|
費(fèi)馬 北京航空航天大學(xué) 李心燦 王武保 費(fèi)馬，P．de(Fermat，Pierre de)1601年8月20日生于法國南部圖盧茲附近的博蒙-德洛馬涅；1665年1月12日卒于法國卡斯特爾．?dāng)?shù)學(xué)． 費(fèi)馬出身于皮革商人家庭，他的祖父、父親、叔父都從事商業(yè)．他的父親多米尼克(Dominique Fermat)還是當(dāng)?shù)氐诙?zhí)政官，經(jīng)辦了一個(gè)生意興隆的皮革商行．他的母親克拉麗·德·朗(Claire de Long)曾在長袍貴族議會(huì)中任職．費(fèi)馬于1631年6月1日和他母親的堂妹路易絲·德·朗(Louise de Long)結(jié)婚，生育了兩個(gè)兒子和三個(gè)女兒． 費(fèi)馬的童年和少年時(shí)代是在波蒙特渡過的，在家鄉(xiāng)上完中學(xué)后，可能進(jìn)入了圖盧茲大學(xué)．17世紀(jì)20年代的后期他曾在波爾多(Bordeaux)度過了相當(dāng)長的一段時(shí)間，就在這一時(shí)期他對(duì)數(shù)學(xué)發(fā)生了興趣，深入地研究過F．韋達(dá)(Viète)的著作．費(fèi)馬在1631年5月1日獲奧爾良(Orleans)大學(xué)民法學(xué)士學(xué)位． 費(fèi)馬以律師為職業(yè)，曾任圖盧茲議會(huì)的議員，并享有長袍貴族的特權(quán)．他不但有豐富的法律知識(shí)，而且是一個(gè)博覽群籍、識(shí)多見廣的學(xué)者．雖然數(shù)學(xué)只不過是他的業(yè)余愛好，但他精通法語、意大利語、西班牙語、拉丁語、希臘語，從而使他不僅能精心研究韋達(dá)的著作，而且能深入鉆研那些古典的數(shù)學(xué)著作．例如，阿基米德(Archimedes)、阿波羅尼奧斯(Apollonius)、丟番圖(Diophantus)、帕普斯(Pappus)等人的作品，在下述幾個(gè)數(shù)學(xué)分支中做出了極為重要的貢獻(xiàn)：他在研究幾何的過程中發(fā)現(xiàn)了解析幾何的原理；他是微積分的先驅(qū)者；他和B．帕斯卡(Pascal)共同開創(chuàng)了概率論的早期研究；他是近代數(shù)論的開拓者． 他和R，笛卡兒(Descartes) 分享創(chuàng)立解析幾何的殊榮 費(fèi)馬對(duì)于曲線的探討，是從研究古希臘的幾何學(xué)家，特別是研究阿波羅尼奧斯的成果開始的．他力圖把阿波羅尼奧斯關(guān)于軌跡的某些久已失傳的證明補(bǔ)充起來，為此他寫了篇幅不大的《平面和立體的軌跡引論》(Ad locos planos et solidos)一書．這本著作可能在1629年左右編成，但直到1679年才出版問世．他說他試圖開展關(guān)于軌跡的一般性研究，這種研究是希臘人沒有做到的． 從費(fèi)馬的《平面和立體的軌跡引論》和他在1636年與G．P．羅貝瓦爾(Roberval)等人的通信中，可以看出他在笛卡兒發(fā)表《幾何學(xué)》(La géome-trie，1637)之前，就已發(fā)現(xiàn)了解析幾何的基本原理，發(fā)現(xiàn)了用代數(shù)方程表示曲線的方法：他取一條水平的直線作為軸，并在此直線上確定一個(gè)點(diǎn)作為原點(diǎn)．他考慮任意曲線和它上面的一般點(diǎn)M(圖1)．點(diǎn)M的位置用兩個(gè)字母A，E來確定，A表示從原點(diǎn)O沿軸線 費(fèi)馬所用的坐標(biāo)實(shí)際上是我們所說的傾斜坐標(biāo)，但是y軸沒有明顯地出現(xiàn)，而且不用負(fù)數(shù)．他的A，E就是我們的x，y．費(fèi)馬清楚地?cái)⑹隽怂囊话阍恚骸爸灰谧詈蟮姆匠汤锍霈F(xiàn)了兩個(gè)未知量，我們就得到一條軌跡，這兩個(gè)量之一，其末端就繪出一條直線或曲線．”圖中對(duì)于不同位置的E，其末端M，M1，M2，…就把這條“線”描繪出來．費(fèi)馬的未知量A和E，實(shí)際上是變數(shù)，或者可以說，聯(lián)系A(chǔ)和E的方程是不確定的．