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1．引子
在一個(gè)百無聊賴的傍晚,你不遠(yuǎn)千米的來到水房和3號(hào)女生樓之間的必經(jīng)之路，坐在路旁一把破舊的木椅上,先擺了一個(gè)遙望遠(yuǎn)方假裝沉思的姿勢(shì),然后借著夕陽(yáng)的余輝在心里給來來往往的師姐師妹們打分。突然你發(fā)現(xiàn)一個(gè)苗條飄逸的身影在向你靠近，隨之而來的還有一道略帶幾分熟悉的注視。當(dāng)你心里小鹿亂撞，感到受寵若驚的時(shí)候，這個(gè)身影已經(jīng)來到了你的面前，你定了定神脫口而出道“二師兄，師父讓你化的緣都化完了嗎？”這不是悖論，這是你的眼鏡又該換了。
那么,什么是悖論? Good
Question，讓我再給你一個(gè)場(chǎng)景。
作為為數(shù)不多的平民代表，你站在你們系富二代同學(xué)家豪宅里正在進(jìn)行的party現(xiàn)場(chǎng)，當(dāng)然這個(gè)邀請(qǐng)只是富二代同學(xué)為即將到來的期末考試做的準(zhǔn)備之一，party的主題是我有錢所以想怎么花就怎么花。在喧鬧的音樂聲中，你驚喜的發(fā)現(xiàn)一直暗戀的她一個(gè)人靜靜的坐在角落，然后你猛喝兩口杯子里不知名的洋酒，借著酒精的力量走到她面前，試圖用一句“hi，同學(xué)你好。”打穿那道看不見的墻?；蛟S是朦朧的燈光增添了你五官的精致；或許是獨(dú)坐的寂寞提升了她交流的渴望；再或許是酒精的作用賜給了你們彼此力量，這個(gè)never
work的開場(chǎng)白迅速開啟了一段略帶曖昧的對(duì)白。正當(dāng)你沉醉于艷遇的快感，已經(jīng)忘了自己的配角身份時(shí)，你的富二代同學(xué)從天而降，一手搭著你的肩，一邊對(duì)她說“他跟你說的關(guān)于我的一切都是假的。”雖然你們沒有說起一句關(guān)于他的話，但是很顯然她的目光已經(jīng)被他自信而略帶挑逗的臉龐所吸引。
怎么回應(yīng)才能從新奪回她的注意力呢？你此時(shí)心里最想的應(yīng)該是一拳將你的富二代同學(xué)打到在地，然后一只腳踏在他身上說“你最好別碰我的妞?！钡悄悴荒苓@么做，因?yàn)槟闼苓^的教育告訴你打人是不對(duì)的，你也有可能因?yàn)槌鍪侄ァ皟?yōu)秀學(xué)生干部”的稱號(hào)，更重要的是你的富二代同學(xué)雖然頭腦簡(jiǎn)單，但是四肢發(fā)達(dá)，身為校籃球隊(duì)主力小前鋒的他比你高出20公分，重了40斤，在身后的音樂聲中搖擺著的還有他幾個(gè)鐵桿隊(duì)友，出手的結(jié)果很可能是你自己躺著出去。
當(dāng)然你也可以列舉最近被他甩了的一系列女友作為回?fù)?，這不僅正中他的圈套，而且古語(yǔ)有云“飛蛾撲火，”在沒有被燒死之前，誰(shuí)都想成為第一個(gè)馴服這團(tuán)火的人，所以這很有可能是幫倒忙；就算她能懸崖勒馬，你也最多得到一句“你真是一個(gè)好人”的獎(jiǎng)勵(lì)，然后就是形同陌路，仿佛從沒有見過。為了一個(gè)追不到的妞，毀了你和富二代的關(guān)系，有點(diǎn)得不償失。
好了，讓我公布最佳答案，你回應(yīng)“他說的這句話是真的?！?/font>
再讓我們來分析一下得獎(jiǎng)理由---這兩句話的邏輯關(guān)系。富二代說，“今天你說的關(guān)于他的一切都是假的”，你說“他說的這句話是真的。”假設(shè)富二代說的是真話，那你的這句話也是假的，從而得出他說的是假話的結(jié)論；而假設(shè)富二代說的是假話，因?yàn)榻裉炷阒徽f了這一句關(guān)于他的話，所以這句話是真的，也就是說他說的這句是真話。不管你假設(shè)他的話邏輯上是真還是假總能通過邏輯推理得出矛盾的結(jié)論,這就是一個(gè)悖論。
