2007年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試（湖南卷）數(shù)學(xué)（文史類）第21題：

已知函數(shù)在區(qū)間，內(nèi)各有一個(gè)極值點(diǎn)．

（I）求的最大值；

（II）當(dāng)時(shí)，設(shè)函數(shù)在點(diǎn)處的切線為，若在點(diǎn)處穿過(guò)函數(shù)的圖象（即動(dòng)點(diǎn)在點(diǎn)附近沿曲線運(yùn)動(dòng)，經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí)，從的一側(cè)進(jìn)入另一側(cè)），求函數(shù)的表達(dá)式．

在參照考試部門公布的標(biāo)準(zhǔn)答案（見本文后面的附件，以下簡(jiǎn)稱“標(biāo)答”）的基礎(chǔ)上，筆者對(duì)這道題的解法做了認(rèn)真的研究。在研究中，我發(fā)現(xiàn)了一些解決此問(wèn)題的較好的處理方法或思路，比標(biāo)答更容易被讀者理解。我把它整理出來(lái)，希望能對(duì)你理解此題的解答有所幫助。

解：（I）解法二：因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間，內(nèi)分別有一個(gè)極值點(diǎn)，所以在，內(nèi)分別有一個(gè)實(shí)根，設(shè)兩實(shí)根為（），則，，即有，，從而有，也就有。

因?yàn)?/span>，，即。

所以。

易知當(dāng)，，即，時(shí)，中的等號(hào)成立。

故　的最大值為16。

（評(píng)：我們?cè)噷⑸鲜鼋獯鹋c標(biāo)答比較一下，兩種解法在本質(zhì)上是一樣的，但前者在表述上要顯得清晰和易于理解一些，避開了根號(hào)的使用。）

（II）解法三：

在點(diǎn)處的切線的方程是:，即，

因?yàn)榍芯€在點(diǎn)處穿過(guò)的圖象，

所以在兩邊附近的函數(shù)值異號(hào)。*

在兩邊附近，所以要在兩邊附近的函數(shù)值異號(hào)，也就是要一次函數(shù)在兩邊附近的函數(shù)值異號(hào)，根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)，則必須滿足，即，由有，故．

（評(píng)：解法的后半部分通過(guò)很完全的因式分解，將的表達(dá)式化后通過(guò)討論和兩式的符號(hào)問(wèn)題來(lái)很快地獲解。）

解法四：與解法三“*”前內(nèi)容同

     ．

在兩邊附近的值是異號(hào)的，要在兩邊附近的函數(shù)值異號(hào)，也就是要二次函數(shù)在兩邊附近的函數(shù)值同號(hào)，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，則必須滿足或處就是二次函數(shù)的頂點(diǎn)。然而驗(yàn)算知，確實(shí)有，所以處就是二次函數(shù)的頂點(diǎn)，即有=1，得，由有，故．

（評(píng)：此法與解法三比較，在因式分解上不是很完全，但通過(guò)運(yùn)用二次函數(shù)的性質(zhì)也使問(wèn)題迎刃而解。筆者認(rèn)為，解法三和解法四在借助于因式分解這一利器的基礎(chǔ)上，將較復(fù)雜的函數(shù)問(wèn)題巧妙地轉(zhuǎn)化成一次函數(shù)或二次函數(shù)這樣的簡(jiǎn)單函數(shù)問(wèn)題而使問(wèn)題地解決變得簡(jiǎn)潔輕松，大大地降低了讀者在理解上的難度。由此我們不難得到這樣的啟示：用簡(jiǎn)單的方法往往可以把看似不簡(jiǎn)單問(wèn)題解決得很輕松，所以在解高考題時(shí)千萬(wàn)別瞧不起你初中時(shí)慣用的思想和方法，也許它能幫你大忙。）

[附件]　考試部門公布的標(biāo)準(zhǔn)答案：

解 （I）因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間，內(nèi)分別有一個(gè)極值點(diǎn)，所以在，內(nèi)分別有一個(gè)實(shí)根，

設(shè)兩實(shí)根為（），則，且．于是

，，且當(dāng)，即，時(shí)等號(hào)成立．故的最大值是16．

（II）解法一：由知在點(diǎn)處的切線的方程是

，即，

因?yàn)榍芯€在點(diǎn)處穿過(guò)的圖象，

所以在兩邊附近的函數(shù)值異號(hào)，則

不是的極值點(diǎn)．

而，且

．

若，則和都是的極值點(diǎn)．

所以，即，又由，得，故．

解法二：同解法一得

．

因?yàn)榍芯€在點(diǎn)處穿過(guò)的圖象，所以在兩邊附近的函數(shù)值異號(hào)，于是存在（）．

當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，；

或當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，．

設(shè)，則

當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，；

或當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，．

由知是的一個(gè)極值點(diǎn)，則，

所以，又由，得，故．

作者簡(jiǎn)介：王益兵，男，39歲，湖南省桃源縣教師進(jìn)修學(xué)校教師，91年畢業(yè)于湖南師范大學(xué)數(shù)學(xué)系，學(xué)士學(xué)位，任教過(guò)初高中數(shù)學(xué)，職稱中教一級(jí)。