在這里，費(fèi)馬采用韋達(dá)的辦法，讓一個(gè)字母代表一類的數(shù)，然后寫出聯(lián)系A(chǔ)和E的各種方程，并指明它們所描繪的曲線．例如，他寫出“D in A aequetur B in E”(用我們的記號(hào)就是Dx=By)，并指明這代表一條直線．他還給出了(以下用我們今天的符號(hào))：d(a-x)=by代表一條直線；a2-x2=y2是圓的方程；a2-x2=ky2是橢圓方程；a2+x2=ky2是雙曲線方程；xy=a是雙曲線方程，x2=ay是拋物線方程．應(yīng)該指出，因費(fèi)馬不用負(fù)坐標(biāo)，他的方程不能像他所說的代表整個(gè)曲線，但他確實(shí)領(lǐng)會(huì)到坐標(biāo)軸可以平移或旋轉(zhuǎn)，因?yàn)樗o出一些較復(fù)雜的二次方程，并給出它們的簡化形式．例如，他曾指出d2+xy=bx+sy是雙曲線．費(fèi)馬既把圓錐曲線看成圓錐的平截線，也看成為平面軌跡和二次方程的圖象．他在《求最大值和最小值的方法》(Methodus addisquirendam maximam et minimam，1637)中引進(jìn)了曲線y= xn和y=x-n．他在1643年的一封信里，還簡短地描述了他的三維解析幾何的思想．他第一個(gè)把三元方程應(yīng)用于空間解析幾何．他還談到了柱面、橢圓拋物面、雙葉雙曲面和橢球面，并指出作為平面曲線論的頂峰，應(yīng)該研究曲面上的曲線．“這個(gè)理論，有可能用一個(gè)普遍的方法來處理．我有空閑時(shí)將說明這個(gè)方法．”盡管費(fèi)馬對(duì)三維解析幾何未能給出一個(gè)幾何框架，但他卻為它提供了一個(gè)代數(shù)基礎(chǔ)．在1650年的一篇文章“新型二階或高階方程分析中的指標(biāo)問題”(Novus secundarum et ulterioris ordinis radicumin analyticis usue)里，他指出，一個(gè)自變量的方程決定點(diǎn)的作圖，二個(gè)自變量的方程決定平面曲線的軌跡的作圖，三個(gè)自變量的方程決定空間中曲面的軋跡的作圖． 當(dāng)?shù)芽▋旱摹稁缀螌W(xué)》出版之際，費(fèi)馬曾對(duì)書中所提出的曲線分類理論提出異議，并指出書中不應(yīng)該刪去極大值和極小值，曲線的切線，以及立體軌跡的作圖法．他認(rèn)為這些內(nèi)容是所有幾何學(xué)家值得重視的．為此，他們曾進(jìn)行過激烈的爭論．但冷靜下來之后，態(tài)度便逐漸緩和．費(fèi)馬在1660年的一篇文章里，既開誠布公地指出笛卡兒《幾何學(xué)》中的一個(gè)錯(cuò)誤，又誠摯地說出，他很佩服笛卡兒的天才． 費(fèi)馬和笛卡兒研究解析幾何的方法是大相徑庭的，表達(dá)形式也迥然不同：費(fèi)馬主要是繼承了希臘人的思想．盡管他的工作比較全面系統(tǒng)，正確地?cái)⑹隽私馕鰩缀蔚幕驹?，但他的研究主要是完善了阿波羅尼奧斯的工作．因此古典色彩很濃，并且沿用了韋達(dá)以字母代表數(shù)類的思想，因此需要讀者對(duì)韋達(dá)的代數(shù)知識(shí)了解甚多．而笛卡兒則是從批判希臘的傳統(tǒng)出發(fā)，斷然同這種傳統(tǒng)決裂，走的是革新古代方法的道路．他的方法更具一般性，也適用于更廣泛的超越曲線．費(fèi)馬是從方程出發(fā)來研究它的軌跡；而笛卡兒則從軌跡開始建立它的方程．這正是解析幾何中一個(gè)問題的正反兩種提法．但各有側(cè)重，前者是從代數(shù)到幾何，而后者是從幾何到代數(shù)．從歷史的發(fā)展看，后者更具有突破性． 他是微積分學(xué)的先驅(qū)者之一 關(guān)于微積分方法的創(chuàng)立，I．牛頓(Newton)曾經(jīng)說過：“我從費(fèi)馬的切線作法中得到了這個(gè)方法的啟示，我推廣了它，把它直接地并且反過來應(yīng)用于抽象的方程，” 對(duì)光學(xué)的研究特別是透鏡的設(shè)計(jì)，促使費(fèi)馬探求曲線的切線．他在1629年就找到了求切線的一種方法，但遲后八年發(fā)表在1637年的手稿《求最大值和最小值的方法》中，他的方法要點(diǎn)如下： 設(shè)PT是曲線在點(diǎn)P處的切線(圖2)，TQ的長叫次切線．