在你得意洋洋的等待著她投來欣賞的目光時(shí)，最有可能的結(jié)局是她和富二代移步到樓上的臥室進(jìn)一步交流，而你呆呆地站在原地望著他們離去的背影，并不停地在心里默念“不懂悖論的女孩不是好女孩”然后沖著他們的背影喊道“我真心祝你們幸福，”隨著這句謊言,這個(gè)悖論也和她一起消失在樓梯的拐角處。(why？還請(qǐng)讀者自行推理)
2.芝諾悖論
悖論的故事可以追溯到公元前的古希臘時(shí)代,埃利亞學(xué)派的數(shù)學(xué)家芝諾就曾經(jīng)有一系列的關(guān)于運(yùn)動(dòng)的悖論，被稱為芝諾悖論（謝謝網(wǎng)友的提醒，此芝諾非畫廊學(xué)派的芝諾，此前被我搞混了）。芝諾悖論雖然并不是一個(gè)悖論，但是它們都以描述運(yùn)動(dòng)的方式來揭示有限長(zhǎng)度與無窮可分之間的矛盾。比如說有一個(gè)長(zhǎng)度為一的線段，你可以把它等分成兩個(gè)長(zhǎng)度為二分之一的線段，然后再把每一段等分成長(zhǎng)度為四分之一的線段，然后再等分，再等分，不論現(xiàn)有的每一段線段的長(zhǎng)度是多么的小，你都可以一直繼續(xù)下去，直到無窮，而且我們知道每一段線段長(zhǎng)度的極限是0。套用微積分的語(yǔ)言是，任給ε>0，存在一個(gè)對(duì)應(yīng)的正整數(shù)N，使得當(dāng)分割的次數(shù)大于N的時(shí)候，每一段線段的長(zhǎng)度都小于ε。好像也沒什么矛盾，先讓我們把這個(gè)問題放下，來看看芝諾悖論之一的阿基里斯和烏龜?shù)你Ｕ摗？紤]到阿基里斯的知名度，我這里給出的是變異版---劉翔和烏龜?shù)你Ｕ摚窍矚g博爾特，把烏龜換成博爾特也行。
假設(shè)烏龜不是普通烏龜而是忍著神龜，劉翔也不是正常的劉翔，而是受了傷的劉翔，他們兩個(gè)站在跑道上比賽
，因?yàn)閯⑾鑾?，所以烏龜讓劉?00米。說烏龜不會(huì)跨欄的同學(xué)請(qǐng)注意，第一這是忍著神龜，第二這次沒欄。假設(shè)烏龜?shù)乃俣仁莿⑾璧氖?，那么?dāng)烏龜跑到劉翔出發(fā)點(diǎn)的時(shí)候，劉翔已經(jīng)跑出去10米，等烏龜跑完這10米到達(dá)劉翔第二個(gè)出發(fā)點(diǎn)的時(shí)候，劉翔又跑出去一米，當(dāng)烏龜跑完這一米時(shí)，劉翔又已經(jīng)跑出十分之一米，烏龜要想追上劉翔，必須要先經(jīng)過他的某個(gè)出發(fā)點(diǎn)，可是當(dāng)烏龜?shù)竭_(dá)這個(gè)出發(fā)點(diǎn)的時(shí)候，劉翔又已經(jīng)離開了這個(gè)點(diǎn)，所以不管烏龜多么的快，永遠(yuǎn)不可能追上帶傷的劉翔。
生活的經(jīng)驗(yàn)告訴我們，只要跑道夠長(zhǎng)，速度快的選手總可以追上速度慢的選手，而且所需時(shí)間我們也可以簡(jiǎn)單的用起始的距離除以速度差求得，但是想要指出上面悖論里的問題并不是一件容易的事。為此數(shù)學(xué)家們用了超過一千年的時(shí)間才徹底的完全的解決了它。在給出解釋之前，我想回到等分線段的問題，讓我們看看有什么矛盾可能出現(xiàn)。
首先，我要問大家一個(gè)問題：0+0等于幾？答案不是0的同學(xué)請(qǐng)自行面壁兩分鐘。再追問：一百個(gè)零相加呢？答案不是0的同學(xué)請(qǐng)自行面壁一百分鐘。一千個(gè)呢？一百萬個(gè)呢？答案不是零的同學(xué)請(qǐng)自行面壁相應(yīng)時(shí)間。最后一個(gè)問題，無窮多個(gè)零相加呢？這次答錯(cuò)的同學(xué)只能有緣來生再聚了：P。這次是開玩笑的，實(shí)際上答錯(cuò)的同學(xué)有一點(diǎn)很可取，就是想到了無限和有限的區(qū)別。不過再多的零相加還是零。
第二，我們等分線段無窮多次，每一段的長(zhǎng)度是多少呢？非常接近于0，要多近有多近，但是不是0呢?
