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盧卡斯數(shù)列

 pphsy 2015-02-16

盧卡斯數(shù)列

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盧卡斯數(shù)列是斐波那契數(shù)和盧卡斯數(shù)的推廣，以法國數(shù)學(xué)家愛德華·盧卡斯命名。

遞推關(guān)系

給定兩個整數(shù)P和Q，滿足：

  • P^2 - 4Q \neq 0

則第一類盧卡斯數(shù)列Un(P,Q)和第二類盧卡斯數(shù)列Vn(P,Q)由以下遞推關(guān)系定義：

  • U_0(P,Q)=0 \,

  • U_1(P,Q)=1 \,

  • U_n(P,Q)=P\cdot U_{n-1}(P,Q)-Q\cdot U_{n-2}(P,Q) \,\, , \, n>1 \,

以及

  • V_0(P,Q)=2 \,

  • V_1(P,Q)=P \,

  • V_n(P,Q)=P\cdot V_{n-1}(P,Q)-Q\cdot V_{n-2}(P,Q) \,\, , \, n>1 \,

代數(shù)關(guān)系

盧卡斯數(shù)列的特征方程是：

  • x^2 - Px + Q=0 \,

它的判別式是D=P^2 - 4Q，它的根是：

  • a = \frac{P+\sqrt{D}}2\quad , \quad b = \frac{P-\sqrt{D}}2. \,

注意a和b是不同的，因為D\ne 0.

盧卡斯數(shù)列的項可以用a和b的項定義如下：

  • U_n(P,Q)= \frac{a^n-b^n}{a-b} = \frac{a^n-b^n}{ \sqrt{D}}

  • V_n(P,Q)=a^n+b^n \,

從中我們可以推出以下關(guān)系：

  • a^n = \frac{V_n + U_n \sqrt{D}}{2}

  • b^n = \frac{V_n - U_n \sqrt{D}}{2}

其他關(guān)系

不少斐波那契數(shù)和盧卡斯數(shù)所滿足的關(guān)系，在盧卡斯數(shù)列中也有類似的形式。例如：

一般P=1, Q=-1
U_n = \frac{V_{n+1} - Q V_{n-1}}{P^2-4Q}U_n = \frac{V_{n+1} + V_{n-1}}{5}
V_n = U_{n+1} - Q U_{n-1}V_n = U_{n+1} + U_{n-1}
U_{2n} = U_n V_nU_{2n} = U_n V_n
V_{2n} = V_n^2 - 2Q^nV_{2n} = V_n^2 - 2(-1)^n
U_{n+m} = U_n U_{m+1} - Q U_m U_{n-1}U_{n+m} = U_n U_{m+1} + U_m U_{n-1}
V_{n+m} = V_n V_m - Q^m V_{n-m} \,V_{n+m} = V_n V_m - (-1)^m V_{n-m} \,

特殊名稱

對于某些P和Q的值，盧卡斯數(shù)列有特殊名稱：

應(yīng)用

參考文獻(xiàn)

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