費(fèi)馬的方案是求出PQ的長度，從而知道T的位置，最后就能作出TP． 設(shè)QQ1是TQ的增量，長度為E．因?yàn)椤鱐QP∽△PRT1，所以 TQ∶PQ=E∶T1R 但是，費(fèi)馬說，T1R和P1R的長度差不多；因此 TQ∶PQ=E∶(P1Q1-QP)， 用現(xiàn)在的符號(hào)，若令PQ為f(x)，則有 TQ∶f(x)=E∶[f(x＋E)-f(x)]． 因此， 費(fèi)馬對(duì)上式的處理是：用E除右端分式的分子和分母，然后令E=0(他說是去掉E項(xiàng))，就得到TQ．這就是費(fèi)馬通過次切線TQ求表達(dá)式 費(fèi)馬把韋達(dá)的代數(shù)理論應(yīng)用到帕普斯《數(shù)學(xué)論題》(Mathema-tical collection)中的一個(gè)問題，便得到了求最大值最小值方法．他在《求最大值和最小值的方法》中曾用如下的一個(gè)例子加以說明：已知一條直線(段)，要求出它上面的一點(diǎn)，使被這點(diǎn)分成的兩部分線段組成的矩形最大．他把整個(gè)線段叫做B，并設(shè)它的一部分為A．那么矩形的面積就是AB-A2．然后他用A＋E代替A，這時(shí)另外一部分就是B-(A＋E)，矩形的面積就成為(A＋E)(B-A-E)．他把這兩個(gè)面積等同起來，因?yàn)樗J(rèn)為，當(dāng)取最大值時(shí)，這兩個(gè)函數(shù)值——即兩個(gè)面積應(yīng)該是相等的．所以 AB＋EB-A2-2AE-E2=AB-A2． 兩邊消去相同的項(xiàng)并用E除，便得到 B=2A+E． 然后令E=0(他說去掉E項(xiàng))，得到B=2A．因此這矩形是正方形． 費(fèi)馬認(rèn)為這個(gè)方法有普遍的適用性．他說：如果A是自變量，并且如果A增加到A＋E，則當(dāng)E變成無限小，且當(dāng)函數(shù)經(jīng)過一個(gè)極大值(或極小值)時(shí)，函數(shù)的前后兩個(gè)值將是相等的．把這兩個(gè)值等同起來；用E除方程，然后使E消失，就可以從所得的方程，確定使函數(shù)取最大值或最小值的A值．這個(gè)方法實(shí)質(zhì)上是他用來求曲線切線的方法．但是求切線時(shí)是基于兩個(gè)三角形相似；而這里是基于兩個(gè)函數(shù)值相等． 遺憾的是，費(fèi)馬對(duì)于他的方法從來未從邏輯上作過清楚和全面的解釋，因此對(duì)于他究竟是怎樣考慮這個(gè)問題的，一些數(shù)學(xué)史專家曾產(chǎn)生過爭論．費(fèi)馬沒有認(rèn)識(shí)到有必要去說明先引進(jìn)非零E，然后用E通除之后，令E=0的合理性． 但從這里我們可以看出，費(fèi)馬這種求極值的方法已非常接近微分學(xué)的基本觀念了．如果用現(xiàn)代的記號(hào)他的規(guī)則可以表述如下： 欲求f(x)(費(fèi)馬先取個(gè)別的整有理函數(shù))的極值．先把表達(dá)式 零，再求出方程的根，便是可能使f(x)具有極值的極值點(diǎn)．他的方法給出了(可微函數(shù)的)極值點(diǎn)x所能滿足的必要條件f′(x)=0．費(fèi)馬還有區(qū)分x為極大值點(diǎn)和極小值點(diǎn)的準(zhǔn)則，即現(xiàn)在所謂的“二階導(dǎo)數(shù)準(zhǔn)則”(f″(x)＜0有極大，f″(x)＞0有極小)，盡管他沒能系統(tǒng)地去研究拐點(diǎn)(f″(x)=0)，但也得到了求拐點(diǎn)的一種法則． 費(fèi)馬還用類似的方法，研究過求拋物體截段重心的問題．他的方法要點(diǎn)如下：設(shè)截段的重心O和頂點(diǎn)的距離為a個(gè)單位．將截段的高度h減小E，則重心的位置改變．費(fèi)馬由一系列的引理，知道兩個(gè)截段的重心與頂點(diǎn)的距離與其高成正比，而兩截段體積與其高的平方成正比例，通過對(duì)O取瞬，他能用這些事實(shí)列出包含a，h和E的“虛擬等式”．