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剛剛的這道聯(lián)考題 讓我想起了高數(shù)的“拉氏定理” 也是課堂上 一再想回避的東西 總感覺中學(xué)這樣的考題 是諷刺當(dāng)年 如我一樣沒有好好學(xué)習(xí)的你 但依稀還記得 那段看似悲傷的詩 我還是很喜歡你 就像拉格朗日 羅爾街旁 守望著柯西的憂傷 …… 沒辦法逃避 就只能默默地 拿起舊書再溫習(xí) 那幾個相關(guān)的定理 只期望 課堂上的講解 能更加傳神和有道理 費 馬 引 理 從定義來看，是不是有種似曾相識的感覺了呢?仔細(xì)想想，好像與我們熟悉的極值相關(guān)概念是有相似之處的。 先看下證明。 通常稱導(dǎo)數(shù)等于零的點為函數(shù)的駐點 又稱“穩(wěn)定點”或“臨界點” 也確實 單從“導(dǎo)數(shù)等于零”來說 它與極值點之間是有密切關(guān)系的 對于可導(dǎo)函數(shù)來說 我們以前所熟悉的極值點 因為導(dǎo)數(shù)值為零 就一定是駐點 但駐點 卻未必一定是極值點 對于一般函數(shù)而言 極值點的來源主要有兩處 導(dǎo)數(shù)不存在的點 和 駐點 當(dāng)然 它們的共同點 都不是幾何意義上的“點” 羅 爾 定 理 說起這個“羅爾定理”，不由得想起大學(xué)讀書時的數(shù)分老師。那句“閉連續(xù)，開可導(dǎo)，兩頭一般高，水平切線至少有一條”，是不是很多學(xué)過高數(shù)的同伴們，都還記憶猶新呢。 其實想想 “費馬引理”在這個證明里的作用 真的是杠杠滴 對，一定要記住那句： 閉連續(xù)，開可導(dǎo)，兩頭一般高， 水平切線至少有一條 當(dāng)然 高中的你 也可以用下面的圖像去更直觀的理解  羅爾定理幾何解釋 在a,b之間存在一些點，使得其切線平行于x軸。 素人素言 拉格朗日中值定理
其實，就算一名高中生，也能看出，這個“拉氏定理”其實是將“羅爾定理”的條件一般化了。尤其對于喜歡圖像的中學(xué)生來說，更能夠從圖像上找到拉氏定理的幾何意義。
這種構(gòu)造法， 倒是我們中學(xué)里常用的手段， 只是這里， 為了作出羅爾定理的條件， 構(gòu)造一個這樣的函數(shù)， 真的也算是膽大心細(xì)了。 那么， 作為一名中學(xué)生， 你能看出這里構(gòu)造的基本思路嗎?
我說構(gòu)造的φ(x)其實就是f(x)-g(x) 你覺得呢? 若g(x)為直線的方程 則顯然就有φ(a)=φ(b) 這樣 φ(x)就符合了羅爾定理中的 “兩頭一般高”了 幾何解釋 在a,b之間，y=f(x)圖像上至少存在一條平行于弦AB的切線。 定理應(yīng)用
上面三個小題， 充分體現(xiàn)了拉氏定理的優(yōu)越性， 但可惜的是， 在高考中， 這種方法還是要慎用的。 但是， 如果可以換個思路， 站在這種高數(shù)的這種高觀點的角度， 去俯視目前的函數(shù)， 或許， 也是可以給我們一些啟迪的。
考題處理
這是剛剛的聯(lián)考題， 但凡是壓軸題，就總會被一線教師所關(guān)注。 通過對前面三個定理的了解，現(xiàn)在知道第二問明顯是考查“拉氏定理”了。 作為一名中學(xué)教師，在定理不能直接應(yīng)用的狀況下，又該如何向?qū)W生完美的詮釋這個定理呢？ 因為，給出的標(biāo)準(zhǔn)答案，于許多的同學(xué)來說，確實有點天外飛仙的感覺了。
其實，上面的解法雖未必完美，但總認(rèn)為，就題目結(jié)論的特征，從“雙變元”題型的角度，考慮其解法，應(yīng)該才是最順理成章，也最便于學(xué)生接受了。 畢竟，根據(jù)等式兩邊代數(shù)式結(jié)構(gòu)的相似性，來構(gòu)造函數(shù)，于學(xué)生而言，是一種常規(guī)體驗了。 而且，這里對于羅爾定理的說明，也是最樸素且有效的吧。
其實，此法中通過構(gòu)造函數(shù)，利用零點存在性特征來說明零點的位置，也是別開生面的一種解法。 同時，在此解法中“比值代換”的使用，也深刻體現(xiàn)了對于“雙變元問題”，消元思想的重要性。 當(dāng)然，對于解法中三個常見的函數(shù)關(guān)系，不僅要了然于胸，而且要熟悉如何去說明這種關(guān)系，否則，即便知道了考的是它，又有什么用呢！
拉格朗日 在數(shù)學(xué)、力學(xué)和天文學(xué)三個學(xué)科領(lǐng)域中都有劃時代意義的貢獻(xiàn)，是18世紀(jì)歐洲最偉大的數(shù)學(xué)家，拿破侖稱他為“數(shù)學(xué)科學(xué)高聳的金字塔”。 |
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