名仕論題|任意三角形射影定理與直角三角形射影定理

我心飛揚(yáng)695 2015-11-20

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【直角三角形射影定理】

直角三角形中，斜邊上的高是兩直角邊在斜邊上射影的比例中項(xiàng)。每一條直角邊是這條直角邊在斜邊上的射影和斜邊的比例中項(xiàng)。

在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，則

BC^2=BD·AB ①

AC^2=AD·AB ②

CD^2=AD·BD ③

【三角形射影定理】

設(shè)△ABC的三邊是a、b、c，它們所對(duì)的角分別是A、B、C，則有
a＝b·cosC＋c·cosB；④
b＝c·cosA＋a·cosC；⑤
c＝a·cosB＋b·cosA . ⑥

那它們之間究竟是什么關(guān)系呢？

任意三角形的射影定理，其特例就是直角三角形的射影定理

從④→①

在Rt△ABC中，∠ACB=90°，即C=90°，AD是斜邊BC上的高，
注意到cosC=cos90°=0和acosB=BD，
于是由 a=b·cosC＋c·cosB得a^2＝ab·cosC＋c·acosB=c·BD，即BC^2=BD·AB；
從⑤→②

同理有， AC^2=AD·AB .
至于③，可以直接得到：
∵CD=AD·tanA，CD=BD·tanB，

注意到tanA·tanB= tanA·cotA=1，
∴CD^2= (AD·tanA )(BD·tanB)=AD ·BD.

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