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高二數(shù)學(xué)(天津一中)
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雙曲線方程典例分析 江西省永豐中學(xué) 劉 忠 一、求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程 求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程 或 （a、b>0），通常是利用雙曲線的有關(guān)概念及性質(zhì)再 結(jié)合其它知識(shí)直接求出a、b或利用待定系數(shù)法. 例1 求與雙曲線 有公共漸近線，且過點(diǎn) 的雙曲線的共軛雙曲線方程. 解 令與雙曲線 有公共漸近線的雙曲線系方程為 ，將點(diǎn) 代入，得 ，∴雙曲線方程為 ，由共軛雙曲線的定義，可得此雙曲線的共軛雙曲線方程為 . 評(píng) 此例是“求與已知雙曲線共漸近線的雙曲線方程”類型的題.一般地，與雙曲線 有公共漸近線的雙曲線的方程可設(shè)為 （k?R，且k≠0）；有公共焦點(diǎn)的雙曲線方程可設(shè)為 ，本題用的是待定系數(shù)法. 例2 雙曲線的實(shí)半軸與虛半軸長(zhǎng)的積為 ，它的兩焦點(diǎn)分別為F1、F2，直線 過F2且與直線F1F2的夾角為 ，且 ， 與線段F1F2的垂直平分線的交點(diǎn)為P，線段PF2與雙曲線的交點(diǎn)為Q，且 ，建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求雙曲線的方程. 解 以F1F2的中點(diǎn)為原點(diǎn)，F(xiàn)1、F2所在直線為x軸建立坐標(biāo)系，則所求雙曲線方程為 （a>0，b>0），設(shè)F2（c，0），不妨設(shè) 的方程為 ，它與y軸交點(diǎn) ，由定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式，得Q點(diǎn)的坐標(biāo)為 ，由點(diǎn)Q在雙曲線上可得 ，又 ， ∴ ， ，∴雙曲線方程為 . 評(píng) 此例用的是直接法. 二、雙曲線定義的應(yīng)用 1、第一定義的應(yīng)用 例3 設(shè)F1、F2為雙曲線 的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)P在雙曲線上，且滿足∠F1PF2=900，求ΔF1PF2的面積. 解 由雙曲線的第一定義知， ，兩邊平方，得 . ∵∠F1PF2=900，∴ ， ∴ ， ∴ . 2、第二定義的應(yīng)用 例4 已知雙曲線 的離心率 ，左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2，左準(zhǔn)線為l，能否在雙曲線左支上找到一點(diǎn)P，使 是 P到l的距離d與 的比例中項(xiàng)？ 解 設(shè)存在點(diǎn) ，則 ，由雙曲線的第二定義，得 ， ∴ ， ，又 ， 即 ，解之，得 ， ∵ ， ∴ ， 矛盾，故點(diǎn)P不存在. 評(píng) 以上二例若不用雙曲線的定義得到焦半徑 、 或其關(guān)系，解題過程將復(fù)雜得多. 三、雙曲線性質(zhì)的應(yīng)用 例5 設(shè)雙曲線 （ ）的半焦距為c， 直線l過（a，0）、（0，b）兩點(diǎn)，已知原點(diǎn)到 的距離為 ， 求雙曲線的離心率. 解析 這里求雙曲線的離心率即求 ，是個(gè)幾何問題，怎么把 題目中的條件與之聯(lián)系起來呢？如圖1， ∵ ， ， ，由面積法知ab= ，考慮到 ， 知 即 ，亦即 ，注意到a
四、與雙曲線有關(guān)的軌跡問題 例6 以動(dòng)點(diǎn)P為圓心的圓與⊙A： 及⊙B： 都外切，求點(diǎn)P的軌跡方程. 解 設(shè)動(dòng)點(diǎn)P（x，y），動(dòng)圓半徑為r，由題意知 ， ， . ∴ .∴ ， ，據(jù) 雙曲線的定義知，點(diǎn)P的軌跡是以A、B為焦點(diǎn)的雙曲線的右支，方程為 ： . 例 7 如圖2，從雙曲線 上任一點(diǎn)Q引直線 的垂線，垂足為N，求線段QN的中點(diǎn)P的軌跡方程. 解析 因點(diǎn)P隨Q的運(yùn)動(dòng)而運(yùn)動(dòng)，而點(diǎn)Q在已知雙曲線上， 故可從尋求 Q點(diǎn)的坐標(biāo)與P點(diǎn)的坐標(biāo)之間的關(guān)系入手，用轉(zhuǎn)移法達(dá)到目的. 設(shè)動(dòng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為 ，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為 ， 則 N點(diǎn)的坐標(biāo)為 . ∵點(diǎn) N在直線 上，∴ ……① 又∵PQ垂直于直線 ，∴ ， 即 ……② 聯(lián)立 ①、②解得 .又∵點(diǎn)N 在雙曲線 上， ∴ ， 即 ，化簡(jiǎn)，得點(diǎn)P的軌跡方程為： . 五、與雙曲線有關(guān)的綜合題 例8 已知雙曲線 ，其左右焦點(diǎn)分別為F1、F2，直線l過其右焦點(diǎn)F2且與雙曲線 的右支交于A、B兩點(diǎn)，求 的最小值. 解 設(shè) ， ，（ 、 ）.由雙曲線的第二定義，得 ， ， ∴ ， 設(shè)直線l的傾角為θ，∵l與雙曲線右支交于兩點(diǎn)A、B，∴ . ①當(dāng) 時(shí)，l的方程為 ，代入雙曲線方程得 . 由韋達(dá)定理得： . ∴ . ②當(dāng) 時(shí)，l的方程為 ，∴ ，∴ . 綜①②所述，知所求最小值為 .
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