斐波那契—盧卡斯數(shù)列與廣義斐波那契數(shù)列
斐波那契—盧卡斯數(shù)列
　　盧卡斯數(shù)列1、3、4、7、11、18…，也具有斐波那契數(shù)列同樣的性質(zhì)。(我們可稱(chēng)之為斐波那契—盧卡斯遞推：從第三項(xiàng)開(kāi)始，每一項(xiàng)都等于前兩項(xiàng)之和f(n) = f(n-1) + f(n-2)）。 　　這兩個(gè)數(shù)列還有一種特殊的聯(lián)系（如下表所示），F(xiàn)（n）*L（n）=F(2n)，及L（n）=F（n-1）+F(n+1) 　　n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 …
斐波那契數(shù)列F(n) 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 …
盧卡斯數(shù)列L(n) 1 3 4 7 11 18 29 47 76 123 …
F(n)*L(n) 1 3 8 21 55 144 377 987 2584 6765 …
　　類(lèi)似的數(shù)列還有無(wú)限多個(gè)，我們稱(chēng)之為斐波那契—盧卡斯數(shù)列。 　　如1，4，5，9，14，23…，因?yàn)?，4開(kāi)頭，可記作F[1，4]，斐波那契數(shù)列就是F[1，1]，盧卡斯數(shù)列就是F[1，3]，斐波那契—盧卡斯數(shù)列就是F[a，b]。
斐波那契—盧卡斯數(shù)列之間的廣泛聯(lián)系
　?、偃我鈨蓚€(gè)或兩個(gè)以上斐波那契—盧卡斯數(shù)列之和或差仍然是斐波那契—盧卡斯數(shù)列。 　　如：F[1,4]n+F[1,3]n=F[2,7]n，?F[1,4]n-F[1,3]n=F[0,1]n=F[1,1](n-1)， 　　?n 1? ?2 ?3 4? 5? 6 7 8 9 10 …
F[1,4]n 1 4 5 9 14 23 37 60 97 157 …
F[1,3]n 1 3 4 7 11 18 29 47 76 123 …
F[1,4]n-F[1,3]n 0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 …
F[1,4]n+F[1,3]n ?2 ?7 9? ?16 ?25 ?41 ?66 ?107 ?173 ?280 …?
　?、谌魏我粋€(gè)斐波那契—盧卡斯數(shù)列都可以由斐波那契數(shù)列的有限項(xiàng)之和獲得，如 　　?n 1? ?2 ?3 4? 5? 6 7 8 9 10 …
F[1,1](n) 1 1 2 3 5 8 13 31 34 55 …
F[1,1](n-1) 0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 …
F[1,1](n-1) 0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 …
F[1,3]n 1 3 4 7 11 18 29 47 76 123 …

黃金特征與孿生斐波那契—盧卡斯數(shù)列
　　斐波那契—盧卡斯數(shù)列的另一個(gè)共同性質(zhì)：中間項(xiàng)的平方數(shù)與前后兩項(xiàng)之積的差的絕對(duì)值是一個(gè)恒值， 　　斐波那契數(shù)列：|1*1-1*2|=|2*2-1*3|=|3*3-2*5|=|5*5-3*8|=|8*8-5*13|=…=1 　　盧卡斯數(shù)列：|3*3-1*4|=|4*4-3*7|=…=5 　　F[1，4]數(shù)列：|4*4-1*5|=11 　　F[2，5]數(shù)列：|5*5-2*7|=11 　　F[2，7]數(shù)列：|7*7-2*9|=31 　　斐波那契數(shù)列這個(gè)值是1最小，也就是前后項(xiàng)之比接近黃金比例最快，我們稱(chēng)為黃金特征，黃金特征1的數(shù)列只有斐波那契數(shù)列，是獨(dú)生數(shù)列。盧卡斯數(shù)列的黃金特征是5，也是獨(dú)生數(shù)列。前兩項(xiàng)互質(zhì)的獨(dú)生數(shù)列只有斐波那契數(shù)列和盧卡斯數(shù)列這兩個(gè)數(shù)列。 　　而F[1，4]與F[2，5]的黃金特征都是11，是孿生數(shù)列。F[2，7]也有孿生數(shù)列：F[3，8]。其他前兩項(xiàng)互質(zhì)的斐波那契—盧卡斯數(shù)列都是孿生數(shù)列，稱(chēng)為孿生斐波那契—盧卡斯數(shù)列。
廣義斐波那契數(shù)列
　　斐波那契數(shù)列的黃金特征1，還讓我們聯(lián)想到佩兒數(shù)列：1，2，5，12，29，…，也有|2*2-1*5|=|5*5-2*12|=…=1（該類(lèi)數(shù)列的這種特征值稱(chēng)為勾股特征）。 　　佩爾數(shù)列Pn的遞推規(guī)則：P1=1，P2=2，Pn=P(n-2)+2P(n-1). 　　據(jù)此類(lèi)推到所有根據(jù)前兩項(xiàng)導(dǎo)出第三項(xiàng)的通用規(guī)則:f(n) = f(n-1) * p + f(n-2) * q，稱(chēng)為廣義斐波那契數(shù)列。 　　當(dāng)p=1，q=1時(shí)，我們得到斐波那契—盧卡斯數(shù)列。 　　當(dāng)p=1，q=2時(shí)，我們得到佩爾—勾股弦數(shù)（跟邊長(zhǎng)為整數(shù)的直角三角形有關(guān)的數(shù)列集合）。 　　當(dāng)p=-1，q=2時(shí)，我們得到等差數(shù)列。其中f1=1，f2=2時(shí)，我們得到自然數(shù)列1，2，3，4…。自然數(shù)列的特征就是每個(gè)數(shù)的平方與前后兩數(shù)之積的差為1（等差數(shù)列的這種差值稱(chēng)為自然特征）。 　　具有類(lèi)似黃金特征、勾股特征、自然特征的廣義斐波那契數(shù)列p=±1。 　　當(dāng)f1=1，f2=2，p=2，q=1時(shí)，我們得到等比數(shù)列1，2，4，8，16……
編輯本段斐波那契數(shù)列與黃金比
　　1÷1=1，2÷1=2，3÷2=1.5，5÷3=1.666...，8÷5=1.6，…………，89÷55=1.6181818…，…………233÷144=1.618055…75025÷46368=1.6180339889…...