根 微積分史上的重要性，在于它第一次采用相當(dāng)于今天微分學(xué)中的方法，而不是像積分學(xué)中求和的方法，求出了重心． 費(fèi)馬早在1636年之前在計(jì)算拋物線y=xn(n為正整數(shù))的面積時(shí)，以等距離的縱標(biāo)把面積分成窄長條，然后依據(jù)不等式 +(m-1)n 大約在1644年，他在橫坐標(biāo)做成幾何級(jí)數(shù)的那些點(diǎn)上引出縱坐標(biāo)，而把他自己的結(jié)果推廣到n為分?jǐn)?shù)與負(fù)數(shù)的情形；同時(shí)那些近似于ydx的長條的面積組成容易求和的幾何級(jí)數(shù)．經(jīng)過求極限即得費(fèi)馬的結(jié)果，這些 這樣就指出了它與對(duì)數(shù)性質(zhì)的關(guān)系． 費(fèi)馬還得出了一個(gè)求半立方拋物線長度的方法．這個(gè)方法也是他的一般方法的典型說明，展示出在他各個(gè)方面工作中的內(nèi)在聯(lián)系，對(duì)曲線上橫坐標(biāo)OQ=a，縱坐標(biāo)PQ=b的任一點(diǎn)，次切線TQ=c可以用他的切線 縱坐標(biāo)P1Q1，則線段PP1可用a和E來表達(dá)．對(duì) 但在切線上，而且也在曲線上，所以曲線的長度可以視為PP1的線段的和．而這些線段的和又可以作為在拋物線 之下的面積．由于這個(gè)面積已能求出，曲線的長度就可以求得． 費(fèi)馬還用自己的方法處理了許多幾何問題，例如，求球的內(nèi)接圓錐的最大體積、球的內(nèi)接圓柱的最大面積等等． 奇怪的是，費(fèi)馬在應(yīng)用他的方法來確定切線、求函數(shù)的極大值極小值以及求面積、求曲線長度等問題時(shí)，能在如此廣泛的各種問題上從幾何和分析的角度應(yīng)用無窮小量，而竟然沒有看到這兩類問題之間的基本聯(lián)系．其實(shí)，只要費(fèi)馬對(duì)他的拋物線和雙曲線求切線和求面積的結(jié)果再加仔細(xì)地考察和思考，是有可能發(fā)現(xiàn)微積分的基本定理的．也就是說費(fèi)馬差一點(diǎn)就成為微積分的真正發(fā)明者．以致J．L．拉格朗日(Lagrange)說：“我們可以認(rèn)為費(fèi)馬是這種新計(jì)算的第一個(gè)發(fā)明人．”P．S．拉普拉斯(Laplace)和J．傅里葉(Fourier)也有類似的評(píng)論．但S．D．泊松(Poisson)持有異議，認(rèn)為費(fèi)馬還沒達(dá)到如此高的境界．因?yàn)橘M(fèi)馬不但沒有認(rèn)識(shí)到求積運(yùn)算是求切線運(yùn)算的逆運(yùn)算，并且費(fèi)馬終究未曾指出微分學(xué)的基本概念——導(dǎo)數(shù)與微分；也未曾建立起微分學(xué)的算法．他之所以沒有作進(jìn)一步的考慮，可能是由于他以為自己的工作只是求幾何問題的解，而不是統(tǒng)一的很有意義的一種推理過程．在他看來，他的求最大值、最小值方法，切線方法以及求面積方法不過是解決這些具體問題的特有方法，而不是新的分析學(xué)．但是他的思想和方法對(duì)后來微積分學(xué)的建立奠定了重要的基礎(chǔ)． 他和帕斯卡共同對(duì)概率論進(jìn)行了最早的科學(xué)探索 雖然16世紀(jì)概率論已有了某些萌芽，例如H．卡爾達(dá)諾(Cardano)曾經(jīng)對(duì)機(jī)會(huì)對(duì)策中產(chǎn)生的一些問題感到過興趣，但首先試圖把這些方法歸納和抽象成一種法則的，還應(yīng)歸功于費(fèi)馬和帕斯卡．而激勵(lì)他們倆人認(rèn)真對(duì)待這項(xiàng)研究的起因，卻來自一個(gè)賭博者的請求． 1654年法國騎士C．梅累(Méré)向帕斯卡提出了一個(gè)使他苦惱很久的問題：“兩個(gè)賭徒相約賭若干局，誰先贏s局就算贏了，現(xiàn)在一個(gè)人贏a(a＜s)局，另一個(gè)人贏b(b＜s)局，賭博中止，問賭本應(yīng)怎樣分法才算合理？”這個(gè)問題后來稱為“賭點(diǎn)問題”．當(dāng)帕斯卡接到這個(gè)問題后，立刻把它轉(zhuǎn)告了費(fèi)馬，他們倆人都對(duì)這個(gè)問題得出了正確的答案，但所用的方法不同．