讓我們把所有線段的長(zhǎng)度加在一起，答案是多少？1，因?yàn)樽畛醯木€段長(zhǎng)為1。如果每段線段長(zhǎng)度是0，那么就有問題了，因?yàn)闊o窮多個(gè)0相加還是0，所以每段線段長(zhǎng)度不是零，有一個(gè)專用的數(shù)學(xué)名詞稱呼它，無窮小。無窮小和零要多近就有多近，但是它們不一樣，有些時(shí)候，它們的區(qū)別太過細(xì)微，以至于我們不用去區(qū)別，但這不意味著它們是相同的。問題還沒有結(jié)束，無窮個(gè)無窮小相加是多少呢？（因?yàn)槭蔷€段長(zhǎng)度，我們只考慮正無窮?。┗卮馂?的同學(xué)顯然記住了這個(gè)例子，但是如果滿分是1分，我只能給你1除以無窮大也就是無窮小分，因?yàn)榇鸢赣袩o窮多個(gè)。假設(shè)開始的時(shí)候我們等分長(zhǎng)度為2的線段，無窮次等分之后是不是每一段的長(zhǎng)度都是無窮小？再把它們相加得到的是原始長(zhǎng)度2。如果最初線段長(zhǎng)度是e呢？所以無窮個(gè)正無窮小相加可以是任何正實(shí)數(shù)。說的我好累，也不能讓你們閑著，來兩道作業(yè)題吧，請(qǐng)大家踴躍發(fā)言。
（1） 無窮個(gè)無窮小相加可以是0嗎？
（2） 無窮個(gè)無窮小相加可以是正無窮嗎？
【本段非數(shù)學(xué)專業(yè)可以忽略】說到這，我想到一個(gè)定理，與這個(gè)例子并不相同，但我感覺有著異曲同工之妙，就是任給一個(gè)實(shí)數(shù)r，任何一個(gè)條件收斂級(jí)數(shù)都有一個(gè)重排（Rearrangement）收斂到r。一個(gè)典型的例子就是交錯(cuò)調(diào)和級(jí)數(shù)（Alternating
harmonic series）。
現(xiàn)在再回到劉翔-烏龜悖論。假設(shè)烏龜?shù)乃俣仁?0米/秒，劉翔的速度是1米/秒，開始的距離是100米，那么烏龜要用100/(10-1)=100/9秒的時(shí)間追上劉翔，在我們的悖論中，烏龜需要100/10=10秒到達(dá)劉翔的第一個(gè)起點(diǎn)，10/10=1秒到達(dá)劉翔第二個(gè)起點(diǎn)，1/10=0.1秒到達(dá)第三個(gè)起點(diǎn)，0.01秒到達(dá)第四個(gè)起點(diǎn)，10^（-n）秒到達(dá)第n+2個(gè)起點(diǎn)……，把這些時(shí)間相加
10+1+1/10+0.1/10+0.01/10+……=11.1111……=100/9
這是一個(gè)非常簡(jiǎn)單的幾何級(jí)數(shù)（Geometric
series）,小學(xué)奧校詞匯是等比數(shù)列的和。因?yàn)楸戎凳?/10，我們甚至都不用公式就可以得到無限循環(huán)的小數(shù)解，分?jǐn)?shù)是一模一樣的答案100/9秒。既然兩種方法得出的答案一樣，那問題出在哪兒？如果你意識(shí)到左邊的級(jí)數(shù)是一個(gè)無窮級(jí)數(shù)的話，芝諾把一個(gè)有限的數(shù)100/9分成了無窮多個(gè)數(shù)的和，也就是把一個(gè)時(shí)間段100/9秒分成了無窮多個(gè)時(shí)間小段，第一段長(zhǎng)10秒，第二段長(zhǎng)1秒，第三段0.1秒……，這個(gè)無限的過程仿佛讓時(shí)間也擴(kuò)展的無限，但是回到數(shù)學(xué)問題，就是一個(gè)收斂的幾何級(jí)數(shù)而已。
3.辛普森（Simpson’s paradox）悖論
1951年，這個(gè)悖論第一次正式出現(xiàn)于論文當(dāng)中，并得名于第一個(gè)將它正式描述的人---英國(guó)統(tǒng)計(jì)學(xué)家E.H辛普森。這是一個(gè)簡(jiǎn)單而有趣的悖論，我本人對(duì)統(tǒng)計(jì)知之甚少，但是這個(gè)悖論卻深深的留在了我的記憶里。
