奧數(shù)知識一：

一筆畫

    哥尼斯堡是一座人杰地靈的名城。在這里，帕瑞格爾河從城中穿過，河中有兩個小島A與D，河上有七座橋連結(jié)這兩個島及河的兩岸B、C（圖1）。人們提出一個問題：能否經(jīng)過每座橋恰好一次，既無重復(fù)也無遺漏，為了便于解決實際生活中的一筆畫問題，可以把類似這樣的問題進一步抽象成一般的數(shù)學圖??一種簡單的幾何圖形，如圖1可抽象成幾何圖2（用點A、B、C、D表示四塊陸地，用連結(jié)這些點的線表示七座橋，這樣就便于研究它。）

　　實際問題是否一筆畫，應(yīng)具備的條件有：

　?。?）必須是連通圖形（如△，而非○）；

　　（2）對于圖中的任何一點，有偶數(shù)條線段與之相連的連通圖能夠一筆畫（如□，☆）。畫時可以以一“偶數(shù)點”為起點，最后仍回到起點。

　?。?）只有兩個奇數(shù)條線段與之相連的點的連通圖也能一筆畫，畫時必須以一“奇數(shù)點”為起點，以另一“奇數(shù)點”為終點。

　?。?）有超過兩個“奇數(shù)點”的連通圖不能一筆畫。

　　〔問題解決〕

　　1.“七橋問題”中“奇數(shù)點”個數(shù)為4個，所以不能一筆畫成。

　　2.你能筆尖不離紙，一筆畫出圖3的每個圖形嗎？

    分析 圖（a）有兩個奇數(shù)點，可從任一“奇數(shù)點”出發(fā)，以另一“奇數(shù)點”為終點一筆畫出。A→B→C→A→D→C；圖（b）、圖（C）都是“偶數(shù)點”的連通圖，可從任一點出發(fā)，一筆畫出。如圖（b）A→G→C→B→F→H→B→A，圖（c）A→B→E→B→C→i→l→E→D→F→J→H→i→c→A

　　3.數(shù)學興趣小組的同學們不但會制“七巧板”，還會制“六巧板”、“四巧板”呢。圖4是用小華制的“四巧板”拼成的“船”。如果畫在一張紙上你能否用剪刀一次連續(xù)剪下“船”中的每個圖形嗎？再還原拼成“四巧板”。

    分析 一次連續(xù)剪下圖中的四個圖形，要求剪刀必須連續(xù)剪過圖中所有的線，即問題的實質(zhì)是這個圖能否一筆畫。顯然，圖中只有兩個“奇數(shù)點”A、D，因此，可以很快判斷能辦到，剪刀所走的路線可以是：A→B→C→A→D→C→G→H→I→J→G→F→E→D。

　　剪好后拼成原“四巧板”即為圖5。

　　4.圖6是一個公園的平面圖，要使游客走遍公園每條路而不重復(fù)，問出入口應(yīng)設(shè)在哪里？
 

    分析 本題實際上是問這個圖以哪點為起點與終點的問題，觀察圖6可以發(fā)現(xiàn)；圖中10個點中僅有兩個“奇數(shù)點”A與I，因此出入口應(yīng)設(shè)在A點與I點。