關(guān)于概率論的研究就是這樣開始的．正如對(duì)概率論做出了卓越貢獻(xiàn)的法國數(shù)學(xué)家泊松后來所說：“由一位廣有交游的人向一位嚴(yán)肅的冉森派教徒所提出的一個(gè)關(guān)于機(jī)會(huì)游戲的問題乃是概率演算的起源．”這個(gè)廣有交游的人就是梅累，那位嚴(yán)肅的冉森派教徒就是帕斯卡． 當(dāng)C．惠更斯(Huygens)到巴黎的時(shí)候，聽說費(fèi)馬和帕斯卡在研究這個(gè)問題，他也進(jìn)行了研究，并寫成了《論賭博中的計(jì)算》(De Ratiociniis in Ludo Aleoe，1657)一書．從此概率論的研究引起了更多數(shù)學(xué)家的關(guān)注，特別是為了研究在實(shí)踐中碰到的大量隨機(jī)現(xiàn)象的統(tǒng)計(jì)規(guī)律，就進(jìn)一步推動(dòng)了這一數(shù)學(xué)分支的發(fā)展． 他開辟了近代數(shù)論 費(fèi)馬對(duì)解析幾何、微積分和概率論的開創(chuàng)都做出了重要的貢獻(xiàn)．但最能顯示出他的才華且對(duì)后人影響最大的，還是他在數(shù)論方面的工作．在他生命的最后15年里，他幾乎把全副精力放到了對(duì)數(shù)論的研究上． 在費(fèi)馬以前，希臘人也曾研究過數(shù)的性質(zhì)，我們可以從歐幾里得(Euclid)、尼科馬霍斯(Nicomachus)、賽翁(Theon)、丟番圖等人的著作中找到一些關(guān)于數(shù)的性質(zhì)的論述，但是很不系統(tǒng)．這門學(xué)科也曾強(qiáng)烈地吸引過印度人，但是直到費(fèi)馬仔細(xì)閱讀了丟番圖的譯本而把注意力轉(zhuǎn)移到這方面之前，數(shù)論始終不曾有過重大的進(jìn)展．費(fèi)馬認(rèn)為數(shù)論被忽視了．他曾抱怨說幾乎沒有什么人提出或懂得算術(shù)問題，并說：“這是不是由于迄今為止，人們都用幾何觀點(diǎn)而不用算術(shù)觀點(diǎn)來處理算術(shù)的緣故？”他認(rèn)為甚至連丟番圖也頗受幾何觀點(diǎn)的束縛．他相信算術(shù)有它自己的特殊園地：整數(shù)論． 費(fèi)馬對(duì)數(shù)論的研究是從閱讀丟番圖的著作《算術(shù)》(Arithme-tica)一書開始的，這本書曾被文藝復(fù)興時(shí)代的數(shù)學(xué)家譯成許多譯本，他仔細(xì)閱讀了由M．巴歇(Bachet)1621年校訂的法文譯本．費(fèi)馬對(duì)數(shù)論的大部分貢獻(xiàn)都批注在這本書頁的邊緣和空白處以及寫給朋友的一些信件中．他主要研究了素?cái)?shù)和整數(shù)的可除性問題并給出了從單個(gè)的基本解得到一般形式的解的一些論斷． 費(fèi)馬在1640年6月致M．梅森(Mersenne)的一封信中提出了下述三個(gè)定理： 1．若n是合成數(shù)，則2n-1是合成數(shù)． 2．若n是素?cái)?shù)，則2n-2可被2n除盡． 3．若n是素?cái)?shù)，則除了2kn+1這種形式的數(shù)之外，2n-1不能被其他素?cái)?shù)除盡． 費(fèi)馬宣稱，這三個(gè)定理是他關(guān)于數(shù)的性質(zhì)的研究基礎(chǔ)． 費(fèi)馬對(duì)數(shù)論還提出了下列一些重要定理： 4．費(fèi)馬斷言沒有一個(gè)形如4n+3的素?cái)?shù)能表達(dá)為兩個(gè)平方數(shù)之和． 5．費(fèi)馬在他的丟番圖書頁上的側(cè)記中以及在寫給梅森的一封信中，推廣了著名的直角三角形的3，4，5關(guān)系，指出了如下一些定理：形如4n＋1的一個(gè)素?cái)?shù)能夠而且只能作為一個(gè)直角邊為整數(shù)的直角三角形的斜邊；(4n＋1)的平方是兩個(gè)而且只有兩個(gè)這種直角三角形的斜邊；它的立方是三個(gè)而且只有三個(gè)這種直角三角形的斜邊；它的四次方是四個(gè)而且只有四個(gè)這種直角三角形的斜邊，如此等等，乃至無窮． 