第8計(jì) 小姐開門 何等輕松

●計(jì)名釋義

有一大漢，想進(jìn)某屋. 門上并未加鎖，但他久推不開，弄得滿頭大汗.

后面?zhèn)鱽?lái)一位小姐輕輕的聲音：“先生別推，請(qǐng)向后拉！”

大漢真的向后一拉，果然門就輕輕地開了. 大漢奇怪地問(wèn)：“這門上并沒有寫拉字，你怎么知道是拉門的呢？”

小姐答：“因?yàn)槲铱吹侥阃屏税胩欤T還不動(dòng)，那就只有拉了！”

數(shù)學(xué)上的“正難則反”就是這位小姐說(shuō)的意思. 既然正面遇上困難，那就回頭是岸，向反方向走去.

●典例示范

【例1】   求證：拋物線沒有漸近線.

【分析】   二次曲線中僅有雙曲線有漸近線，什么是漸近線？人們的解釋是與曲線可以無(wú)限接近卻又沒有公共點(diǎn)的直線.

拋物線是否有這樣的直線？我們無(wú)法直接給予證明.怎么辦？“正難反收”，假定拋物線有漸近線，是否會(huì)導(dǎo)出不合理的結(jié)果？

【證明】   不妨設(shè)拋物線方程為y2=2px.  假定此拋物線有漸近線y=kx+b,  ∵x=, 代入直線方程，化簡(jiǎn)得：ky2-2py+2pb=0.                                      ①

可以認(rèn)為：曲線與其漸近線相切于無(wú)窮遠(yuǎn)處，即如方程①有實(shí)根y0,  那么，y0→∞,或,  方程①化為：2pby′2-2py′+k=0.                    ②

方程②應(yīng)有唯一的零根,  y′=0代入②得：k=0.

于是拋物線的漸近線應(yīng)為y=b. 這是不可能的，因?yàn)槿我庖粭l與x軸平行的直線y=b, 都和拋物線有唯一公共點(diǎn)(),  因而y=b不是拋物線的漸近線，這就證明了：拋物線不可能有漸近線.

【例2】   設(shè)A、B、C是平面上的任意三個(gè)整點(diǎn)（即坐標(biāo)都是整數(shù)的點(diǎn)），求證：△ABC不是正三角形.

【分析】   平面上的整數(shù)點(diǎn)無(wú)窮無(wú)盡的多，可以組成無(wú)窮無(wú)盡個(gè)各不相同的三角形，要想逐一證明這些三角形都不是正三角形是不可能的，怎么辦？正難反做！

【解答】   假定△ABC為正三角形，且A(x1, y1),  B (x2, y2),  C (x3, y3)均為整點(diǎn)，不妨設(shè)x2≠x1,  ∵kAB=,   ∴直線AB的方程為：

即x(y2-y1)-y(x2-x1)+x2y1-x1y2=0.  點(diǎn)C (x3, y3)到AB的距離.

但是|AB|=

∴S△ABC == (x3y2-x2y3)+(x2y1-x1y2)+(x1y3-x3y1).

即S△ABC為有理數(shù).另一方面，

S△ABC =            ①

∵|AB|≠0,    ∴S△ABC為無(wú)理數(shù).                           ②

①與②矛盾，故不存在三個(gè)頂點(diǎn)都是整數(shù)點(diǎn)的正三角形.

【例3】   設(shè)f (x)=x2+a1x+a2為實(shí)系數(shù)二次函數(shù),證明：| f (1)|,  | f (2)|,  | f (3)|中至少有一個(gè)不小于

【分析】   三數(shù)中至少有一個(gè)不小于的情況有七種，而三數(shù)中“都小于”的情況只有一種，可見“正面”繁雜，“反面”簡(jiǎn)明，也應(yīng)走“正難反收”的道路.

【解答】   假定同時(shí)有：| f (1)|<、| f (2)|<、| f (3)|<,  那么：

①+③:   -11<4a1+2a2<-9                                    ④

②×2:   -9<4a1+2a2<-7                                 ⑤

④與⑤矛盾，從而結(jié)論成立.

【小結(jié)】   “正難反收”中的“難”有兩種含義，一是頭緒繁多，所以難于處理.因?yàn)椤胺薄保浴半y”，處理不當(dāng)即陷入“剪不斷，理還亂”的困境；二是試題的正面設(shè)置，使人感到無(wú)法可求，無(wú)章可循，從而找不到破解的頭緒，從而無(wú)從下手.

遇到以上這兩種情況，考生即應(yīng)懂得“迷途知返”，走“正難反收”的道路.

一般地說(shuō)，與排列組合、概率有關(guān)的試題，往往應(yīng)走“正繁則反”的道路，而一切否定式的命題，則應(yīng)首選反證法.因?yàn)樵}與其逆否命題一定等價(jià)，只要推倒了命題結(jié)論的反面，正面自然順理成章地成立.

●對(duì)應(yīng)訓(xùn)練

1.k為何值時(shí)，直線y-1=k (x-1)不能垂直平分拋物線y2=x的某弦.

2.已知α、β∈(0, ),  且sin(α+β)=2sinα.求證：α<β.

3.設(shè)a>b>c>0, 且a、b、c成等差數(shù)列，試證明：不能組成等差數(shù)列.

4.求證：拋物線y=上不存在關(guān)于直線y=x對(duì)稱的兩點(diǎn).

●參考答案

1．正難反收，先解決k為何值時(shí)，直線可以垂直平分該拋物線的某弦，再求它的補(bǔ)

集，設(shè)弦兩端點(diǎn)為A(x1, y1),  B(x2, y2),  那么:

設(shè)直線l:y-1=k(x-1)垂直且平分AB,  則kAB=,  設(shè)AB之中點(diǎn)為M(x0, y0),  ∴y1+y2=2y0, y0=, 又由y0-1= k(x0-1),得x0=,  而M在拋物線內(nèi)部.

∴y<x0,  即,  得

∵k2-2k+2>0,  ∴-2<x<0,  即k∈(-2, 0)時(shí),直線l垂直平分拋物線y2=x的某弦，從而k∈(-∞,-2］∪［0,+∞)時(shí),直線l不能垂直平分拋物線y2=x的某弦.

2.假定α≮β,必

（1）α=β,  此時(shí)有sin2α=2sinα.

α、β∈(0, )時(shí)，sinα≠0, 必有cosα=1, 這與α∈(0, )矛盾;

(2)α>β,在(0, )內(nèi)y=sinx為增函數(shù)，必sinα>sinβ>0, 由條件：

sinα(cosβ-2) +cosαsinβ=0.

∴        ∴cosα+cosβ>2，這是不可能的.

故α≥β不能成立，必有α<β.

3.假定成等差數(shù)列,  必,  即

已知a，b，c成等差數(shù)列，∴b=.

故有：    ∴a=c, 從而a=b=c, 這與已知a>b>c>0矛盾.

∴不能組成等差數(shù)列.

4.假定拋物線y=上存在關(guān)于直線y=x對(duì)稱的兩點(diǎn)A(a , b)與B (b, a).

∵kAB= -1, 知a≠b.   有：

①-②：b-a =(a+b) (a-b).       ∵a≠b, ∴a+b=-2                 ③

③代入①：-2-a=.               即   a2+2a+3=0.

此方程無(wú)實(shí)根，故所設(shè)符合題設(shè)條件的點(diǎn)A（a, b），B (b, a)不存在.

也就是拋物線y=x2-1上不存在關(guān)于直線y=x對(duì)稱的兩點(diǎn).