【張子權的回答(11票)】:

總有人問我金融數(shù)學是研究什么的，有什么用，遂自問自答。

關于衍生工具的定義可參考維基百科的解釋

金融衍生工具，是一種特殊類別買賣的金融工具統(tǒng)稱。這種買賣的回報率是根據一些其他金融要素的表現(xiàn)情況衍生出來的。比如資產（商品，股票或債券），利率，匯率，或者各種指數(shù)（股票指數(shù)，消費者物價指數(shù)，以及天氣指數(shù)）等。這些要素的表現(xiàn)將會決定一個衍生工具的回報率和回報時間。衍生工具的主要類型有期貨，期權，權證，遠期合約，互換等，這些期貨，期權合約都能在市場上買賣。

，執(zhí)行價為

，標的物的價格是在

時間為

。根據歐式期權定義，意味著期權持有者在合約到期時間可以獲得收益為

。因為當標的物的價格大于執(zhí)行價的時候，持有者可以以更低的價格購買購買，并且立刻標的物價格賣出，收益即為

；反之若標的物的價格低于執(zhí)行價，合同持有者則無需行權，收益為零。如果我們把上面的式子寫成

,這就是我們前面提到的收益方程?？梢姵钟袣W式期權意味著立于不敗之地，你自然要問哪有這么好的事。當然天下沒有免費的午餐，持有者必須花錢購買，這就涉及到這里的核心問題，衍生品定價。

那么衍生品的價格和什么有關呢，第一當然是我們前面提到的收益方程，其次是另外一個很重要的因素是『折現(xiàn)率（discounting rate）』，可以簡單的理解為無風險利息，或者讀者可以簡單的理解為國債利息。舉個栗子，假設我們的衍生品的合約到期日

收益方程是是常數(shù)1，這就是債券中最簡單的零息債券。假設國債年利息是10%，那么栗子中的債券價格就應該是

。好了現(xiàn)在我們就完成了一個最簡單的衍生品定價，相當于編程中的 Hello World。這個衍生品具有已下性質

1. 收益方程的右邊為常數(shù)（實際上不但沒有對標的物衍生，甚至把標的物這個變量移出了方程）

2. 固定利息（利息為常數(shù)）
3. 離散時間（稍后我們會介紹什么是連續(xù)時間）

來說我存一塊錢進銀行，我們把一年時間平均分成n份，每段時間長度為

，對應這個時長，銀行的利息為

，利滾利一年以后銀行連本帶息應該在我的賬戶顯示如下這么多錢

。如果我們吧每段這個時間縮小至無窮小，我們就得到了長度為一年的『連續(xù)』時間，在這一年中利滾利的結果則是

。

學過大學數(shù)學的同學應該可以認出這是著名的指數(shù)函數(shù)的級數(shù)求和形式。因此對于連續(xù)時間，固定利率下零息債券的定價則是

參數(shù)的隨機性

以上討論中我們發(fā)現(xiàn)一個重要問題-在這個混亂的世界中我們的模型居然沒有涉及到任何一個隨機變量！如果金融世界可以這樣簡化那金融數(shù)學也就沒有作為一門學科存在的必要了。事實上利息就是在時間軸上隨機游走的變量，標的物的價格也是隨機量，就算是我們前面提到的零息債券，那個看上去等于常數(shù)1的規(guī)定回報也可能是隨機的，因為存在違約風險！

----以下內容看官可以直接跳過----

資產定價第一基本定理（Fundamental theorem of asset pricing）指出，

外行看著很玄乎，其實簡單的來說就是，存在一個或者多個『風險中性測度（Risk-neutral measure）』,這就是一個『無套利市場（arbitrage-free）』，就存在所謂的公平價格。如果這風險中性測度是唯一的，那么我們我們稱這個市場為『完備市場（complete market）』。

大家可能注意到，這里反復出現(xiàn)『風險中性測度』的概念，簡單的說在以這個測度定義的概率空間下，期望的折現(xiàn)收益即是前面提到的『公平價格』。至于為啥是這樣，先聲明物理的細節(jié)我不懂，這要追溯到1940年物理學家理查德·費曼（Richard Feynman）在研究薛定諤方程的時候發(fā)現(xiàn)方程的解可以用路徑積分來理解。后來費曼同事Mark Kac研究發(fā)現(xiàn)這個費曼的結果和PDE里面著名的熱方程或者 diffusion equation有密切的聯(lián)系。于是就有了后來鼎鼎大名的Feynman–Kac formula。至于后來幾乎所有都定價理論都是基于此發(fā)展而來，包括金融界最富盛名的Black–Scholes equation。

『風險中性測度』這個概念要延伸出去可就大有文章可做了，自覺能力還不足以解釋清楚這個概念?？蓞⒁妴栴} 能否深入淺出地介紹一下測度論在金融衍生品定價方面的作用？，待我有時間有能力的時候再來回答這個問題。

