所謂存在性探究、探索題是指在一定的條件下，判斷某種數(shù)學(xué)對象是否存在的問題。這類問題構(gòu)思巧妙，對考察學(xué)生思維的敏銳性、推理的嚴(yán)密性具有獨(dú)特的作用。存在性試題近年來頻繁出現(xiàn)在中考試卷及各類競賽考試中，主要以解答題的形式出現(xiàn)，其內(nèi)容涉及到代數(shù)、幾何等各知識點(diǎn)。

        對存在性探索問題的解法思路一般是：先假設(shè)結(jié)論的某一個方面成立，通過結(jié)合已知條件數(shù)學(xué)公式、定理進(jìn)行演算、推理論證，得到某一結(jié)論。如果推理、演算得到的結(jié)論與某個已知條件、某個公式、定理相矛盾，說明我們前面的假設(shè)不成立；若通過推理、計(jì)算，得到的結(jié)論符合已知條件、公式、定理（包括客觀的事實(shí)），說明我們前面的假設(shè)成立；整個過程可以概括為：“假設(shè)………推理…………否定或肯定結(jié)論…………得到結(jié)論”

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【沖擊高分】2014中考數(shù)學(xué)真題專項(xiàng)演練（二輪復(fù)習(xí)用）

例1：如圖所示，已知A(1,0)、B ，C、D為直角坐標(biāo)系內(nèi)兩點(diǎn)，點(diǎn)C在x軸負(fù)半軸上，且OC=2OA，以A點(diǎn)為圓心、OA為半徑 作⊙A。直線CD切⊙A于D點(diǎn)，連結(jié)OD。 　　

（1）求點(diǎn)D的坐標(biāo)；

（2）求經(jīng)過O、B、D三點(diǎn)的拋物線解析式；

（3）判斷在（2）中所得的拋物線上是否存在一點(diǎn)P，使ΔDCP∽ΔOCD？若存在，求出P點(diǎn)坐標(biāo)；不存在，請說明理由。

分析：本例中第（3）小題是結(jié)論探索型題目。欲判斷在第2小題中得到的拋物線上是否存在一點(diǎn)P，使ΔDCP∽ΔOCD，可從代數(shù)、幾何兩個方面入手去考慮。從代數(shù)入手，可先求拋物線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，然后證明該點(diǎn)在⊙A上，進(jìn)而證明該點(diǎn)滿足條件ΔDCP∽ΔOCD。從幾何入手，可先考慮⊙A與x軸的另一交點(diǎn)（設(shè)為F）。不難證明ΔDCF∽ΔOCD。再證明點(diǎn)在（2）中所得的拋物線上，進(jìn)而知F即為P點(diǎn)。

　解：（1）連結(jié)AD，則AD⊥CD于D,作DE⊥OA于E。

　∵ 點(diǎn)A坐標(biāo)為（1，0），且OC=2OA，∴AC=3，

　　∵ sin∠ACD= , ∴sin∠ADE= ,

　∴ AE= ,因而OE=1－ = ，

　　∴ DE= ，

　∴ D點(diǎn)坐標(biāo)為( ).

　?。?）設(shè)拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過O(0,0)、B( )、D( ),

　　則C=0，且 　解得： ，

　∴ 所求的拋物線的解析式為y=- x2+ x.

?。?）設(shè)⊙A與x軸的另一個交點(diǎn)為F(2,0)，連結(jié)DF，

　∵ CD切⊙A于D，∴∠CDO=∠CFD，

　　又∠DCO=∠FCD，∴ΔOCD∽ΔDCF，

　　將x=2代入y=- x2+ x中，得y=0，

　∴ F（2，0）在拋物線上， ∴點(diǎn)F即為所求的P點(diǎn)，

　　∴ 拋物線y=- x²+ x上存在一點(diǎn)P，使ΔPCD∽ΔDCO。

　　說明：本例并未要求判斷結(jié)論的唯一性，若存在，找到一個就可以了，在這里，觀察、分析，采用合情推理進(jìn)行判斷起了關(guān)鍵作用。

　例2 已知點(diǎn)A(-1,-1)在拋物線y=(k²-1)x²-2(k-2)x+1上。

?。?）求拋物線的對稱軸。

　?。?）若B與A點(diǎn)關(guān)于拋物線的對稱軸對稱，問是否存在與拋物線只交于一點(diǎn)B的直線？如果存在，求符合條件的直線；如果不存在，說明理由。

　分析：（1）用待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式，從而求拋物線對稱軸。

　?。?）由軸對稱性可求B點(diǎn)坐標(biāo)。結(jié)合圖形進(jìn)行綜合分析，利用解方程組判定直線的存在性。

　　解答：（1）∵ A(-1,-1)在拋物線y=(k²-1)x²-2(k-2)x+1上，

　∴ -1=k²-1+2(k-2)+1, k²+2k-3=0,

　∴ k1=1, k2=-3,

　∵ k²-1≠0, ∴k1=1(舍去), ∴k=-3.

　∴ y=8x²+10x+1, 得對稱軸為x=- .

?。?）∵ B點(diǎn)與A點(diǎn)關(guān)于x=- 對稱，

　　∴ B點(diǎn)坐標(biāo)為(x, -1)，且B點(diǎn)在拋物線上，

　　由(1)知，拋物線為y=8x²+10x+1.

　　∴ -1=8x²+10x+1, 4x²+5x+1=0,

　　∴ x1=-1, x2=- ,

　　∴ B點(diǎn)坐標(biāo)為(- ,-1).

　　(i)假設(shè)存在直線y=mx+n與拋物線y=8x2+10x+1只交于一點(diǎn)B，則-1=- m+n，即

　　m-4n=4.............①

　又由 只有一個實(shí)數(shù)解，

　　得8x²+(10-m)x+1-n=0

∵ Δ=0,

　　∴ (10-m)²-32(1-n)=0...........②

　　由①,②解得 　　∴y=6x+ .

　(ii)當(dāng)直線過B(- ,-1)且與y軸平行時(shí)，直線與拋物線只有一個交點(diǎn)，此時(shí)直線為x=- .

　∴ 符合條件的直線為y=6x+ ，x=- .

　　誤區(qū)：誤認(rèn)為與拋物線只有一個公共點(diǎn)的直線只有y=6x+ 或x=- .

　說明：在結(jié)論探索題中，常見的一類就是探索存在性的問題，這類問題的特點(diǎn)是探求命題的結(jié)論是否存在。一般的求解方法是：假設(shè)結(jié)論存在，如果求出的結(jié)論符合已知條件則結(jié)論存在；如果求出結(jié)論不符合已知條件或與定理、公理等相矛盾，則結(jié)論不存在。探求存在型試題可以考查學(xué)生的判斷能力和發(fā)現(xiàn)問題、解決問題的能力