他在給梅森的信中還說，形如4n＋1的素?cái)?shù)和它的平方都只能以一種方式表達(dá)為兩個(gè)平方數(shù)之和；它的三次方和四次方都能以兩種方式表達(dá)為兩個(gè)平方數(shù)之和；它的五次方和六次方都能以三種方式表達(dá)為兩個(gè)平方數(shù)之和；如此等等，乃至無窮．他在信中接著說：若等于兩個(gè)平方數(shù)之和的一個(gè)素?cái)?shù)乘以另一個(gè)也是這樣的素?cái)?shù)，則其乘積將能以兩種方式表達(dá)為兩個(gè)平方數(shù)之和．若第一個(gè)素?cái)?shù)乘以第二個(gè)素?cái)?shù)的平方，則乘積將能以三種方式表達(dá)為兩個(gè)平方數(shù)之和；若乘以第二個(gè)素?cái)?shù)的立方，則乘積將能以四種方式表達(dá)為兩個(gè)平方數(shù)之和；如此等等，乃至無窮． 6．費(fèi)馬給出了關(guān)于將素?cái)?shù)表達(dá)為x2+2y2，x2+3y2，x2+5y2，x2-2y2以及其他這種形式的許多定理，它們都是關(guān)于素?cái)?shù)表達(dá)為平方和的推廣，并指出一個(gè)奇素?cái)?shù)能且只能以一種方式表為兩個(gè)平方數(shù)之差． 7．費(fèi)馬在1640年10月18日寫給B．F．德貝西(de Bessy)的一封信中給出了下述定理：若p是個(gè)素?cái)?shù)而a與p互素，則ap-a能為p整除．(后人稱這個(gè)定理為費(fèi)馬小定理．) 8．費(fèi)馬也研究過多邊形數(shù)，他在那本丟番圖的書的空白處寫下了這樣一個(gè)定理：每個(gè)正整數(shù)或者本身是一個(gè)三角形數(shù)，或者是兩個(gè)或三個(gè)三角形數(shù)之和；每個(gè)正整數(shù)或者本身是個(gè)正方形數(shù)，或者是2，3或4個(gè)正方形數(shù)之和；每個(gè)正整數(shù)或者本身是個(gè)五邊形數(shù)，或者是2，3，4或5個(gè)五邊形數(shù)之和：以及對(duì)較高的多邊形數(shù)的類似關(guān)系． 9．費(fèi)馬在1636年重新發(fā)現(xiàn)了Q．泰比特(T bitibn)第一個(gè)提出的法則，給出了第二對(duì)親和數(shù)17，926及18，416(第一對(duì)親和數(shù)220及284是畢達(dá)哥拉斯(Pythagoras)給出的)． 10．費(fèi)馬重新發(fā)現(xiàn)了求解x2-Ay2=1的問題，其中A是整數(shù)但非平方數(shù)．他在1657年2月寫給德貝西的一封信中提出一個(gè)定理：x2-Ay2=1在A是正數(shù)而非完全平方時(shí)有無窮多個(gè)解．費(fèi)馬還指出：對(duì)于給定的A和B，x2-Ay2=B在什么情況下可解，并能把它解出來． 費(fèi)馬對(duì)上述這些定理都沒有給出證明，有的也只是略述大意，補(bǔ)充這些定理的證明曾強(qiáng)烈的吸引著18世紀(jì)許多數(shù)學(xué)家． 費(fèi)馬在數(shù)論中還提出過其他一些定理．他提出的所有定理，除了下述兩個(gè)定理以外，都已被后來的人證明是正確的，這兩個(gè)定理是： (i)費(fèi)馬1640年在一封信中說，形如22n+1(n=0，1，2，…)的數(shù)都是素?cái)?shù)，他自己驗(yàn)證了當(dāng)n=0，1，2，3，4時(shí)，22n＋1確實(shí)都是素?cái)?shù)，但他承認(rèn)他還不能給出普遍的證明．后來L．歐拉(Euler)證明了當(dāng)n=5時(shí)，即22+1不是素?cái)?shù)．而且，直到今天再?zèng)]有發(fā)現(xiàn)其他22n＋1型的素?cái)?shù)．