提到'無窮小'，想必很多人對它的印象還停留在中學時老師教授的概念：以數0為極限的變量，無限接近于0。

或許很多人會心存疑問：這樣一個大家再平常不過的概念，又有什么值得特別言說之處呢？事實上，只要稍加了解數學歷史，尤其是微積分發(fā)展歷史，就能知道這個小小概念對于整個近代數學的發(fā)展，甚至現代科技的發(fā)展有著至關重要的作用。

無窮小是分析學中的重要概念，在十七、十八世紀微積分誕生初期，數學家們對無窮小的觀點各持己見：無窮小究竟是不是零？無窮小及其分析是否合理？由此而引起了數學界甚至哲學界長達一個半世紀的爭論，造成了第二次數學危機。

實際上，早在微積分發(fā)明之前，無窮小就已經在歐洲學術界掀起'血雨腥風'，擁有迥然不同的宗教和政治背景的歐洲思想家和學者們，都曾經不知疲倦地圍繞'無窮小'這一概念爭論不休，甚至做激烈斗爭。這場斗爭的知名度雖然遠不如后來牛頓與萊布尼茨就'微積分之父'的名號之爭，但論激烈程度，完全不亞于后者。

'無窮小'的思想實際上最初是在哲學范圍內提出的。

公元前6世紀，畢達哥拉斯及其追隨者聲稱'萬物皆數'，意思是說，世界上的所有事物都可以用整數或者整數的比值來進行描述。公元前5世紀，阿布德拉的德謨克利特用無窮小計算了圓錐體和圓柱體的體積。接著，埃利亞的芝諾提出了若干悖論，說明無窮小會導致邏輯上的矛盾。

芝諾最著名的悖論之一是'阿喀琉斯追烏龜'。阿喀琉斯是古希臘神話中善跑的英雄，在他和烏龜的競賽中，他的速度為烏龜的10倍，烏龜在他前面100米開始跑，他在后面追，但他不可能追上烏龜——因為在競賽中，追者首先必須到達被追者的出發(fā)點，當阿喀琉斯追到100米時，烏龜已經又向前爬了10米，于是，一個新的起點產生了；阿喀琉斯必須繼續(xù)追，而當他追到烏龜爬的這10米時，烏龜又已經向前爬了1米，阿喀琉斯只能再追向那個1米。就這樣，烏龜會制造出無窮個起點，它總能在起點與自己之間制造出一個距離，不管這個距離有多小，但只要烏龜不停地奮力向前爬，阿喀琉斯就永遠也追不上烏龜。然而，我們憑經驗可以得知，阿喀琉斯會追上烏龜，從而導致了一個悖論。