----跳完可以落地繼續(xù)看了----

匯成一句話，衍生品的價格等于風險中性測度下的期望折現(xiàn)收益。寫成數(shù)學表達就是

是衍生品價格，

是收益方程，

是在時間

的即時折現(xiàn)率，

是對于初值

條件下，以風險中性測度得到的期望。

以上就是衍生品定價的基本框架。整個金融數(shù)學很多問題都是在研究如何去計算上面這個期望?？瓷先ズ唵纹鋵嵖晒┭芯康胤蕉?，

• 利率的隨機模型的建立，比較著名的有 Merton's Model， Vasicek model， CIR model。

• 標的物隨機模型的建立，從最早的 Geometric Brownian motion，到后來日漸復雜被金融學家添加各種性質的各類Jump diffusion processes。

• 衍生品合約設計（收益方程
  

  怎么列），從期貨，到各是期權歐式期權，美式期權，亞洲期權等等。

• 風險中性測度的計算，測度變換。
• 最后才是期望的計算，有些能直接能解出來得到顯式例如 BS forumula，不能得到顯式的則需要依賴數(shù)值方法，各種數(shù)值方法在這個領域都大顯神通。從微分，微元，到基于譜表示（spectral representation）的傅里葉，拉普拉斯等方法，再到各類蒙特卡羅仿真。

【張棟的回答(5票)】:

個人的感受是，很多國內的金融學生只知道背數(shù)學公式，并不知道這些數(shù)學公式背后的原理是什么。簡要說一下金融資產定價的經濟學基礎。

當你給金融衍生品定價時，你就像一個法官一樣，在進行“民事調解”。你定出來的價格要使得金融資產的買賣雙方都感到公平，也就是說，盡義務的一方要有適當?shù)难a貼，得到權利的一方要付出適當?shù)膬r格。不然，有一方“沾光”了，市場沒有達到你情我愿（均衡）的狀態(tài)，交易無法進行。那么數(shù)學金融是怎么定義“沾光”的？它被稱為“無風險套利”，也就是在交易初始期，你通過無風險借貸等手段買賣被錯誤定價的金融資產，在期末拿到確定的收益。有風險的“套利”（在現(xiàn)實生活中出現(xiàn)的監(jiān)管套利、統(tǒng)計套利）不在這個范疇之內！

這個價格（補貼）怎么決定呢？無論是風險中性定價，還是無套利定價，用的都是最基本的經濟學定律：供求均等，市場出清，大家都愿意支付這么一個價格，交易則可以進行。當你運用公式對資產定價，你便是有效市場（Efficient Market）理論的信徒。為什么這么說呢？試想一下，假設很多聰明人都去進行這樣的無風險套利，定價偏高的資產需求會減小（因為大家都賣空它來構建無風險套利組合），定價偏低的資產需求會增大（因為大家都買入他構建無風險套利組合），這么一來二去，資產的價格便會歸攏它的均衡值，也就是無套利價值。我們運用BS等公式定出來的衍生品價格，正是這樣的一個價格。這和股票估值的原理差不多，大量的人通過匯總大量信息為某只股票定出一個內涵價值（這就是大名鼎鼎的同質期望假設），然后通過買賣股票尋求價值回歸，當大家都這么做的時候，股票的現(xiàn)行交易價格總是等于內涵價值。

不同的是，確定金融資產的內涵價值比股票要容易得多。金融資產的內涵價值被稱為“未定權益”（contingent claim），也就是進行交易的兩方總有一方會以某種形式欠另一個方一個“補貼”（或“回報”），這種權益的現(xiàn)值，便是金融資產的公平價值。

由此看來，金融經濟學（financial economics）和金融數(shù)學是密不可分的，而且是后者的基礎學科。剛才提到的市場出清，供求均衡，用的是金融經濟學中的一般均衡理論（general equilibrium），由此衍生出了一套金融資產定價的基礎方法論，比如Arrow和Debreu的state-price理論。

再往下發(fā)展便是定價的具體數(shù)學技巧了，十分簡要的總結一下。一開始要追溯到19世紀末Bachelier的金融資產回報正態(tài)分布的奠基論文。20世紀中期，隨即積分，尤其是伊藤清的ITO Fomula，為描述金融資產的回報和其定價提供了強有力的工具。20世紀中后期，black和scholes在merton的幫助下推導出了BS模型。這是當時第一個采用無套利方法進行定價的模型，所以有跨時代的意義。再往后便是席卷整個數(shù)學的測度論浪潮，很多復雜的資產定價被精確的數(shù)學語言描述出來。測度論的工具性遠遠大于實用性。它是一門跨越學科的語言，可以讓數(shù)學家和經濟金融學家看懂對方在說什么。

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答一半，下班再繼續(xù)寫。

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