從而說明費(fèi)馬這個(gè)猜想是錯(cuò)誤的． (ii)費(fèi)馬于1637年左右，他在巴歇校訂的丟番圖的《算術(shù)》第二卷第八命題——“將一個(gè)平方數(shù)分為兩個(gè)平方數(shù)”的旁邊寫道：“相反，要將一個(gè)立方數(shù)分為兩個(gè)立方數(shù)，一個(gè)四次冪分為兩個(gè)四次冪，一般地將一個(gè)高于二次的冪分為兩個(gè)同次的冪，都是不可能的，對(duì)此，我確信已發(fā)現(xiàn)一種美妙的證法，可惜這里空白的地方太小寫不下．”這就是數(shù)學(xué)史上著名的費(fèi)馬大定理或稱費(fèi)馬最后定理．這個(gè)定理可用現(xiàn)代的術(shù)語簡述如下： 不可能有滿足 xn＋yn=zn，xyz≠0，n＞2的整數(shù)x，y，z，n存在． 費(fèi)馬逝世后，人們一直未找到他對(duì)這個(gè)定理的證明，于是激起了許多數(shù)學(xué)家試圖證明這個(gè)定理．例如：歐拉、A．M．勒讓德(Legendrd)、 C．F．高斯(Gauss)、N．H．阿貝爾(Abel)、P．G．L．狄利克雷(Dirichlet)、G．拉梅(Lame)、A．L．柯西(Cauchy)、E．E．庫默爾(Kummer)等著名數(shù)學(xué)家都試證過，并得到了部分結(jié)果，但都沒有得到普遍的證明．為此，布魯塞爾科學(xué)院、巴黎科學(xué)院曾設(shè)獎(jiǎng)金懸賞征集這個(gè)問題的證明，也沒得到結(jié)果．1908年，數(shù)學(xué)家F．沃爾夫斯克爾(Wolfskehl)在格丁根皇家科學(xué)會(huì)懸賞十萬馬克，贈(zèng)給最先證明這個(gè)定理的人．盡管許多跡象都說明費(fèi)馬最后定理可能是成立的，但至今依然沒有得到完全的證明．因此，費(fèi)馬是否真對(duì)這一問題作出正確的證明，也許將永遠(yuǎn)是個(gè)謎，不過從他提出的許多定理的絕大多數(shù)都被后來的人證明是正確的這一事實(shí)來看，費(fèi)馬確實(shí)具有一種直觀的天才和非凡的洞察力． 1879年，在萊頓圖書館惠更斯的手稿中發(fā)現(xiàn)一篇論文，其中介紹了由費(fèi)馬首創(chuàng)和應(yīng)用的“無窮下推法”(the method of infinitedescent)．在1659年，費(fèi)馬曾將這個(gè)方法的梗概寫信告訴過他的朋友P．卡爾卡維(Carcavi)．為了描述這個(gè)方法，我們先來考察費(fèi)馬在1640年12月25日給梅森的信中所提出的一個(gè)定理：每一個(gè)形如4n＋1的素?cái)?shù)，能唯一的分解為兩個(gè)平方數(shù)之和．例如17=42+1，29=52+22．應(yīng)用這個(gè)方法時(shí)，先假設(shè)形如4n+1的素?cái)?shù)并不具有所述性質(zhì)，我們要證明形如4n＋1的一個(gè)較小素?cái)?shù)也不具有所述性質(zhì)．由于n是任意的，所以還必需有一個(gè)更小的，這樣通過n的整數(shù)值往下遞推，就必定能推到n=1，從而推到素?cái)?shù)4×1＋1=5也不該具有所述性質(zhì)．但素?cái)?shù)5是能唯一分解為兩個(gè)平方數(shù)的和的，這就和假定相矛盾，因而每一個(gè)形如4n＋1的素?cái)?shù)都能唯一分解為兩個(gè)平方數(shù)之和．費(fèi)馬還說他用“無窮下推法”證明了下述定理：邊長為有理數(shù)的直角三角形的面積不可能是一個(gè)平方數(shù)．這個(gè)概括的證明是他唯一詳細(xì)寫出的證明，而且是作為x4＋y4=z4不可能有整數(shù)解的一個(gè)推論得出的，他還聲稱他用“無窮下推法”證明了上述命題8和命題10． 但后人一直未找到他是怎樣具體用“無窮下推法”證明的細(xì)節(jié)，不過他提出的上述一些命題卻被歐拉、拉格朗日、柯西等用他首創(chuàng)的“無窮下推法”或其他方法證明確實(shí)是正確的． 費(fèi)馬在數(shù)論中提出的命題，都以極大的魅力吸引了許多后來的數(shù)學(xué)家去研究它們，從而推動(dòng)了19世紀(jì)數(shù)論理論的發(fā)展和數(shù)論研究方法的產(chǎn)生．例如，庫默爾在企圖證明費(fèi)馬最后定理時(shí)，就創(chuàng)立了理想數(shù)論．