解直角三角形的方法點(diǎn)拔                                                                           摘要:解直角三角形與直角三角形的概念、性質(zhì)、判定和作圖有著密切的聯(lián)系，是在深入研究幾何圖形性質(zhì)的基礎(chǔ)上，根

解直角三角形與直角三角形的概念、性質(zhì)、判定和作圖有著密切的聯(lián)系，是在深入研究幾何圖形性質(zhì)的基礎(chǔ)上，根據(jù)已知條件，計(jì)算直角三角形未知的邊長(zhǎng)、角的大小和面積等。首先要明確解直角三角形的依據(jù)和思路：在直角三角形中，是用三條邊的比來(lái)表述銳角三角函數(shù)的定義。因此，銳角三角函數(shù)的定義本質(zhì)上揭示了直角三角形中邊角之間的關(guān)系，它是解直角三角形的基礎(chǔ)。每個(gè)邊角關(guān)系式都可看作方程，解直角三角形的思路，實(shí)際上就是根據(jù)已知條件，正確地選擇直角三角形中邊角間的關(guān)系式，通過(guò)解方程來(lái)求解。

思路2：觀(guān)察圖形可知，CD、DE分別是摘要:和 斜邊上的高，具備應(yīng)用射影定理的條件，可以利用射影定理求解。 解法2：同解法1得 在 中，由 ，得

和斜邊上的高，具備應(yīng)用射影定理的條件，可以利用射影定理求解。

分析：1）由AD是BC邊上的中線(xiàn)，只知DC一條邊長(zhǎng)，僅此無(wú)法直接在中求解AD。而在中，由已知BC邊和可以先求出AC，從而使可解。摘要:2） 和 分別為 和 中的銳角，且都以直角邊AC為對(duì)邊，抓住圖形的這個(gè)特征，根據(jù)銳角三角函數(shù)可以證明

2）和分別為和中的銳角，且都以直角邊AC為對(duì)邊，抓住圖形的這個(gè)特征，根據(jù)銳角三角函數(shù)可以證明

解：1）在中，，

在中，

2）證明：在中，由，，得

在中，由，

得

故，又因BC＝2DC，故

點(diǎn)拔：在解直角三角形的問(wèn)題中，經(jīng)常會(huì)遇到這樣的圖形，如圖2，它是含有兩個(gè)直角三角形的圖形。隨著D點(diǎn)在BC邊上位置的變化，會(huì)引起直角三角形中有關(guān)圖形數(shù)量相應(yīng)的變化，從而呈現(xiàn)出許多不同的解直角三角形問(wèn)題。

例3. 如圖3，在摘要:中， ，AD是 的平分線(xiàn)。 1）若 ，求 2）在1）的條件下，若BD＝4，求 圖3 分析：在1）中已

中，，AD是的平分線(xiàn)。

由，得摘要:。又 點(diǎn)撥：解直角三角形時(shí)，要注意三角形中主要線(xiàn)段的性質(zhì)，利用平面幾何的有關(guān)定理，往往能夠建立已知與

。又

摘要:點(diǎn)撥：解直角三角形時(shí)，要注意發(fā)掘圖形的幾何性質(zhì)，利用線(xiàn)段和差的等量關(guān)系布列方程，還要熟練地掌握特殊銳

點(diǎn)撥：解直角三角形時(shí)，要注意發(fā)掘圖形的幾何性質(zhì)，利用線(xiàn)段和差的等量關(guān)系布列方程，還要熟練地掌握特殊銳角的三角函數(shù)值，以使解答過(guò)程的表述簡(jiǎn)便。

訓(xùn)練題：

如圖5，在中，D、F分別在AC、BC上，且，，，求AC。

圖5

提示：是直角三角形，AF為斜邊上的高線(xiàn)，CF是直角邊AC在斜邊上的射影，AC又為所求，已知的另外兩邊都在中，且，即是等腰三角形，因此，可以過(guò)D作，從而找到解題思路。由于DE、AF同垂直于BC，可以利用比例線(xiàn)段的性質(zhì)，逐步等價(jià)轉(zhuǎn)化求得AC）