(shè)的兩個對數(shù)，便聯(lián)想起y= 在在(O，+∞)上是單調(diào)增函數(shù)，因此．只要比較兩個真數(shù)的大小，原題就可獲解.  

解    ，解得

  當(dāng)時，有0<<．因函數(shù)y= 在上單調(diào)遞增，故，_.

2.證明與正整數(shù)有關(guān)的命題

例7   已知，且， ，n2  求證_.

證明  構(gòu)造函數(shù)， 因為x>-1且x≠ 0，

故-==

所以，

所以是單調(diào)遞減函數(shù).

3.解方程  

例8   解方程

解               

在它們共同的定義域里，為單調(diào)遞增函數(shù)，為單調(diào)遞減函數(shù)．  

又顯然=，   

所以方程=僅有一解．X=1．故原方程的解是x=1．

4.證明不等式

在證明不等式中，通過聯(lián)想構(gòu)造函數(shù)，將常量作為變量的瞬時狀態(tài)，置于構(gòu)造函數(shù)的單調(diào)區(qū)間內(nèi)，利用其單調(diào)性證明一些不等式，十分便捷．

例9   已知a、b、c∈R ，|a|<1，|b|<1，|c|<1，求證ab+bc+ca+1>0

解  構(gòu)造函數(shù)f(x )=(b+c)x +bc+1，只需證 x∈(-1，1)時f(x)>0恒成立．

當(dāng)b+c=時， =1一b2 >O恒成立．

當(dāng)b+c≠ 0時，一次函數(shù)= (b+c)x+bc+1，在x∈(-1，1)上是單調(diào)的．

因為=bc+b+c+1= (b+1)(c+1)>0，，f(-1)= bc-b-c+1=(b-1)(c-1)>0，

所以=(b+c)x+bc+1在 x∈(-1，1)上恒大于零.

綜上，當(dāng)|a|<1時，(b+c)a+bc+1>0恒成立，從而得證．

例10  已知f(x)為R上的減函數(shù),則滿足的實數(shù)x的取值范圍(  )

A    B     C     D

解析  借助單調(diào)性將不等式轉(zhuǎn)換為自變量應(yīng)滿足的關(guān)系式.很容易可以做出選C.

5.求參數(shù)的取值范圍

例11 已知f(x)是奇函數(shù)，在實數(shù)集R上又是單調(diào)遞減函數(shù)，且時    求t的取值范圍.

分析： 因已知函數(shù)f（x）是奇函數(shù)將已知不等式移項后可得

 根據(jù)是減函數(shù)脫去，然后由式子特征構(gòu)造相應(yīng)單調(diào)函數(shù).

解  <  設(shè)x=sin 0<x<1 化簡：

     -3tx<-1 解得 t>.

6.已知函數(shù)在某區(qū)間上單調(diào)求參數(shù)的取值范圍此類問題的本質(zhì)就是轉(zhuǎn)化為不等式恒成立問題

例12 已知a為實數(shù) 若在和上都是遞增的，求a的取值范圍．

解   在和上非負(fù).

的圖象為開口向上且過點(O，-4)的拋物線，由條件得

      即

所以a的取值范圍為[-2，2].

參考文獻：

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③《新陽光專題攻略》編委會，新陽光專題攻略高中數(shù)學(xué)函數(shù)與數(shù)列[J].北京教育出版社，2007

④傅榮強，講透重點難點高中數(shù)學(xué) 集合與函數(shù)[M].吉林教育出版社，2007