假設(shè)有兩個(gè)籃球運(yùn)動(dòng)員，為了不得罪任何球迷，一個(gè)是叫做科比·詹姆斯，簡(jiǎn)記為KJ，另一個(gè)是勒布朗·布萊恩特，簡(jiǎn)記為L(zhǎng)B。假設(shè)在本賽季,他們都出手了1000次，KJ命中538球，而LB命中497球，那么你認(rèn)為誰(shuí)投的更準(zhǔn)些呢？我知道這一道看起來非常弱智的問題，KJ命中率是53.8%，而LB是49.7%，這不顯而易見嗎？但是此事另有蹊蹺，還聽我慢慢道來。
我們知道在籃球比賽中除罰球外有兩種投籃得分，二分球和三分球，如果我告訴你，LB雖然總命中率低于KJ，但是二分和三分都比KJ投的準(zhǔn)你相信嗎？不信？那就讓數(shù)據(jù)說話，請(qǐng)見下表。
可以看到LB不管是二分球還是三分球的命中率都高于KJ，但是總命中率卻低于KJ，究其原因是LB更多選擇投籃難度大的三分球，而KJ更多打到籃下，得分更容易些。如果不考慮投中加罰和殺入內(nèi)線造成的殺傷，LB通過投籃得了1329分而KJ只得到1115分，僅就投籃而言誰(shuí)好誰(shuí)壞不言而喻。
辛普森悖論在現(xiàn)實(shí)生活中發(fā)生的幾率并不高,但是一旦發(fā)生猶如足球中的反判與真相完全是背道而馳。個(gè)人認(rèn)為辛普森悖論的人文意義大于數(shù)學(xué)意義,一方面比較兩個(gè)人的時(shí)候不能只關(guān)注完成某些事情的數(shù)量和成功率,還要考慮完成的質(zhì)量和難度,甚至是失敗的次數(shù)。人一生當(dāng)中最難的動(dòng)作就是超越自我，能夠勇于去挑戰(zhàn)的人也許會(huì)一次次失敗但依然值得尊敬。另一方面，每個(gè)人都要理解現(xiàn)存于社會(huì)的游戲規(guī)則在很多時(shí)候會(huì)用簡(jiǎn)單地量的比較作為評(píng)判標(biāo)準(zhǔn),這個(gè)規(guī)則不一定是最科學(xué)的,但卻是最有效的。如果你選擇去走一條超高難度的路，你就要做好不被認(rèn)可的準(zhǔn)備，好比兩個(gè)人大學(xué)畢業(yè)都從事數(shù)學(xué)研究，一個(gè)人的目標(biāo)就是不用計(jì)算機(jī)證明四色原理，另一個(gè)就是盡一切可能的發(fā)文章，數(shù)十年過后，第一個(gè)人可能貌似一事無成，第二個(gè)人可能已經(jīng)著作等身，頭頂光壞。我不覺得這兩種做法存在好壞之分，只是人生態(tài)度的不同，但是還有一句話叫做“態(tài)度決定一切”，你可以選擇你的態(tài)度，你也要為你的態(tài)度帶來的一切買單。
4.理發(fā)師悖論
理發(fā)師悖論被廣泛的應(yīng)用于開發(fā)少年兒童的智力上,也是我所知道的最早的一個(gè)悖論。故事是這樣的，從前有個(gè)村，村里有座廟，廟里有個(gè)老和尚給別人刮胡子,刮的誰(shuí)的胡子呢,村里所有不給自己刮胡子的人胡子，而且只給這些人刮。問題是這樣的，老和尚要不要給自己刮胡子？如果他給自己刮，那么他就是給自己刮胡子的人，他就不該給自己刮；如果他不給自己刮，那他就是不給自己刮胡子的人，他就應(yīng)該給自己刮。這個(gè)悖論的產(chǎn)生和引子里的故事如出一轍，都是通過邏輯推理自相矛盾。
理發(fā)師悖論只是羅素用于比喻羅素悖論的一個(gè)通俗的說法，我們可以自己創(chuàng)造出很多這樣的例子。本章我不打算解釋羅素悖論，因?yàn)榱_素會(huì)作為某章的主人公稍后出現(xiàn)，而在他之前，我們還需要另外一位數(shù)學(xué)家---康托爾去開創(chuàng)集合論。集合的概念基本上被用于數(shù)學(xué)各個(gè)分支，而羅素悖論就動(dòng)搖了這個(gè)基石，從而引發(fā)了數(shù)學(xué)史上的第三次危機(jī)。對(duì)政治來說自相矛盾也許是人之常情，但是對(duì)于從公理出發(fā)，以嚴(yán)謹(jǐn)推導(dǎo)而著稱的數(shù)學(xué)來說，基石的毀滅將會(huì)引起整個(gè)數(shù)學(xué)大廈的傾覆。
最后讓我用一個(gè)一句話的悖論來作為本章的結(jié)束語(yǔ)---“我在說謊！”
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