另外費(fèi)馬的成果對(duì)現(xiàn)代代數(shù)學(xué)基本概念的明確闡述也起到了推動(dòng)作用． 他對(duì)光學(xué)做出了重要貢獻(xiàn) 費(fèi)馬同他那個(gè)世紀(jì)的其他數(shù)學(xué)家一樣，他研究過許多科學(xué)問題，特別對(duì)光學(xué)做出過重要貢獻(xiàn)． 費(fèi)馬在1637年看到笛卡兒的《折光》(La dioptrique)中給出的折射定律 其中v1是光線在第一介質(zhì)中的速度，v2是光進(jìn)入第二介質(zhì)的速度(圖4)．他對(duì)這個(gè)定律及其證明方法都持懷疑和反對(duì)的態(tài)度，并曾引起他們倆人之間長達(dá)十年之久的爭論．但后來費(fèi)馬發(fā)現(xiàn)反射時(shí)光線取需時(shí)最少的路徑，而且相信自然確實(shí)是按簡單而又經(jīng)濟(jì)的方式行動(dòng)的，在1657年和1662年的信件中，他確認(rèn)了他的最小時(shí)間原理——光線永遠(yuǎn)取花時(shí)間最少的路徑行進(jìn)．當(dāng)他在1661年發(fā)現(xiàn)他能夠從他的原理導(dǎo)出光的折射定律時(shí)，他不但解除了對(duì)笛卡兒的折射定律的懷疑，而且更加確信自己的原理的正確性． 費(fèi)馬的原理現(xiàn)在數(shù)學(xué)上有幾種等價(jià)陳述形式．按照拆射定律 常用n表示v1對(duì)v2之比，叫做第二種介質(zhì)相對(duì)于第一種介質(zhì)的折射率；如果第一種介質(zhì)是真空，則n叫做非真空介質(zhì)的絕對(duì)折射率，如果c表 的速度．如果介質(zhì)的特點(diǎn)是逐點(diǎn)變化的，則n和v都是x，y和z的函數(shù)．因此光線沿著曲線x(σ)，y(σ)，z(σ)從點(diǎn)P1行進(jìn)到點(diǎn)P2所需的時(shí)間為 其中σ1是σ在P1的值而σ2是σ在P2的值．因此費(fèi)馬原理認(rèn)為：光線從P1行進(jìn)到P2所取的實(shí)際路徑是使J取極小的曲線． 費(fèi)馬發(fā)現(xiàn)的這個(gè)最小時(shí)間原理及其與光的折射現(xiàn)象的關(guān)系，是走向光學(xué)統(tǒng)一理論的最早一步． 費(fèi)馬性情謙抑，好靜成癖．他對(duì)數(shù)學(xué)的許多研究成果，往往以沒有給出證明的斷言寫在他閱讀過的書籍的邊緣或空白處，或者寫在給朋友的一片信箋中，也有一些是散放在舊紙堆里的．他從未想出版，而且固執(zhí)地拒絕編輯他的文章或以他的名字發(fā)表．他曾多次阻止過別人把他的結(jié)果付?。麑?duì)已完成的工作不再感興趣，所以常常很隨便地將自己的文章送給朋友而不留底稿．費(fèi)馬在生前也發(fā)表過幾篇文章，但都是在他要求匿名的條件下發(fā)表的，并且要求勿需做詳細(xì)明瞭的解釋．他的匿名以及拒絕發(fā)表不但使他當(dāng)時(shí)研究的成就無緣揚(yáng)名于世，并且使他暮年脫離了研究的主流．直到他去世后，后人[其中包括他的大兒子克萊門特·塞繆爾(Clément Samule)]才把他的成果匯集成書，共兩卷，先后于1670年和1679年在圖盧茲出版．第一卷有丟番圖的算術(shù)，帶有校訂和注解；第二卷包括拋物形求面積法，極大極小及重心的論述和各類問題的解答．還有球切面、曲線求長的討論．另外就是他和笛卡兒、帕斯卡、羅伯瓦、梅森、惠更斯等人的通信錄．這本書后來罕見于世，直到1853年E．布拉興(Brassinne)重新加以注釋，才在巴黎出版．18世紀(jì)，費(fèi)馬還不太有名，但進(jìn)入19世紀(jì)中葉，由于對(duì)數(shù)論的重新研究，數(shù)學(xué)家和數(shù)學(xué)史專家對(duì)費(fèi)馬及其著作都產(chǎn)生了濃厚的興趣，世人也爭先發(fā)表和研究費(fèi)馬的著作，其中尤以查爾斯·亨利(Cherles Henry)和保羅·坦納(Paul Tannery)的四卷論文集最為全面．從這四卷文集中可以清晰而具體地看出費(fèi)馬對(duì)數(shù)學(xué)和光學(xué)所做出的廣泛而重要的貢獻(xiàn)． |
|
|
